Posons $f(P)={\int }_0^{1}P{(t)}^{2}dt$. $f(P+H)=f(P)+2{\int }_0^{1}P(t)H(t)dt+{\int }_0^{1}H{(t)}^{2}dt$.
Posons $\mathrm{\ell }(H)=2{\int }_0^{1}P(t)H(t)dt$ ce qui définit $\mathrm{\ell }$ forme linéaire sur $E$.
En munissant $E$ de la norme $\parallel \cdot \parallel ={\parallel \cdot \parallel }_{\mathrm{\infty }}$, on observe $\left|{\int }_0^{1}H{(t)}^{2}dt\right|\le {\parallel H\parallel }_{\mathrm{\infty }}^2=\mathrm{o}(\parallel H\parallel )$.
Ainsi, la relation précédente donne $f(P+H)=f(P)+\mathrm{\ell }(H)+\mathrm{o}(\parallel H\parallel )$ ce qui assure que $f$ est différentiable en $P$ et $\mathrm{d}f(P):H\mapsto 2{\int }_0^{1}P(t)H(t)dt$.

• (a)

  En polaires, $x=r\cos (\theta )$, $y=r\sin (\theta )$,

  $$f_p(x,y)={\left(\cos (\theta )+\sin (\theta )\right)}^p{r}^p\sin \left(\frac{1}{r}\right)\text{.}$$

  Cas: $p\ge 1$.

  $$\left|f_p(x,y)\right|\le 2^p{r}^p\underset{(x,y)\to \left(\mathrm{0,0}\right)}{\overset{}{\to }}0$$

  et l’on peut prolonger $f$ par continuité en $(\mathrm{0,0})$.

  Cas: $p=0$.

  $$f_0(x,y)=\sin \left(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)$$

  n’admet pas de limite finie en $(\mathrm{0,0})$ car le sinus n’admet pas de limite finie en $+\mathrm{\infty }$.

• (b)

  On suppose $p\in {\mathbb{N}}^{*}$.

  Cas: $p=2$.

  $$f_2(x,y)={(x+y)}^2\sin \left(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)=\mathrm{O}\left({\parallel (x,y)\parallel }^2\right)$$

  ce qui s’apparente à un développement limité à l’ordre $1$ en $(\mathrm{0,0})$.

  La fonction $f_2$ est donc différentiable en $(\mathrm{0,0})$ de différentielle nulle.

  Cas: $p>2$.

  $$f_p(x,y)={(x+y)}^{p-2}{f}_2(x,y)\text{.}$$

  La fonction $f_p$ est différentiable par produit de fonctions différentiables.

  Cas: $p=1$. Quand $h\to 0^{+}$,

  $$\frac{1}{h}\left(f_1(h\mathrm{,0})-f_1(\mathrm{0,0})\right)=\sin \left(\frac{1}{h}\right)$$

  n’admet pas de limite finie. Ainsi, $f$ n’est pas dérivable en $(\mathrm{0,0})$ selon le vecteur $(\mathrm{1,0})$, elle ne peut donc y être différentiable.

Soient $a\in {ℂ}^{*}$ et $h\in ℂ$.
On peut écrire

$$f(a+h)-f(a)=\frac{-h}{a(a+h)}=\mathrm{\ell }(h)+\alpha (h)$$

avec $\mathrm{\ell }:h\mapsto -\frac{h}{a^2}$ linéaire et

$$\alpha (h)=\frac{-h}{a(a+h)}+\frac{h}{a^2}=\frac{h^2}{a^2(a+h)}=\mathrm{O}(h^2)=\mathrm{o}(h)\text{.}$$

La différentielle de $f$ en $a$ est donc

$$\mathrm{\ell }:h\mapsto -\frac{h}{a^2}\text{.}$$

• (a)

  $\det$ est différentiable (et même de classe ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}$) car polynomiale en vertu de l’expression générale définissant le déterminant

  $$\det (M)=\sum _{\sigma \in S_n}\epsilon (\sigma )\prod _{i=1}^n{a}_{\sigma (i),i}\text{.}$$

• (b)

  $\det (I+H)=1+\phi (H)+\mathrm{o}(\parallel H\parallel )$ avec $\phi ={\mathrm{d}}_I(\det )$.
  Pour $H=\lambda E_{i,j}$, on obtient

  $$\det ({\mathrm{I}}_n+\lambda E_{i,j})=1+\lambda {\delta }_{i,j}=1+\lambda \phi (E_{i,j})+\mathrm{o}(\lambda )$$

  donc $\phi (E_{i,j})={\delta }_{i,j}$ puis

  $$\phi =\mathrm{tr}\text{.}$$

  Soit $M$ inversible.

  $$\det (M+H)=\det (M)\det (I+M^{-1}H)=\det (M)+\det (M)\mathrm{tr}(M^{-1}H)+\mathrm{o}(H)$$

  donc

  $$\mathrm{d}(\det )(M):H\mapsto \det (M)\mathrm{tr}(M^{-1}H)\text{.}$$

• (c)

  En $M$ inversible

  $$\mathrm{d}(\det )(M):H\mapsto \det (M)\mathrm{tr}(M^{-1}H)=\mathrm{tr}({}^t\mathrm{Com}(M).H)\text{.}$$

  Les applications $M\mapsto \mathrm{d}(\det )(M)$ et $M\mapsto \mathrm{tr}({}^t\mathrm{Com}(M)\times .)$ sont continues et coïncident sur la partie dense ${\mathrm{GL}}_n(ℝ)$, elles sont donc égales sur ${ℳ}_n(ℝ)$.

On a

$$\phi (a+h,b+k)=\phi (a,b)+\phi (h,b)+\phi (a,k)+\phi (h,k)=\phi (a,b)+\psi (h,k)+\mathrm{o}\left(\parallel (h,k)\parallel \right)$$

avec $\psi :(h,k)\mapsto \phi (h,b)+\phi (a,k)$ linéaire et $\phi (h,k)=\mathrm{o}\left(\parallel (h,k)\parallel \right)$ car $\left|\phi (h,k)\right|\le M\parallel h\parallel \parallel k\parallel$.
Par suite, $\phi$ est différentiable en $(a,b)$ et $\mathrm{d}\phi (a,b)=\psi$.

Remarquons

$$f(0)=f(0.0)=0.f(0)=0$$

et notons $\mathrm{\ell }=\mathrm{d}f(0)$.
D’une part

$$f(\lambda x)=f(0)+\mathrm{\ell }(\lambda x)+\mathrm{o}(\lambda \parallel x\parallel )$$

et d’autre part

$$f(\lambda x)=\lambda f(x)\text{.}$$

On en déduit

$$\lambda \mathrm{\ell }(x)+\mathrm{o}(\lambda \parallel x\parallel )=\lambda f(x)\text{.}$$

En simplifiant par $\lambda$ et en faisant $\lambda \to 0^{+}$, on obtient $f(x)=\mathrm{\ell }(x)$.
Ainsi, l’application $f$ est linéaire.

• (a)

  immédiat.

• (b)

  L’application $d_h:f\mapsto {\mathrm{d}}_{h}f(0)$ fait l’affaire pour n’importe quel $h\in {ℝ}^n$ non nul.

• (c)

  Si $h$ est constante égale à $\lambda$ alors pour toute fonction $f\in E$ on a par linéarité

  $$d(fh)=\lambda d(f)$$

  et par définition des éléments de $𝒟$,

  $$d(fh)=f(0)d(h)+\lambda d(f)\text{.}$$

  En employant une fonction $f$ ne s’annulant pas en 0, on peut affirmer $d(h)=0$.

• (d)

  Soit $x\in {ℝ}^n$, puisque la fonction $\phi :t\in [0;1]\mapsto f(tx)$ est de classe ${𝒞}^1$, on a

  $$\phi (1)=\phi (0)+{\int }_0^1{\phi }^{\prime }(t)dt$$

  ce qui donne

  $$f(x)=f(0)+{\int }_0^1\sum _{i=1}^n{x}_i\frac{\partial f}{\partial x_i}(tx)\mathrm{d}t\text{.}$$

  Soit $K$ un compact de ${ℝ}^n$.
  Toutes les dérivées partielles en $x$ de $(x,t)\mapsto \frac{\partial f}{\partial x_i}(tx)$ sont continues sur $K\times [0;1]$ donc bornées.
  Par domination sur tout compact, on peut affirmer que la fonction $f_i:x\mapsto {\int }_0^1\frac{\partial f}{\partial x_i}(tx)dt$ est de classe ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}$.

• (e)

  Notons $p_i:x\mapsto x_i$.
  Par linéarité de $d$, on a

  $$d(f)=\sum _{i=1}^{n}d(p_i{f}_i)=\sum _{i=1}^{n}d(p_i)f_i(0)$$

  car $d(f(0))=0$ et $p_i(0)=0$.
  En posant $a_i=d(p_i)$ et sachant

  $$f_i(0)={\int }_0^1\frac{\partial f}{\partial x_i}(0)dt=\frac{\partial f}{\partial x_i}(0)$$

  on obtient

  $$\forall f\in E,d(f)=\sum _{i=1}^n{a}_i\frac{\partial f}{\partial x_i}(0)\text{.}$$

• (f)

  L’application qui à $h\in {ℝ}^n$ associe $d_h$ est donc une surjection de ${ℝ}^n$ sur $𝒟$. Cette application est linéaire et aussi injective (prendre $f:x\mapsto (h\mid x)$ pour vérifier $d_h=0⟹h=0$) c’est donc un isomorphisme et

  $$dim𝒟=n\text{.}$$