[>] Dérivée selon un vecteur

 
Exercice 1  31  

Soit f:n()n() l’application définie par f(M)=M3.

Justifier que f est différentiable et calculer sa différentielle en tout Mn().

 
Exercice 2  35  Correction  

Montrer que l’application

P01P(t)2dt

définie sur E=n[X] est différentiable et exprimer sa différentielle.

Solution

Posons f(P)=01P(t)2dt. f(P+H)=f(P)+201P(t)H(t)dt+01H(t)2dt.
Posons (H)=201P(t)H(t)dt ce qui définit forme linéaire sur E.
En munissant E de la norme =, on observe |01H(t)2dt|H2=o(H).
Ainsi, la relation précédente donne f(P+H)=f(P)+(H)+o(H) ce qui assure que f est différentiable en P et df(P):H201P(t)H(t)dt.

 
Exercice 3  2904     MINES (MP)Correction  

Soient p et fp la fonction définie sur 2{(0,0)} par

fp(x,y)=(x+y)psin(1x2+y2).
  • (a)

    Donner une condition nécessaire et suffisante pour que fp se prolonge par continuité en (0,0).

  • (b)

    La condition du (a) étant remplie, donner une condition nécessaire et suffisante pour que le prolongement obtenu soit différentiable en (0,0).

Solution

  • (a)

    En polaires, x=rcos(θ), y=rsin(θ),

    fp(x,y)=(cos(θ)+sin(θ))prpsin(1r).

    Cas: p1.

    |fp(x,y)|2prp(x,y)(0,0)0

    et l’on peut prolonger f par continuité en (0,0).

    Cas: p=0.

    f0(x,y)=sin(1x2+y2)

    n’admet pas de limite finie en (0,0) car le sinus n’admet pas de limite finie en +.

  • (b)

    On suppose p*.

    Cas: p=2.

    f2(x,y)=(x+y)2sin(1x2+y2)=O((x,y)2)

    ce qui s’apparente à un développement limité à l’ordre 1 en (0,0).

    La fonction f2 est donc différentiable en (0,0) de différentielle nulle.

    Cas: p>2.

    fp(x,y)=(x+y)p-2f2(x,y).

    La fonction fp est différentiable par produit de fonctions différentiables.

    Cas: p=1. Quand h0+,

    1h(f1(h,0)-f1(0,0))=sin(1h)

    n’admet pas de limite finie. Ainsi, f n’est pas dérivable en (0,0) selon le vecteur (1,0), elle ne peut donc y être différentiable.

 
Exercice 4  28   Correction  

Justifier que la fonction f:* définie par f(z)=1/z est différentiable et calculer sa différentielle.

Solution

Soient a* et h.
On peut écrire

f(a+h)-f(a)=-ha(a+h)=(h)+α(h)

avec :h-ha2 linéaire et

α(h)=-ha(a+h)+ha2=h2a2(a+h)=O(h2)=o(h).

La différentielle de f en a est donc

:h-ha2.
 
Exercice 5  4628   

Soit Δ:n() l’application définie par Δ(A)=det(A).

  • (a)

    Justifier que l’application Δ est différentiable.

On convient de noter ai,j (avec 1i,jn) les coefficients génériques d’une matrice A de n().

  • (b)

    En exploitant un développement selon une rangée, exprimer en fonction des cofacteurs de A, les dérivées partielles

    Δai,j(A).
  • (c)

    En déduire la différentielle de l’application Δ.

 
Exercice 6  32   Correction  
  • (a)

    Justifier que l’application det:n() est différentiable.

  • (b)

    Calculer sa différentielle en In puis en toute matrice M inversible.

  • (c)

    En introduisant la comatrice de M, exprimer la différentielle de l’application det en tout Mn().

Solution

  • (a)

    det est différentiable (et même de classe 𝒞) car polynomiale en vertu de l’expression générale définissant le déterminant

    det(M)=σSnε(σ)i=1naσ(i),i.
  • (b)

    det(I+H)=1+φ(H)+o(H) avec φ=dI(det).
    Pour H=λEi,j, on obtient

    det(In+λEi,j)=1+λδi,j=1+λφ(Ei,j)+o(λ)

    donc φ(Ei,j)=δi,j puis

    φ=tr.

    Soit M inversible.

    det(M+H)=det(M)det(I+M-1H)=det(M)+det(M)tr(M-1H)+o(H)

    donc

    d(det)(M):Hdet(M)tr(M-1H).
  • (c)

    En M inversible

    d(det)(M):Hdet(M)tr(M-1H)=tr(Comt(M).H).

    Les applications Md(det)(M) et Mtr(Comt(M)×.) sont continues et coïncident sur la partie dense GLn(), elles sont donc égales sur n().

 
Exercice 7  34   

On étudie l’application f:MM-1 définie sur l’ouvert GLn().

  • (a)

    En exploitant l’identité (In+H)(In-H)=In-H2, établir que l’application f est différentiable en In.

  • (b)

    En déduire que f est différentiable en toute matrice MGLn() et exprimer sa différentielle.

 
Exercice 8  29   Correction  

Soient E et F deux -espaces vectoriels de dimension finies et φ:E×EF une application bilinéaire.
Établir que φ est différentiable et calculer sa différentielle dφ.

Solution

On a

φ(a+h,b+k)=φ(a,b)+φ(h,b)+φ(a,k)+φ(h,k)=φ(a,b)+ψ(h,k)+o((h,k))

avec ψ:(h,k)φ(h,b)+φ(a,k) linéaire et φ(h,k)=o((h,k)) car |φ(h,k)|Mhk.
Par suite, φ est différentiable en (a,b) et dφ(a,b)=ψ.

 
Exercice 9  37   

Soient E un espace euclidien dont le produit scalaire est noté () et u un endomorphisme symétrique de E.

  • (a)

    Montrer que l’application f:x(u(x)x) de E vers est différentiable et calculer sa différentielle en tout point de E.

  • (b)

    Montrer que l’application

    F:xE{0E}(u(x)x)(xx)

    est différentiable sur E{0E} et que sa différentielle vérifie, pour tout aE{0E},

    dF(a)=0a est vecteur propre de u.
 
Exercice 10  36   Correction  

Soit f:EF différentiable vérifiant f(λx)=λf(x) pour tout λ et tout xE. Montrer que l’application f est linéaire.

Solution

Remarquons

f(0)=f(0.0)=0.f(0)=0

et notons =df(0).
D’une part

f(λx)=f(0)+(λx)+o(λx)

et d’autre part

f(λx)=λf(x).

On en déduit

λ(x)+o(λx)=λf(x).

En simplifiant par λ et en faisant λ0+, on obtient f(x)=(x).
Ainsi, l’application f est linéaire.

 
Exercice 11  3502     CENTRALE (MP)Correction  

Soient E=𝒞(n,), E* le dual de E et

𝒟={dE*|(f,g)E2,d(fg)=f(0)d(g)+g(0)d(f)}.
  • (a)

    Montrer que 𝒟 est un sous-espace vectoriel de E*.

  • (b)

    Montrer que 𝒟 est non réduit à {0}.

  • (c)

    Soit d𝒟 et h une fonction constante. Que vaut d(h)?

  • (d)

    Soit fE. Montrer

    xn,f(x)=f(0)+i=1nxi01fxi(tx)dt.

    Vérifier que l’application x01fxi(tx)dt est dans E.

  • (e)

    Soit d𝒟. Établir l’existence de (a1,,an)n tel que

    fE,d(f)=i=1naifxi(0).
  • (f)

    Déterminer la dimension de 𝒟.

Solution

  • (a)

    immédiat.

  • (b)

    L’application dh:fdhf(0) fait l’affaire pour n’importe quel hn non nul.

  • (c)

    Si h est constante égale à λ alors pour toute fonction fE on a par linéarité

    d(fh)=λd(f)

    et par définition des éléments de 𝒟,

    d(fh)=f(0)d(h)+λd(f).

    En employant une fonction f ne s’annulant pas en 0, on peut affirmer d(h)=0.

  • (d)

    Soit xn, puisque la fonction φ:t[0;1]f(tx) est de classe 𝒞1, on a

    φ(1)=φ(0)+01φ(t)dt

    ce qui donne

    f(x)=f(0)+01i=1nxifxi(tx)dt.

    Soit K un compact de n.
    Toutes les dérivées partielles en x de (x,t)fxi(tx) sont continues sur K×[0;1] donc bornées.
    Par domination sur tout compact, on peut affirmer que la fonction fi:x01fxi(tx)dt est de classe 𝒞.

  • (e)

    Notons pi:xxi.
    Par linéarité de d, on a

    d(f)=i=1nd(pifi)=i=1nd(pi)fi(0)

    car d(f(0))=0 et pi(0)=0.
    En posant ai=d(pi) et sachant

    fi(0)=01fxi(0)dt=fxi(0)

    on obtient

    fE,d(f)=i=1naifxi(0).
  • (f)

    L’application qui à hn associe dh est donc une surjection de n sur 𝒟. Cette application est linéaire et aussi injective (prendre f:x(hx) pour vérifier dh=0h=0) c’est donc un isomorphisme et

    dim𝒟=n.
 
Exercice 12  4145      MINES (MP)

Soient n* et f:n()n l’application définie par

f(M)=(tr(M),tr(M2),,tr(Mn)).
  • (a)

    Montrer que f est différentiable et calculer sa différentielle en Mn().

  • (b)

    Comparer le rang de df(M) et le degré du polynôme minimal de M.

  • (c)

    Montrer que l’ensemble des matrices de n() dont le polynôme minimal est de degré n est une partie ouverte de n().

 [>] Dérivée selon un vecteur



Édité le 08-11-2019

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