Exercice 1 178 Correction

Soit $f$ un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension $n \in ℕ^{*}$ .

Montrer que la famille $(Id, f, f^{2}, \dots, f^{n^{2}})$ est liée et en déduire qu’il existe un polynôme non nul qui annule $f$ .

Solution

Si $dim E = n$ alors $dim ℒ (E) = n^{2}$ donc la famille $(Id, f, f^{2}, \dots, f^{n^{2}})$ est liée car formée de $n^{2} + 1$ éléments. Une relation linéaire sur les éléments de cette famille donne immédiatement un polynôme annulateur non nul.

Exercice 2 2916 Correction

Soit $M \in ℳ_{n} (𝕂)$ une matrice triangulaire par blocs de la forme

M = (\begin{matrix} A & C \\ O & B \end{matrix}) avec A \in ℳ_{p} (𝕂) et B \in ℳ_{q} (𝕂) .

On suppose connus deux polynômes $P$ et $Q \in 𝕂 [X]$ annulateurs de $A$ et $B$ respectivement.

Former en fonction de $P$ et $Q$ un polynôme annulateur de $M$ .

Solution

On a

P (M) = (\begin{matrix} P (A) & * \\ O & P (B) \end{matrix}) = (\begin{matrix} O & * \\ O & * \end{matrix}) et Q (M) = (\begin{matrix} Q (A) & * \\ O & Q (B) \end{matrix}) = (\begin{matrix} * & * \\ O & O \end{matrix})

donc

(P Q) (M) = P (M) Q (M) = (\begin{matrix} O & * \\ O & * \end{matrix}) (\begin{matrix} * & * \\ O & O \end{matrix}) = O_{n} .

Ainsi, le polynôme $P Q$ est annulateur de $M$ .

Exercice 3 2501 CCINP (MP)Correction

Soient $E$ un $𝕂$ -espace vectoriel de dimension quelconque, $u \in ℒ (E)$ et $P \in 𝕂 [X]$ ayant $0$ comme racine simple et tel que $P (u) = 0$ .

(a)

Montrer

$Ker (u^{2}) = Ker (u) et Im (u^{2}) = Im (u) .$
(b)

En déduire

$E = Ker (u) \oplus Im (u) .$

Solution

(a)

On sait déjà $Ker (u) \subset Ker (u^{2})$ . On a $P = X Q$ avec $Q (0) \neq 0$ . Pour $x \in Ker (u^{2})$ , on a $u^{2} (x) = 0$ et $Q (u) (u (x)) = 0$ donc $u (x) \in Ker (u) \cap Ker (Q (u))$ puis $u (x) = 0$ car $Q (0) \neq 0$ . On en déduit

$Ker (u^{2}) \subset Ker (u)$

puis l’égalité.

L’inclusion $Im (u^{2}) \subset Im (u)$ est entendue.

Inversement, soit $x \in Im (u)$ . On peut écrire $x = u (a)$ pour un certain $a \in E$ . Or $P (u) (a) = 0$ et l’on peut écrire $P$ sous la forme

$P (X) = a_{n} X^{n} + \dots + a_{1} X avec a_{1} \neq 0$

donc

$a_{1} . u (a) \in Im (u^{2})$

puis $x \in Im (u^{2})$ . Ainsi, $Im (u^{2}) = Im (u)$
(b)

Pour $x \in Ker (u) \cap Im (u)$ , il existe $a \in E$ , $x = u (a)$ et $a \in Ker (u^{2}) = Ker (u)$ donc $x = 0$ .

Pour $x \in E$ , $u (x) \in Im (u) = Im (u^{2})$ et l’on peut écrire $u (x) = u^{2} (a)$ pour un certain $a \in E$ . On a alors $x = y + z$ avec $y = u (a) \in Im (u)$ et $z = x - y$ où l’on vérifie $z \in Ker (u)$ .

Exercice 4 6008 Correction

Soient $E$ un $ℝ$ -espace vectoriel de dimension $n \in ℕ^{*}$ , $u \in ℒ (E)$ et $P \in ℝ [X]$ ayant $0$ comme racine simple et tel que $P (u) = 0$ .

(a)

Établir $Ker (u^{2}) = Ker (u)$ .
(b)

En déduire $E = Ker (u) \oplus Im (u)$ .
(c)

Justifier qu’il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ s’écrit par blocs

$M = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & A \end{matrix}) avec A \in {GL}_{r} (ℝ) et r = rg (u) .$
(d)

En déduire que la projection sur $Im (u)$ parallèlement à $Ker (u)$ est un polynôme en $u$ .

Solution

(a)

On sait $Ker (u) \subset Ker (u^{2})$ .

Soit $x \in Ker (u^{2})$ . On a $u^{2} (x) = 0_{E}$ . Le polynôme $P$ ayant $0$ pour racine simple, on peut écrire

$P = a_{N} X^{N} + \dots + a_{2} X^{2} + a_{1} X avec a_{1} \neq 0 .$

L’égalité $P (u) = 0$ donne

$a_{N} u^{N} (x) + \dots + a_{2} u^{2} (x) + a_{1} u (x) = 0_{E} .$

Puisque $u^{2} (x) = \dots = u^{N} (x) = 0_{E}$ , la relation précédente se simplifie en $a_{1} u (x) = 0_{E}$ et donc $u (x) = 0_{E}$ car $a_{1} \neq 0$ .
(b)

Soit $x \in Ker (u) \cap Im (u)$ . On écrit $x = u (a)$ avec $a \in E$ et l’on a $u^{2} (a) = u (x) = 0_{E}$ donc $a \in Ker (u^{2}) = Ker (u)$ puis $x = 0_{E}$ . Les espaces $Ker (u)$ et $Im (u)$ sont en somme directe.

Par la formule du rang, on sait $dim Ker (u) + rg (u) = dim E$ . Les espaces $Ker (u)$ et $Im (u)$ sont donc supplémentaires dans $E$ .
(c)

Les espaces $Ker (u)$ et $Im (u)$ sont stables par $u$ . Dans une base adaptée à l’écriture $E = Ker (u) \oplus Im (u)$ , la matrice de $u$ est de la forme

$M = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & A \end{matrix})$

avec $A \in ℳ_{r} (ℝ)$ .

De plus, $r = rg (u) = rg (M) = rg (A)$ et donc $A$ est inversible.
(d)

L’égalité $P (u) = 0$ donne $P (M) = O_{n}$ et donc $P (A) = O_{r}$ . En reprenant les notations précédentes,

$a_{N} A^{N} + \dots + a_{2} A^{2} + a_{1} A = O_{r} .$

Puisque la matrice $A$ est inversible et puisque $a_{1} \neq 0$ , on obtient

$I_{r} = - \frac{1}{a_{1}} (a_{N} A^{N - 1} + \dots + a_{2} A) = Q (A)$

avec $Q$ un polynôme vérifiant $Q (0) = 0$ . On a alors

$Q (M) = (\begin{matrix} Q (0) & 0 \\ 0 & Q (A) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & I_{r} \end{matrix}) .$

L’endomorphisme $Q (u)$ est donc la projection vectorielle sur $Im (u)$ parallèlement à $Ker (u)$ .

Exercice 5 1353 X (MP)Correction

Soit $E$ un $𝕂$ -espace vectoriel de dimension quelconque. Soit $u$ un endomorphisme de $E$ admettant un polynôme annulateur non nul. Pour $P \in 𝕂 [X]$ , l’endomorphisme $P (u)$ admet-il un polynôme annulateur non nul?

Solution

Puisque $u$ possède un polynôme annulateur non nul,

dim 𝕂 [u] < + \infty .

Or $𝕂 [P (u)] \subset 𝕂 [u]$ et donc

dim 𝕂 [P (u)] < + \infty .

Par conséquent, l’endomorphisme $P (u)$ possède un polynôme annulateur non nul.

Exercice 6 823 Correction

Soient $E$ un $𝕂$ -espace vectoriel de dimension finie et $u \in ℒ (E)$ tel que les espaces

Ker (u \circ (u - {Id}_{E})) \oplus Ker (u \circ (u + {Id}_{E})) = E .

Montrer que $u$ est une symétrie vectorielle.

Solution

L’endomorphisme $u \circ (u - Id) \circ (u + Id)$ s’annule sur $Ker (u \circ (u - Id))$ et sur $Ker (u \circ (u + Id))$ donc sur

Ker (u \circ (u - Id)) + Ker (u \circ (u - Id)) = E .

Ainsi, $u \circ (u^{2} - Id) = 0$ .

Si $x \in Ker (u)$ alors

x \in Ker (u \circ (u - Id)) \cap Ker (u \circ (u + Id)) = {0}

donc $Ker (u) = {0}$ et $u \in GL (E)$ .

Par suite,

u^{2} - Id = u^{- 1} \circ u \circ (u^{2} - Id) = 0

et donc $u^{2} = Id$ .

Ainsi, $u$ est une symétrie vectorielle.

Exercice 7 4208

Soient $x$ un élément d’une $𝕂$ -algèbre $(A, +, \times, \cdot)$ et $P = a_{0} + a_{1} X + \dots + a_{p} X^{p}$ un polynôme de $𝕂 [X]$ . On appelle valeur du polynôme $P$ en $x$ l’élément

P (x) = \sum_{n = 0}^{p} a_{n} . x^{n} = a_{0} {.1}_{A} + a_{1} . x + \dots + a_{p} . x^{p} \in A .

(a)

Montrer que l’application $E_{x} : P \mapsto P (x)$ détermine un morphisme d’algèbres.

On dit qu’un polynôme $P$ est annulateur de $x$ lorsque $P (x) = 0_{A}$ .

(b)

Que dire de l’ensemble des polynômes annulateurs de l’élément $x$ ?

Exercice 8 4328

Soit $u$ un endomorphisme d’un espace vectoriel réel $E$ de dimension finie non nulle. En introduisant¹¹ 1 On propose ici une démarche alternative à celle vue dans le sujet 5157. un polynôme annulateur, montrer qu’il existe une droite vectorielle ou un plan vectoriel stable par $u$ .

[<] Lemme de décomposition des noyaux [>] Polynômes annulateurs et valeurs propres

Édité le 22-03-2025