Soient définie par .
Justifier que est différentiable et calculer sa différentielle en .
Solution
Soit .
Méthode: On exprime un développement limité à l’ordre de en .
Pour ,
(1) |
D’une part, la partie linéaire de cette écriture correspond au terme .
D’autre part, le terme peut se comprendre comme un . En effet, en introduisant une norme sous-multiplicative, on a
La relation (1) se comprend donc
avec application linéaire et fonction de limite nulle en . La fonction est donc différentiable en de différentielle:
Soient définie par .
Justifier que est différentiable et calculer sa différentielle en tout .
Solution
Soit .
Méthode: On exprime un développement limité à l’ordre de en .
Pour ,
(1) |
D’une part, la partie linéaire de cette écriture correspond au terme .
D’autre part, le terme peut se comprendre comme un terme avec de limite nulle en . En effet, en introduisant , on remarque
La relation (1) se comprend donc
avec application linéaire et fonction de limite nulle en . La fonction est donc différentiable en de différentielle:
Soit l’application définie par .
Justifier que est différentiable et calculer sa différentielle en tout .
Montrer que l’application
définie sur est différentiable et exprimer sa différentielle.
Solution
Notons l’application étudiée:
Soit . Pour ,
Posons
Cela définit une forme linéaire sur .
Munissons de la norme . On observe
Ainsi, la relation précédente donne
avec application linéaire.
Cela assure que est différentiable en et
Soient et la fonction définie sur par
Donner une condition nécessaire et suffisante pour que se prolonge par continuité en .
On suppose que la condition précédente est remplie. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que le prolongement obtenu soit différentiable en .
Solution
En polaires, , ,
Cas: .
et l’on peut prolonger par continuité en .
Cas: .
n’admet pas de limite finie en car le sinus n’admet pas de limite finie en .
On suppose .
Cas: .
ce qui s’apparente à un développement limité à l’ordre en .
La fonction est donc différentiable en de différentielle nulle.
Cas: .
La fonction est différentiable par produit de fonctions différentiables.
Cas: . Quand ,
n’admet pas de limite finie. Ainsi, n’est pas dérivable en selon le vecteur , elle ne peut donc y être différentiable.
Justifier que la fonction définie par est différentiable et calculer sa différentielle en tout .
Solution
Soit .
Pour avec , on peut écrire
avec linéaire et
La différentielle de en est donc
Soit l’application définie par .
Justifier que l’application est différentiable.
On convient de noter (avec ) les coefficients génériques d’une matrice de .
En employant un développement selon une rangée, exprimer en fonction des cofacteurs de , les dérivées partielles
En déduire la différentielle de l’application .
On étudie l’application déterminant .
Justifier que l’application est différentiable.
Calculer la différentielle de en puis en toute matrice inversible.
En introduisant la comatrice de , exprimer la différentielle de l’application en tout .
Solution
L’application est différentiable (et même de classe ) car polynomiale en vertu de l’expression générale définissant le déterminant
Pour , le développement limité à l’ordre de s’exprime
avec et .
Pour , on obtient par calcul d’un déterminant diagonal (cas ) ou triangulaire (cas )
donc . On en déduit .
Pour inversible,
donc
En inversible,
Les applications (car en fait est de classe ) et sont continues et co$̈\mathrm{i}$ncident sur la partie dense , elles sont donc égales sur .
On étudie l’application définie sur l’ouvert .
En exploitant l’identité , établir que l’application est différentiable en .
En déduire que est différentiable en toute matrice et exprimer sa différentielle.
Soient et deux -espaces vectoriels de dimension finies et une application bilinéaire.
Établir que est différentiable et calculer sa différentielle .
Solution
On a
avec linéaire et car .
Par suite, est différentiable en et .
Soient un espace euclidien dont le produit scalaire est noté et un endomorphisme autoadjoint de .
On considère l’application définie par .
Montrer que est différentiable et calculer sa différentielle en tout point de .
On considère l’application définie par
Montrer que est différentiable et que sa différentielle vérifie, pour tout ,
Montrer que est bornée et atteint un maximum en un vecteur de la sphère unité. Que dire de ?
Soient un ouvert connexe par arcs d’un espace vectoriel réel de dimension finie et une fonction telle qu’il existe pour lequel
Montrer que est constante.
Solution
Pour tout , l’hypothèse permet d’écrire
avec identiquement nulle et fonction de limite nulle en .
La fonction est différentiable et sa différentielle est constante égale à l’application identiquement nulle. Puisque est un ouvert connexe par arcs, on peut affirmer que est constante.
Soit une différentiable en vérifiant pour tout et tout .
Montrer que l’application est linéaire.
Solution
Remarquons
et notons .
D’une part,
D’autre part,
On en déduit
En simplifiant par et en faisant tendre vers , on obtient .
Ainsi, l’application est linéaire (égale à sa différentielle en ).
Soient , le dual de et
Montrer que est un sous-espace vectoriel de .
Montrer que est non réduit à .
Soit et une fonction constante. Que vaut ?
Soit . Montrer
Vérifier que l’application est dans .
Soit . Établir l’existence de tel que
Déterminer la dimension de .
Solution
immédiat.
L’application fait l’affaire pour n’importe quel non nul.
Si est constante égale à alors pour toute fonction on a par linéarité
et par définition des éléments de ,
En employant une fonction ne s’annulant pas en 0, on peut affirmer .
Soit , puisque la fonction est de classe , on a
ce qui donne
Soit un compact de .
Toutes les dérivées partielles en de sont continues sur donc bornées.
Par domination sur tout compact, on peut affirmer que la fonction est de classe .
Notons .
Par linéarité de , on a
car et .
En posant et sachant
on obtient
L’application qui à associe est donc une surjection de sur . Cette application est linéaire et aussi injective (prendre pour vérifier ) c’est donc un isomorphisme et
Soient et l’application définie par
Montrer que est différentiable et calculer sa différentielle en .
Comparer le rang de et le degré du polynôme minimal de .
Montrer que l’ensemble des matrices de dont le polynôme minimal est de degré est une partie ouverte de .
Édité le 12-05-2025
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