Par opérations sur les fonctions, $f$ est de classe ${𝒞}^1$ sur ${ℝ}^2\setminus \left\{(\mathrm{0,0})\right\}$ avec

$$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{y^3}{x^2+y^2}-\frac{2x^2{y}^3}{{(x^2+y^2)}^2}\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{3x{y}^2}{x^2+y^2}-\frac{2x{y}^4}{{(x^2+y^2)}^2}\text{.}$$

Sous réserve d’existence,

$$\frac{\partial f}{\partial x}(\mathrm{0,0})=\underset{\genfrac{}{}{0pt}{}{t\to 0}{t\ne 0}}{lim}\frac{1}{t}\left(f(t\mathrm{,0})-f(\mathrm{0,0})\right)\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}\frac{\partial f}{\partial y}(\mathrm{0,0})=\underset{\genfrac{}{}{0pt}{}{t\to 0}{t\ne 0}}{lim}\frac{1}{t}\left(f(0,t)-f(\mathrm{0,0})\right)\text{.}$$

Or

$$\frac{1}{t}\left(f(t\mathrm{,0})-f(\mathrm{0,0})\right)=0\underset{{\displaystyle \genfrac{}{}{0pt}{}{t\to 0}{t\ne 0}}}{\overset{}{\to }}0\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}\frac{1}{t}\left(f(0,t)-f(\mathrm{0,0})\right)=0\underset{\genfrac{}{}{0pt}{}{t\to 0}{t\ne 0}}{\overset{}{\to }}0$$

donc les dérivées partielles $\frac{\partial f}{\partial x}(\mathrm{0,0})$ et $\frac{\partial f}{\partial y}(\mathrm{0,0})$ existent et

$$\frac{\partial f}{\partial x}(\mathrm{0,0})=\frac{\partial f}{\partial y}(\mathrm{0,0})=0\text{.}$$

Aussi,

$$\left|\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)-\frac{\partial f}{\partial x}(\mathrm{0,0})\right|\le |y|\frac{y^2}{x^2+y^2}+2|y|{\left(\frac{xy}{x^2+y^2}\right)}^2\underset{(x,y)\to \left(\mathrm{0,0}\right)}{\overset{}{\to }}0$$

et

$$\left|\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)-\frac{\partial f}{\partial y}(\mathrm{0,0})\right|\le 3|y|\frac{|xy|}{x^2+y^2}+2|y|\frac{|xy|}{x^2+y^2}\frac{y^2}{x^2+y^2}\underset{(x,y)\to \left(\mathrm{0,0}\right)}{\overset{}{\to }}0\text{.}$$

Les dérivées partielles de $f$ sont donc continues en $(\mathrm{0,0})$ et donc, finalement, continues sur ${ℝ}^2$. La fonction $f$ est de classe ${𝒞}^1$ sur ${ℝ}^2$.

Sous réserve d’existence,

$$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}(\mathrm{0,0})=\underset{\genfrac{}{}{0pt}{}{t\to 0}{t\ne 0}}{lim}\frac{1}{t}\left(\frac{\partial f}{\partial x}(0,t)-\frac{\partial f}{\partial x}(\mathrm{0,0})\right)$$

et

$$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(\mathrm{0,0})=\underset{\genfrac{}{}{0pt}{}{t\to 0}{t\ne 0}}{lim}\frac{1}{t}\left(\frac{\partial f}{\partial y}(t\mathrm{,0})-\frac{\partial f}{\partial y}(\mathrm{0,0})\right)\text{.}$$

Or

$$\frac{1}{t}\left(\frac{\partial f}{\partial x}(0,t)-\frac{\partial f}{\partial x}(\mathrm{0,0})\right)=1\underset{{\displaystyle \genfrac{}{}{0pt}{}{t\to 0}{t\ne 0}}}{\overset{}{\to }}1$$

et

$$\frac{1}{t}\left(\frac{\partial f}{\partial y}(t\mathrm{,0})-\frac{\partial f}{\partial y}(\mathrm{0,0})\right)=0\underset{{\displaystyle \genfrac{}{}{0pt}{}{t\to 0}{t\ne 0}}}{\overset{}{\to }}0\text{.}$$

Donc $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(\mathrm{0,0})$ et $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}(\mathrm{0,0})$ existent et l’on a

$$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(\mathrm{0,0})=0\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}(\mathrm{0,0})=1\text{.}$$

On en déduit que $f$ n’est pas de classe ${𝒞}^2$ au voisinage de $(\mathrm{0,0})$ car la conclusion du théorème de Schwarz n’est pas vérifiée.

On pose $\phi (a,a)=-\sin (a)$. On observe que $\phi (x,y)\to \phi (a,a)$ lorsque $(x,y)\to (a,a)$ avec $x\ne y$ et aussi lorsque $(x,y)\to (a,a)$ avec $x=y$. La fonction $\phi$ ainsi prolongée est continue sur ${ℝ}^2$.

En vertu de

$$\cos (p)-\cos (q)=-2\sin \left(\frac{p-q}{2}\right)\sin \left(\frac{p+q}{2}\right)$$

on a

$$\phi (x,y)=-\mathrm{sinc}\left(\frac{x-y}{2}\right)\sin \left(\frac{x+y}{2}\right)$$

avec $\mathrm{sinc}$ de classe ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}$ sur $ℝ$ car développable en série entière.

Par opérations sur les fonctions, $\phi$ est de classe ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}$ sur ${ℝ}^2$.