En posant $u=1/x$ et $v=1/y$, le problème revient à trouver le maximum de $(u,v)\mapsto au+bv$ sous la contrainte $u^2+v^2=1$ et avec $u>0$, $v>0$. Pour revenir à des notations plus usuelles, étudions le maximum de la fonction $\phi :(x,y)\mapsto ax+by$ sur le compact

$$K=\{(x,y)\in {ℝ}^2|x^2+y^2=1\}\text{.}$$

Puisque la fonction $\phi$ est continue, ce maximum existe et est atteint en un certain couple $(x_0,y_0)\in K$. Aussi, puisque $a$ et $b$ sont strictement positifs, on peut affirmer $(x_0,y_0)\in {ℝ}_{+}^2$.

Introduisons¹¹ 1 Une alternative est aussi d’introduire un paramétrage du cercle $K$ et d’étudier la fonction $\phi$ le long de ce paramétrage. Cela conduit à étudier le maximum de la fonction $\psi :t\mapsto a\cos (t)+b\sin (t)$ ce qui est facile en tranformant $\psi (t)$ en $A\cos (t-\varphi )$. la fonction $g:(x,y)\mapsto x^2+y^2-1$ de sorte que $K:g(x,y)=0$. La fonction $g$ est de classe ${𝒞}^1$ sur ${ℝ}^2$ et $\nabla g(x,y)=(2x\mathrm{,2}y)\ne (\mathrm{0,0})$ pour tout $(x,y)\in K$. Par théorème, $\nabla \phi (x_0,y_0)=(a,b)$ est colinéaire à $\nabla g(x_0,y_0)$ ce qui fournit la condition

$$\left|\begin{array}{cc}\hfill a\hfill & \hfill 2x_0\hfill \\ \hfill b\hfill & \hfill 2y_0\hfill \end{array}\right|=0\text{.}$$

On obtient donc le système

$$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill b{x}_0-a{y}_0& =0\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill x_0^2+y_0^2& =1\text{.}\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

La solution dans ${ℝ}_{+}^2$ de ce système est

$$x_0=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}{y}_0=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

pour

$$\phi (x_0,y_0)=\sqrt{a^2+b^2}\text{.}$$

Finalement, le maximum de $f$ sous la contrainte $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=1$ avec $x>0$ et $y>0$ vaut $\sqrt{a^2+b^2}$.

La fonction $f$ est positive, on peut donc introduire

$$m=\underset{(x,y)\in 𝒟}{inf}f(x,y)\in ℝ\text{.}$$

On remarque que

$$f(x,y)\underset{\parallel (x,y)\parallel \to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}+\mathrm{\infty }\text{.}$$

Si l’on pose $M=f(\mathrm{0,0})+1$, on peut affirmer qu’il existe $r>0$ tel que

$$\parallel (x,y)\parallel \ge r⟹f(x,y)\ge M\text{.}$$

On a donc

$$m=\underset{(x,y)\in 𝒟\cap B_f(0,r)}{inf}f(x,y)\text{.}$$

La fonction $f$ étant continue sur le compact $𝒟\cap B_f(0,r)$, elle y admet un minimum en un certain $(x_0,y_0)$:

$$m=\underset{(x,y)\in 𝒟\cap B_f(0,r)}{\min }f(x,y)=f(x_0,y_0)\text{.}$$

Au final, on peut affirmer que $f$ présente un minimum sur $𝒟$ en un certain $(x_0,y_0)\in 𝒟$.

Introduisons $g:(x,y)\mapsto ax+by-c$ de sorte que $𝒟:g(x,y)=0$. La fonction $g$ est de classe ${𝒞}^1$ sur ${ℝ}^2$ avec

$$\mathrm{\nabla }g(x,y)=(a,b)\ne (\mathrm{0,0})\text{.}$$

En particulier, $(x_0,y_0)$ est régulier pour $𝒟$. La fonction $f$ étant de classe ${𝒞}^1$ sur ${ℝ}^2$, on sait par théorème que $\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)=(2x_0\mathrm{,2}{y}_0)$ est colinéaire à $\mathrm{\nabla }g(x_0,y_0)$. Cette condition de colinéarité donne

$$\left|\begin{array}{cc}\hfill 2x_0\hfill & \hfill a\hfill \\ \hfill 2y_0\hfill & \hfill b\hfill \end{array}\right|=0\text{.}$$

On dispose alors du système suivant

$$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill b{x}_0-a{y}_0& =0\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill a{x}_0+b{y}_0& =c\text{.}\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

Pour isoler $x_0$, on considère $b\times (1)+a\times (2)$. Pour isoler $y_0$, on considère $-a\times (1)+b\times (2)$. On obtient

$$x_0=\frac{ac}{a^2+b^2}\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}{y}_0=\frac{bc}{a^2+b^2}\text{.}$$

Enfin, on conclut

$$m=\underset{(x,y)\in 𝒟}{inf}f(x,y)=f(x_0,y_0)=\frac{c^2}{a^2+b^2}\text{.}$$

Notons que le problème résolu est lié à la détermination de la distance du point origine à la droite $𝒟$.

La fonction $f$ est positive, on peut donc introduire

$$m=\underset{(x,y)\in 𝒟}{inf}f(x,y)\in ℝ\text{.}$$

On remarque que

$$f(x,y)\underset{\parallel (x,y)\parallel \to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}+\mathrm{\infty }\text{.}$$

Si l’on pose $M=f(\mathrm{0,0})+1$, on peut affirmer qu’il existe $r>0$ tel que

$$\parallel (x,y)\parallel \ge r⟹f(x,y)\ge M\text{.}$$

On a donc

$$m=\underset{(x,y)\in 𝒟\cap B_f(0,r)}{inf}f(x,y)\text{.}$$

La fonction $f$ étant continue sur le compact $𝒟\cap B_f(0,r)$, elle y admet un minimum en un certain $(x_0,y_0)$:

$$m=\underset{(x,y)\in 𝒟\cap B_f(0,r)}{\min }f(x,y)=f(x_0,y_0)\text{.}$$

Au final, on peut affirmer que $f$ présente un minimum sur $𝒟$ en un certain $(x_0,y_0)\in 𝒟$.

Introduisons $g:(x,y)\mapsto ax+by-c$ de sorte que $𝒟:g(x,y)=0$. La fonction $g$ est de classe ${𝒞}^1$ sur ${ℝ}^2$ avec

$$\mathrm{\nabla }g(x,y)=(a,b)\ne (\mathrm{0,0})\text{.}$$

En particulier, $(x_0,y_0)$ est régulier pour $𝒟$. La fonction $f$ étant de classe ${𝒞}^1$ sur ${ℝ}^2$, on sait par théorème que $\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)=(4x_0^3\mathrm{,4}{y}_0^3)$ est colinéaire à $\mathrm{\nabla }g(x_0,y_0)$. Cette condition de colinéarité donne

$$\left|\begin{array}{cc}\hfill 4x_0^3\hfill & \hfill a\hfill \\ \hfill 4y_0^3\hfill & \hfill b\hfill \end{array}\right|=0\text{.}$$

On dispose alors du système suivant

$$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill b{x}_0^3-a{y}_0^3& =0\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill a{x}_0+b{y}_0& =c\text{.}\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

Afin d’alléger les écritures à venir, posons $\alpha =a^{1/3}$ et $\beta =b^{1/3}$. Le système précédent se réécrit

$$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill {(\beta x_0)}^3-{(\alpha y_0)}^3& =0\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill {\alpha }^3{x}_0+{\beta }^3{y}_0& =c\text{.}\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

Puisque l’application $t\mapsto t^3$ est injective,

$${(\beta x_0)}^3-{(\alpha y_0)}^3=0\iff \beta x_0=\alpha y_0$$

Le système étudié équivaut alors au suivant

$$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill \beta x_0-\alpha y_0& =0\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill {\alpha }^3{x}_0+{\beta }^3{y}_0& =c\text{.}\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

Pour isoler $x_0$, on considère ${\beta }^3\times (1)+\alpha \times (2)$. Pour isoler $y_0$, on considère $-{\alpha }^3\times (1)+\beta \times (2)$. On obtient

$$x_0=\frac{\alpha c}{{\alpha }^4+{\beta }^4}\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}{y}_0=\frac{\beta c}{{\alpha }^4+{\beta }^4}\text{.}$$

Enfin, on conclut

$$m=\underset{(x,y)\in 𝒟}{inf}f(x,y)=f(x_0,y_0)=\frac{c^4}{{\left(a\alpha +b\beta \right)}^3}\text{.}$$

Introduisons $g:(x,y)\mapsto ax+by-c$ de sorte que $𝒟:g(x,y)=0$.

La fonction $g$ est de classe ${𝒞}^1$ sur ${ℝ}^2$ avec

$$\mathrm{\nabla }g(x,y)=(a,b)\ne (\mathrm{0,0})\text{.}$$

La fonction $f$ est de classe ${𝒞}^1$ sur ${ℝ}^2$. Si $(x_0,y_0)$ est un extremum de $f$ sur $𝒟$, on sait par théorème que $\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)=(y_0,x_0)$ est colinéaire à $\mathrm{\nabla }g(x_0,y_0)$. Cette condition de colinéarité donne

$$\left|\begin{array}{cc}\hfill y_0\hfill & \hfill a\hfill \\ \hfill x_0\hfill & \hfill b\hfill \end{array}\right|=0\text{.}$$

On dispose alors du système suivant

$$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill a{x}_0-b{y}_0& =0\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill a{x}_0+b{y}_0& =c\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

soit

$$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill 2a{x}_0& =c\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill 2b{y}_0& =c\text{.}\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

Cas: $a\ne 0$ et $b\ne 0$. On obtient une solution unique $(x_0,y_0)$ avec

$$f(x_0,y_0)=\frac{c^2}{4ab}\text{.}$$

Si $a$ et $b$ sont de même signe, la fonction $f$ tend vers $-\mathrm{\infty }$ quand $\parallel (x,y)\parallel \to +\mathrm{\infty }$ avec $(x,y)\in 𝒟$. La fonction $f$ présente donc un maximum sur $𝒟$ et nous avons trouvé ci-dessus sa valeur.

Si $a$ et $b$ sont de signes opposés, la fonction $f$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ quand $\parallel (x,y)\parallel \to +\mathrm{\infty }$ avec $(x,y)\in 𝒟$. La fonction $f$ présente donc un minimum sur $𝒟$ et nous avons trouvé ci-dessus sa valeur.

Cas: $a=0$ et $b\ne 0$. La droite est $𝒟$ est horizontale.

Si $c\ne 0$, cette droite ne se confond pas avec l’axe des abscisses et la fonction $f$ est linéaire non nulle le long de cette droite: elle ne présente pas d’extremum.

Si $c=0$, la fonction $f$ est identiquement nulle le long de cette droite.

Cas: $a\ne 0$ et $b=0$. La droite est $𝒟$ est verticale et l’étude est identique à la précédente.