Exercice 1 5478 Correction

Soient $f : ℳ_{n} (ℝ) \to ℳ_{n} (ℝ)$ définie par $f (M) = M^{2}$ .

Justifier que $f$ est différentiable et calculer sa différentielle en $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ .

Solution

Soit $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ .

Méthode: On exprime un développement limité à l’ordre $1$ de $f$ en $A$ .

Pour $H \in ℳ_{n} (ℝ)$ ,

f (A + H) = {(A + H)}^{2} = A^{2} + A H + H A + H^{2} .

(1)

D’une part, la partie linéaire de cette écriture correspond au terme $A H + H A$ .

D’autre part, le terme $H^{2}$ peut se comprendre comme un $o (∥ H ∥)$ . En effet, en introduisant $∥ \cdot ∥$ une norme sous-multiplicative, on a

∥ H^{2} ∥ \leq {∥ H ∥}^{2} = \underset{\begin{matrix} \to 0 \end{matrix}}{\underset{⏟}{∥ H ∥}} ∥ H ∥

La relation (1) se comprend donc

f (A + H) \underset{H \to O_{n}}{=} f (A) + ℓ (H) + o (∥ H ∥)

avec $ℓ : H \mapsto A H + H A$ application linéaire et $ε$ fonction de limite nulle en $O_{n}$ . La fonction $f$ est donc différentiable en $A$ de différentielle:

d f (A) : {\begin{matrix} ℳ_{n} (ℝ) & \to & ℳ_{n} (ℝ) \\ H & \mapsto & A H + H A . \end{matrix}

Exercice 2 5712 Correction

Soient $f : ℳ_{n} (ℝ) \to ℝ$ définie par $f (M) = tr (M^{2})$ .

Justifier que $f$ est différentiable et calculer sa différentielle en tout $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ .

Solution

Soit $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ .

Méthode: On exprime un développement limité à l’ordre $1$ de $f$ en $A$ .

Pour $H \in ℳ_{n} (ℝ)$ ,

f (A + H) = tr ({(A + H)}^{2}) = tr (A^{2}) + tr (A H) + tr (H A) + tr (H^{2}) .

(1)

D’une part, la partie linéaire de cette écriture correspond au terme $tr (A H) + tr (H A) = 2 tr (A H)$ .

D’autre part, le terme $tr (H^{2})$ peut se comprendre comme un terme $∥ H ∥ ε (H)$ avec $ε$ de limite nulle en $O_{n}$ . En effet, en introduisant $∥ \cdot ∥ = {∥ \cdot ∥}_{\infty}$ , on remarque

| tr | H^{2} | | \leq n {∥ H ∥}^{2} .

La relation (1) se comprend donc

f (A + H) = f (A) + ℓ (H) + ∥ H ∥ ε (H)

avec $ℓ : H \mapsto 2 tr (A H)$ application linéaire et $ε$ fonction de limite nulle en $O_{n}$ . La fonction $f$ est donc différentiable en $A$ de différentielle:

d f (A) : {\begin{matrix} ℳ_{n} (ℝ) & \to & ℝ \\ H & \mapsto & 2 tr (A H) . \end{matrix}

Exercice 3 31

Soit $f : ℳ_{n} (ℝ) \to ℳ_{n} (ℝ)$ l’application définie par $f (M) = M^{3}$ .

Justifier que $f$ est différentiable et calculer sa différentielle en tout $M \in ℳ_{n} (ℝ)$ .

Exercice 4 35 Correction

Montrer que l’application

P \mapsto \int_{0}^{1} P {(t)}^{2} d t

définie sur $E = ℝ_{n} [X]$ est différentiable et exprimer sa différentielle.

Solution

Notons $f : ℝ_{n} [X] \to ℝ$ l’application étudiée:

f (P) = \int_{0}^{1} P {(t)}^{2} d t .

Soit $P \in ℝ_{n} [X]$ . Pour $H \in ℝ_{n} [X]$ ,

f (P + H) = f (P) + 2 \int_{0}^{1} P (t) H (t) d t + \int_{0}^{1} H {(t)}^{2} d t .

Posons

ℓ (H) = 2 \int_{0}^{1} P (t) H (t) d t

Cela définit une forme linéaire $ℓ$ sur $E$ .

Munissons $E$ de la norme $∥ \cdot ∥ = {∥ \cdot ∥}_{\infty, [0; 1]}$ . On observe

| \int_{0}^{1} H {(t)}^{2} d t | \leq {∥ H ∥}_{\infty}^{2} = o (∥ H ∥) .

Ainsi, la relation précédente donne

f (P + H) \underset{H \to 0}{=} f (P) + ℓ (H) + o (∥ H ∥)

avec $ℓ$ application linéaire.

Cela assure que $f$ est différentiable en $P$ et

d f (P) = ℓ : H \mapsto 2 \int_{0}^{1} P (t) H (t) d t .

Exercice 5 2904 MINES (MP)Correction

Soient $p \in ℕ$ et $f_{p}$ la fonction définie sur $ℝ^{2} ∖ {(0,0)}$ par

f_{p} (x, y) = {(x + y)}^{p} \sin (\frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}) .

(a)

Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $f_{p}$ se prolonge par continuité en $(0,0)$ .
(b)

On suppose que la condition précédente est remplie. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que le prolongement obtenu soit différentiable en $(0,0)$ .

Solution

(a)

En polaires, $x = r \cos (θ)$ , $y = r \sin (θ)$ ,

$f_{p} (x, y) = {(\cos (θ) + \sin (θ))}^{p} r^{p} \sin (\frac{1}{r}) .$

Cas: $p \geq 1$ .

$| f_{p} (x, y) | \leq 2^{p} r^{p} \to_{(x, y) \to (0,0)}^{} 0$

et l’on peut prolonger $f$ par continuité en $(0,0)$ .

Cas: $p = 0$ .

$f_{0} (x, y) = \sin (\frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})$

n’admet pas de limite finie en $(0,0)$ car le sinus n’admet pas de limite finie en $+ \infty$ .
(b)

On suppose $p \in ℕ^{*}$ .

Cas: $p = 2$ .

$f_{2} (x, y) = {(x + y)}^{2} \sin (\frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}) = O ({∥ (x, y) ∥}^{2})$

ce qui s’apparente à un développement limité à l’ordre $1$ en $(0,0)$ .

La fonction $f_{2}$ est donc différentiable en $(0,0)$ de différentielle nulle.

Cas: $p > 2$ .

$f_{p} (x, y) = {(x + y)}^{p - 2} f_{2} (x, y) .$

La fonction $f_{p}$ est différentiable par produit de fonctions différentiables.

Cas: $p = 1$ . Quand $h \to 0^{+}$ ,

$\frac{1}{h} (f_{1} (h,0) - f_{1} (0,0)) = \sin (\frac{1}{h})$

n’admet pas de limite finie. Ainsi, $f$ n’est pas dérivable en $(0,0)$ selon le vecteur $(1,0)$ , elle ne peut donc y être différentiable.

Exercice 6 28 Correction

Justifier que la fonction $f : ℂ^{*} \to ℂ$ définie par $f (z) = 1 / z$ est différentiable et calculer sa différentielle en tout $a \in ℂ^{*}$ .

Solution

Soit $a \in ℂ^{*}$ .

Pour $h \in ℂ$ avec $a + h \neq 0$ , on peut écrire

f (a + h) - f (a) = \frac{- h}{a (a + h)} = ℓ (h) + α (h)

avec $ℓ : h \mapsto - \frac{h}{a^{2}}$ linéaire et

α (h) = \frac{- h}{a (a + h)} + \frac{h}{a^{2}} = \frac{h^{2}}{a^{2} (a + h)} = O (h^{2}) = o (h) .

La différentielle de $f$ en $a$ est donc

ℓ : h \mapsto - \frac{h}{a^{2}} .

Exercice 7 4628

Soit $Δ : ℳ_{n} (ℝ) \to ℝ$ l’application définie par $Δ (A) = \det (A)$ .

(a)

Justifier que l’application $Δ$ est différentiable.

On convient de noter $a_{i, j}$ (avec $1 \leq i, j \leq n$ ) les coefficients génériques d’une matrice $A$ de $ℳ_{n} (ℝ)$ .

(b)

En employant un développement selon une rangée, exprimer en fonction des cofacteurs de $A$ , les dérivées partielles

$\frac{\partial Δ}{\partial a_{i, j}} (A) .$
(c)

En déduire la différentielle de l’application $Δ$ .

Exercice 8 32 Correction

On étudie l’application déterminant $\det : ℳ_{n} (ℝ) \to ℝ$ .

(a)

Justifier que l’application $\det$ est différentiable.
(b)

Calculer la différentielle de $\det$ en $I_{n}$ puis en toute matrice $M$ inversible.
(c)

En introduisant la comatrice de $M$ , exprimer la différentielle de l’application $\det$ en tout $M \in ℳ_{n} (ℝ)$ .

Solution

(a)

L’application $\det$ est différentiable (et même de classe $𝒞^{\infty}$ ) car polynomiale en vertu de l’expression générale définissant le déterminant

$\det (M) = \sum_{σ \in S_{n}} ε (σ) \prod_{i = 1}^{n} a_{σ (i), i} .$
(b)

Pour $H \in ℳ_{n} (ℝ)$ , le développement limité à l’ordre $1$ de $\det$ s’exprime

$\det (I_{n} + H) = 1 + φ (H) + ∥ H ∥ ε (H)$

avec $φ = d (\det) (I_{n})$ et $ε (H) \to_{H \to 0}^{} 0$ .

Pour $H = t E_{i, j}$ , on obtient par calcul d’un déterminant diagonal (cas $i = j$ ) ou triangulaire (cas $i \neq j$ )

$\det (I_{n} + t E_{i, j}) = 1 + t δ_{i, j} \underset{t \to 0}{=} 1 + t φ (E_{i, j}) + o (t)$

donc $φ (E_{i, j}) = δ_{i, j}$ . On en déduit $φ = tr$ .

Pour $M$ inversible,

$\det (M + H) = \det (M) \det (I_{n} + M^{- 1} H) = \det (M) + \det (M) tr (M^{- 1} H) + ∥ H ∥ ε (H)$

donc

$d (\det) (M) : H \mapsto \det (M) tr (M^{- 1} H) .$
(c)

En $M$ inversible,

$d (\det) (M) : H \mapsto \det (M) tr (M^{- 1} H) = tr (Com {(M)}^{⊤} \times H) .$

Les applications $M \mapsto d (\det) (M)$ (car en fait $\det$ est de classe $𝒞^{1}$ ) et $M \mapsto tr (Com {(M)}^{⊤} \times \cdot)$ sont continues et co$̈\mathrm{i}$ncident sur la partie dense ${GL}_{n} (ℝ)$ , elles sont donc égales sur $ℳ_{n} (ℝ)$ .

Exercice 9 34

On étudie l’application $f : M \mapsto M^{- 1}$ définie sur l’ouvert ${GL}_{n} (ℝ)$ .

(a)

En exploitant l’identité $(I_{n} + H) (I_{n} - H) = I_{n} - H^{2}$ , établir que l’application $f$ est différentiable en $I_{n}$ .
(b)

En déduire que $f$ est différentiable en toute matrice $M \in {GL}_{n} (ℝ)$ et exprimer sa différentielle.

Exercice 10 29 Correction

Soient $E$ et $F$ deux $ℝ$ -espaces vectoriels de dimension finies et $φ : E \times E \to F$ une application bilinéaire.
Établir que $φ$ est différentiable et calculer sa différentielle $d φ$ .

Solution

On a

φ (a + h, b + k) = φ (a, b) + φ (h, b) + φ (a, k) + φ (h, k) = φ (a, b) + ψ (h, k) + o (∥ (h, k) ∥)

avec $ψ : (h, k) \mapsto φ (h, b) + φ (a, k)$ linéaire et $φ (h, k) = o (∥ (h, k) ∥)$ car $| φ (h, k) | \leq M ∥ h ∥ ∥ k ∥$ .
Par suite, $φ$ est différentiable en $(a, b)$ et $d φ (a, b) = ψ$ .

Exercice 11 37

Soient $E$ un espace euclidien dont le produit scalaire est noté $(\cdot ∣ \cdot)$ et $u$ un endomorphisme autoadjoint de $E$ .

(a)

On considère l’application $f : E \to ℝ$ définie par $f (x) = (u (x) ∣ x)$ .

Montrer que $f$ est différentiable et calculer sa différentielle en tout point $a$ de $E$ .
(b)

On considère l’application $F : E ∖ {0_{E}} \to ℝ$ définie par

$F (x) = \frac{(u (x) ∣ x)}{(x ∣ x)} .$

Montrer que $F$ est différentiable et que sa différentielle vérifie, pour tout $a \in E ∖ {0_{E}}$ ,

$d F (a) = 0 \Leftrightarrow a est vecteur propre de u .$
(c)

Montrer que $F$ est bornée et atteint un maximum en un vecteur $x_{0}$ de la sphère unité. Que dire de $x_{0}$ ?

Exercice 12 36 Correction

Soit $f : E \to F$ une différentiable en $0_{E}$ vérifiant $f (λ x) = λ f (x)$ pour tout $λ \in ℝ$ et tout $x \in E$ .

Montrer que l’application $f$ est linéaire.

Solution

Remarquons

f (0) = f (0.0) = 0 . f (0) = 0

et notons $ℓ = d f (0)$ .

D’une part,

f (λ x) = f (0) + ℓ (λ x) + o (λ ∥ x ∥)

D’autre part,

f (λ x) = λ f (x) .

On en déduit

λ ℓ (x) + o (λ ∥ x ∥) = λ f (x) .

En simplifiant par $λ$ et en faisant tendre $λ$ vers $0^{+}$ , on obtient $f (x) = ℓ (x)$ .

Ainsi, l’application $f$ est linéaire (égale à sa différentielle en $0$ ).

Exercice 13 3502 CENTRALE (MP)Correction

Soient $E = 𝒞^{\infty} (ℝ^{n}, ℝ)$ , $E^{*}$ le dual de $E$ et

𝒟 = {d \in E^{*} | \forall (f, g) \in E^{2}, d (f g) = f (0) d (g) + g (0) d (f)} .

(a)

Montrer que $𝒟$ est un sous-espace vectoriel de $E^{*}$ .
(b)

Montrer que $𝒟$ est non réduit à ${0}$ .
(c)

Soit $d \in 𝒟$ et $h$ une fonction constante. Que vaut $d (h)$ ?
(d)

Soit $f \in E$ . Montrer

$\forall x \in ℝ^{n}, f (x) = f (0) + \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \int_{0}^{1} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (t x) d t .$

Vérifier que l’application $x \mapsto \int_{0}^{1} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (t x) d t$ est dans $E$ .
(e)

Soit $d \in 𝒟$ . Établir l’existence de $(a_{1}, \dots, a_{n}) \in ℝ^{n}$ tel que

$\forall f \in E, d (f) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (0) .$
(f)

Déterminer la dimension de $𝒟$ .

Solution

(a)

immédiat.
(b)

L’application $d_{h} : f \mapsto d_{h} f (0)$ fait l’affaire pour n’importe quel $h \in ℝ^{n}$ non nul.
(c)

Si $h$ est constante égale à $λ$ alors pour toute fonction $f \in E$ on a par linéarité

$d (f h) = λ d (f)$

et par définition des éléments de $𝒟$ ,

$d (f h) = f (0) d (h) + λ d (f) .$

En employant une fonction $f$ ne s’annulant pas en 0, on peut affirmer $d (h) = 0$ .
(d)

Soit $x \in ℝ^{n}$ , puisque la fonction $φ : t \in [0; 1] \mapsto f (t x)$ est de classe $𝒞^{1}$ , on a

$φ (1) = φ (0) + \int_{0}^{1} φ^{'} (t) d t$

ce qui donne

$f (x) = f (0) + \int_{0}^{1} \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (t x) d t .$

Soit $K$ un compact de $ℝ^{n}$ .
Toutes les dérivées partielles en $x$ de $(x, t) \mapsto \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (t x)$ sont continues sur $K \times [0; 1]$ donc bornées.
Par domination sur tout compact, on peut affirmer que la fonction $f_{i} : x \mapsto \int_{0}^{1} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (t x) d t$ est de classe $𝒞^{\infty}$ .
(e)

Notons $p_{i} : x \mapsto x_{i}$ .
Par linéarité de $d$ , on a

$d (f) = \sum_{i = 1}^{n} d (p_{i} f_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} d (p_{i}) f_{i} (0)$

car $d (f (0)) = 0$ et $p_{i} (0) = 0$ .
En posant $a_{i} = d (p_{i})$ et sachant

$f_{i} (0) = \int_{0}^{1} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (0) d t = \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (0)$

on obtient

$\forall f \in E, d (f) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (0) .$
(f)

L’application qui à $h \in ℝ^{n}$ associe $d_{h}$ est donc une surjection de $ℝ^{n}$ sur $𝒟$ . Cette application est linéaire et aussi injective (prendre $f : x \mapsto (h ∣ x)$ pour vérifier $d_{h} = 0 ⟹ h = 0$ ) c’est donc un isomorphisme et

$dim 𝒟 = n .$

Exercice 14 4145 MINES (MP)

Soient $n \in ℕ^{*}$ et $f : ℳ_{n} (ℝ) \to ℝ^{n}$ l’application définie par

f (M) = (tr (M), tr (M^{2}), \dots, tr (M^{n})) .

(a)

Montrer que $f$ est différentiable et calculer sa différentielle en $M \in ℳ_{n} (ℝ)$ .
(b)

Comparer le rang de $d f (M)$ et le degré du polynôme minimal de $M$ .
(c)

Montrer que l’ensemble des matrices de $ℳ_{n} (ℝ)$ dont le polynôme minimal est de degré $n$ est une partie ouverte de $ℳ_{n} (ℝ)$ .

[>] Dérivée selon un vecteur

Édité le 12-04-2024

Différentielle