[<] Lemme de décomposition des noyaux [>] Polynômes annulateurs et valeurs propres

 
Exercice 1  178  Correction  

Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension n*.

Montrer que la famille (Id,f,f2,,fn2) est liée et en déduire qu’il existe un polynôme non nul qui annule f.

Solution

Si dimE=n alors dim(E)=n2 donc la famille (Id,f,f2,,fn2) est liée car formée de n2+1 éléments. Une relation linéaire sur les éléments de cette famille donne immédiatement un polynôme annulateur non nul.

 
Exercice 2  2916  Correction  

Soit Mn(𝕂) une matrice triangulaire par blocs de la forme

M=(ACOB) avec Ap(𝕂) et Bq(𝕂).

On suppose connus deux polynômes P et Q𝕂[X] annulateurs de A et B respectivement.

Former en fonction de P et Q un polynôme annulateur de M.

Solution

On a

P(M)=(P(A)*OP(B))=(O*O*)etQ(M)=(Q(A)*OQ(B))=(**OO)

donc

(PQ)(M)=P(M)Q(M)=(O*O*)(**OO)=On.

Ainsi, le polynôme PQ est annulateur de M.

 
Exercice 3  2501     CCP (MP)Correction  

Soient E un 𝕂-espace vectoriel de dimension quelconque, u(E) et P𝕂[X] ayant 0 comme racine simple et tel que P(u)=0.

  • (a)

    Montrer

    Ker(u2)=Ker(u)etIm(u2)=Im(u).
  • (b)

    En déduire

    E=Ker(u)Im(u).

Solution

  • (a)

    On sait déjà Ker(u)Ker(u2). On a P=XQ avec Q(0)0. Pour xKer(u2), on a u2(x)=0 et Q(u)(u(x))=0 donc u(x)Ker(u)Ker(Q(u)) puis u(x)=0 car Q(0)0. On en déduit

    Ker(u2)Ker(u)

    puis l’égalité.

    L’inclusion Im(u2)Im(u) est entendue.

    Inversement, soit xIm(u). On peut écrire x=u(a) pour un certain aE. Or P(u)(a)=0 et l’on peut écrire P sous la forme

    P(X)=anXn++a1X avec a10

    donc

    a1.u(a)Im(u2)

    puis xIm(u2). Ainsi, Im(u2)=Im(u)

  • (b)

    Pour xKer(u)Im(u), il existe aE, x=u(a) et aKer(u2)=Ker(u) donc x=0.

    Pour xE, u(x)Im(u)=Im(u2) et l’on peut écrire u(x)=u2(a) pour un certain aE. On a alors x=y+z avec y=u(a)Im(u) et z=x-y où l’on vérifie zKer(u).

 
Exercice 4  1353     X (MP)Correction  

Soit E un 𝕂-espace vectoriel de dimension quelconque. Soit u un endomorphisme de E admettant un polynôme annulateur non nul. Pour P𝕂[X], l’endomorphisme P(u) admet-il un polynôme annulateur non nul?

Solution

Puisque u possède un polynôme annulateur non nul,

dim𝕂[u]<+.

Or 𝕂[P(u)]𝕂[u] et donc

dim𝕂[P(u)]<+

Par conséquent, l’endomorphisme P(u) possède un polynôme annulateur non nul.

 
Exercice 5  823   Correction  

Soient E un 𝕂-espace vectoriel de dimension finie et u(E) tel que les espaces

Ker(u(u-Id))Ker(u(u+Id))=E

soient supplémentaires.

Montrer que u est une symétrie vectorielle.

Solution

L’endomorphisme u(u-Id)(u+Id) s’annule sur Ker(u(u-Id)) et sur Ker(u(u+Id)) donc sur

Ker(u(u-Id))+Ker(u(u-Id))=E

Ainsi, u(u2-Id)=0.

Si xKer(u) alors

xKer(u(u-Id))Ker(u(u+Id))={0}

donc Ker(u)={0} et uGL(E).

Par suite,

u2-Id=u-1u(u2-Id)=0

et donc u2=Id.

Ainsi, u est une symétrie vectorielle.

 
Exercice 6  4208   

Soient x un élément d’une 𝕂-algèbre (A,+,×,) et P=a0+a1X++apXp un polynôme de 𝕂[X]. On appelle valeur du polynôme P en x l’élément

P(x)=n=0pan.xn=a0.1A+a1.x++ap.xpA.
  • (a)

    Montrer que l’application Ex:PP(x) détermine un morphisme d’algèbres.

On dit qu’un polynôme P est annulateur de x si P(x)=0A.

  • (b)

    Que dire de l’ensemble des polynômes annulateurs de l’élément x?

 
Exercice 7  4328    

Soit u un endomorphisme d’un espace vectoriel réel E de dimension finie non nulle. En employant11 1 On propose ici une démarche alternative à celle vue dans le sujet 5157. un polynôme annulateur, montrer qu’il existe une droite vectorielle ou un plan vectoriel stable par u.

[<] Lemme de décomposition des noyaux [>] Polynômes annulateurs et valeurs propres



Édité le 08-11-2019

Bootstrap Bootstrap 3 - LaTeXML [LOGO] - Powered by MathJax Powered by MathJax