[<] Lemme de décomposition des noyaux [>] Polynômes annulateurs et valeurs propres
Soit un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension .
Montrer que la famille est liée et en déduire qu’il existe un polynôme non nul qui annule .
Solution
Si alors donc la famille est liée car formée de éléments. Une relation linéaire sur les éléments de cette famille donne immédiatement un polynôme annulateur non nul.
Soit une matrice triangulaire par blocs de la forme
On suppose connus deux polynômes et annulateurs de et respectivement.
Former en fonction de et un polynôme annulateur de .
Solution
On a
donc
Ainsi, le polynôme est annulateur de .
Soient un -espace vectoriel de dimension quelconque, et ayant comme racine simple et tel que .
Montrer
En déduire
Solution
On sait déjà . On a avec . Pour , on a et donc puis car . On en déduit
puis l’égalité.
L’inclusion est entendue.
Inversement, soit . On peut écrire pour un certain . Or et l’on peut écrire sous la forme
donc
puis . Ainsi,
Pour , il existe , et donc .
Pour , et l’on peut écrire pour un certain . On a alors avec et où l’on vérifie .
Soit un -espace vectoriel de dimension quelconque. Soit un endomorphisme de admettant un polynôme annulateur non nul. Pour , l’endomorphisme admet-il un polynôme annulateur non nul?
Solution
Puisque possède un polynôme annulateur non nul,
Or et donc
Par conséquent, l’endomorphisme possède un polynôme annulateur non nul.
Soient un -espace vectoriel de dimension finie et tel que les espaces
Montrer que est une symétrie vectorielle.
Solution
L’endomorphisme s’annule sur et sur donc sur
Ainsi, .
Si alors
donc et .
Par suite,
et donc .
Ainsi, est une symétrie vectorielle.
Soient un élément d’une -algèbre et un polynôme de . On appelle valeur du polynôme en l’élément
Montrer que l’application détermine un morphisme d’algèbres.
On dit qu’un polynôme est annulateur de lorsque .
Que dire de l’ensemble des polynômes annulateurs de l’élément ?
Soit un endomorphisme d’un espace vectoriel réel de dimension finie non nulle. En introduisant11 1 On propose ici une démarche alternative à celle vue dans le sujet 5157. un polynôme annulateur, montrer qu’il existe une droite vectorielle ou un plan vectoriel stable par .
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Édité le 14-10-2023
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