${\mathrm{\Pi }}_A\mid {\chi }_A={(X-1)}^2$ mais $A$ n’est pas diagonalisable, donc ${\mu }_A={(X-1)}^2$.

On remarque

$$M_{a,b}-a{\mathrm{I}}_{2n+1}=\left(\begin{array}{ccc}\hfill (0)\hfill & \hfill \hfill & \hfill b\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill \text{.}\text{.}\text{.}\hfill \\ \hfill b\hfill & \hfill \hfill & \hfill (0)\hfill \end{array}\right)$$

et donc

$${(M_{a,b}-a{\mathrm{I}}_{2n+1})}^2=b^2{\mathrm{I}}_{2n+1}$$

ce qui donne

$$\left(M_{a,b}-(a+b){\mathrm{I}}_{2n+1}\right)\left(M_{a,b}-(a-b){\mathrm{I}}_{2n+1}\right)={\mathrm{O}}_{2n+1}$$

Le polynôme $\left(X-(a+b)\right)\left(X-(a-b)\right)$ est annulateur de $M_{a,b}$.

Cas: $b=0$. On remarque $M_{a,b}=a{\mathrm{I}}_{2n+1}$, le polynôme minimal de $M_{a,b}$ est $X-a$.

Cas: $b\ne 0$. On remarque $M_{a,b}\ne (a\pm b){\mathrm{I}}_{2n+1}$, le polynôme minimal de $M_{a,b}$ est donc $\left(X-(a+b)\right)\left(X-(a-b)\right)$.

• (a)

  La matrice $A$ est symétrique réelle donc diagonalisable.

• (b)

  $${\chi }_A=\left(X-\left(a+(n-1)b\right)\right){\left(X-(a-b)\right)}^{n-1}\text{.}$$

  $$\mathrm{Sp}(A)=\{a+(n-1)b,a-b\}\mathit{\hspace{1em}}\text{(si }n\ge 2\text{).}$$

  $${\pi }_A=\left(X-\left(a+(n-1)b\right)\right)\left(X-(a-b)\right)\text{.}$$

• (c)

  $A$ est inversible si, et seulement si, $0\notin \mathrm{Sp}(A)$ c’est-à-dire $a+(n-1)b\ne 0$ et $a\ne b$.

  $$\left(\begin{array}{ccc}\hfill a\hfill & \hfill \hfill & \hfill (b)\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \hfill \\ \hfill (b)\hfill & \hfill \hfill & \hfill a\hfill \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\hfill x\hfill & \hfill \hfill & \hfill (y)\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \hfill \\ \hfill (y)\hfill & \hfill \hfill & \hfill x\hfill \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\hfill \alpha \hfill & \hfill \hfill & \hfill (\beta )\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \hfill \\ \hfill (\beta )\hfill & \hfill \hfill & \hfill \alpha \hfill \end{array}\right)$$

  avec

  $$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill \alpha =ax+(n-1)by& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill \beta =ay+bx+(n-2)by\text{.}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

  Il suffit alors de résoudre le système

  $$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill ax+(n-1)by=1& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill bx+(a+(n-2)b)y=0& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

  pour expliciter $A^{-1}$.

• (a)

  Notons ${\alpha }_1,\mathrm{\dots },{\alpha }_n$ les composantes de $x$ dans une base de diagonalisation $ℬ$ de $f$. La matrice de la famille $(x_1,\mathrm{\dots },x_n)$ dans la base $ℬ$ est

  $$\left(\begin{array}{ccc}\hfill {\alpha }_1{\lambda }_1\hfill & \hfill \mathrm{\dots }\hfill & \hfill {\alpha }_1{\lambda }_1^n\hfill \\ \hfill \mathrm{⋮}\hfill & \hfill \hfill & \hfill \mathrm{⋮}\hfill \\ \hfill {\alpha }_n{\lambda }_n\hfill & \hfill \mathrm{\dots }\hfill & \hfill {\alpha }_n{\lambda }_n^n\hfill \end{array}\right)$$

  avec ${\lambda }_1,\mathrm{\dots },{\lambda }_n$ les valeurs propres de $f$ comptées avec multiplicité. Cette matrice est de rang $n$, si, et seulement si,

  $${\alpha }_1,\mathrm{\dots },{\alpha }_n\ne 0\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}\left|\begin{array}{ccc}\hfill {\lambda }_1\hfill & \hfill \mathrm{\dots }\hfill & \hfill {\lambda }_1^n\hfill \\ \hfill \mathrm{⋮}\hfill & \hfill \hfill & \hfill \mathrm{⋮}\hfill \\ \hfill {\lambda }_n\hfill & \hfill \mathrm{\dots }\hfill & \hfill {\lambda }_n^n\hfill \end{array}\right|\ne 0\text{.}$$

  Par déterminant de Vandermonde, on peut assurer l’existence de $x$ tel que voulu si, et seulement, si les valeurs propres de $f$ sont deux à deux distincts et non nulles. N’importe quel $x$ aux composantes toutes non nulles est alors convenable.

• (b)

  Les polynômes en $f$ commutent avec $f$.
  Supposons que $g$ soit un endomorphisme de $E$ commutant avec $f$.
  On peut écrire

  $$g(x_1)=a_1{x}_1+\mathrm{\cdots }+a_n{x}_n=P(f)(x_1)$$

  avec

  $$P=a_1+a_{2}X+\mathrm{\cdots }+a_{n-1}{X}^{n-1}\text{.}$$

  On a alors

  $$g(x_2)=g\left(f(x_1)\right)=f\left(g(x_1)\right)=f\left(P(f)(x_1)\right)=P(f)\left(f(x_1)\right)=P(f)(x_2)\text{.}$$

  Plus généralement, en exploitant $x_k=f^{k-1}(x_1)$, on obtient $g(x_k)=P(f)(x_k)$.

  Les endomorphismes $g$ et $P(f)$ coïncident sur les éléments d’une base, ils sont donc égaux. Finalement, le commutant de $f$ est exactement formé des polynômes en $f$.
  Si le polynôme minimal ${\mathrm{\Pi }}_f$ de $f$ est de degré $<n$ alors la famille $(\mathrm{Id},f,\mathrm{\dots },f^{n-1})$ est liée et alors pour tout $x\in E$, la famille $(x,f(x),\mathrm{\dots },f^{n-1}(x))$ l’est aussi. Cela contredit l’hypothèse de départ. On peut donc affirmer que $\mathrm{deg}({\mathrm{\Pi }}_f)\ge n$ et puisque ${\mathrm{\Pi }}_f\mid {\chi }_f$, on a ${\mathrm{\Pi }}_f={\chi }_f$ avec ${\chi }_f$ polynôme caractéristique de $f$.

• (a)

  Il est clair que $L$ est linéaire.
  Si $\mathrm{tr}(M)=0$ alors $L(M)=aM$.
  $a$ est valeur propre de $L$ et le sous-espace propre associé est l’hyperplan des matrices de trace nulle.
  Si $\mathrm{tr}(M)\ne 0$ alors $L(M)=\lambda M$ implique $M\in \mathrm{Vect}({\mathrm{I}}_n)$. Or $L({\mathrm{I}}_n)=(a+n){\mathrm{I}}_n$ donc $a+n$ est valeur propre de $L$ et le sous-espace propre associé est la droite $\mathrm{Vect}({\mathrm{I}}_n)$.
  L’endomorphisme $L$ est donc diagonalisable et par suite

  $${\mathrm{\Pi }}_L(X)=(X-a)(X-(a+n))\text{.}$$

• (b)

  En dimension finie, $L$ est un automorphisme si, et seulement si, $0\notin \mathrm{Sp}(L)$ c’est-à-dire $a\ne 0,-n$.
  Puisque

  $$L^2-(2a+n)L+a(a+n)I=0$$

  on a

  $$L^{-1}=\frac{1}{a(a+n)}(L-(2a+n)I)$$

  et donc

  $$L^{-1}(M)=\frac{1}{a(a+n)}(\mathrm{tr}(M){\mathrm{I}}_n-(a+n)M)\text{.}$$