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Exercice 1  3885  Correction  

Soient u un endomorphisme symétrique d’un espace euclidien E et x0 un vecteur de E. On étudie la fonction f:E définie par

f(x)=12(u(x)x)+(x0x).
  • (a)

    Montrer que f est différentiable et exprimer sa différentielle.

  • (b)

    Calculer le gradient de f en tout point de E.

Solution

  • (a)

    Soit aE. On peut écrire

    f(a+h)=12((u(a)a)+(u(a)h)+(u(h)a)+(u(h)h))+(x0a)+(x0h).

    Sachant (u(h)a)=(u(a)h), on obtient

    f(a+h)=f(a)+(h)+(u(h)h)

    avec la forme linéaire donnée par

    (h)=(u(a)+x0h).

    Puisque

    |(u(h)h)|u(h)h avec u(h)h0E0

    on obtient le développement limité à l’ordre 1

    f(a+h)=f(a)+(h)+o(h).

    Finalement, f est différentiable en a et

    df(a).h=(u(a)+x0h).
  • (b)

    Le gradient de f en a est alors

    f(a)=u(a)+x0.
 
Exercice 2  30   Correction  

Soit E un espace vectoriel euclidien.

  • (a)

    En quels points l’application xx2 est-elle différentiable?

  • (b)

    Préciser en ces points le vecteur gradient.

Solution

  • (a)

    Cas: x=0.

    1t(0+t.h-0)=|t|th

    n’a pas de limite qaund t tend vers 0. Par suite, n’est pas différentiable en 0.

    Cas: x0.

    x+h =x2+2(xh)+h2
    =x1+2(xh)x2+h2x2=x+(xh)x+o(h)

    donc est différentiable en x et de différentielle

    h(xh)x.
  • (b)

    Le vecteur gradient en x0 est

    1x.x.
 
Exercice 3  1750   

On munit 2 de sa structure euclidienne canonique.

Soient f:× une fonction de classe 𝒞1 et g:× définie par

g(r,θ)=f(rcos(θ),rsin(θ)).

Soient (x,y)2{(0,0)} et (r,θ)+*× tels que x=rcos(θ) et y=rsin(θ).

  • (a)

    Exprimer

    fx(x,y) et fy(x,y) en fonction de gr(r,θ) et gθ(r,θ).

On introduit les vecteurs ur=(cos(θ),sin(θ)) et uθ=(-sin(θ),cos(θ)).

  • (b)

    Exprimer le gradient de f en (x,y) en fonction de ur, uθ et des dérivées partielles de g.

 
Exercice 4  5219   

On munit n de sa structure euclidienne canonique.

Soient U un ouvert convexe non vide de n et f:U une fonction de classe 𝒞1.

  • (a)

    Montrer que, si les dérivées partielles de f sont nulles, alors f est une fonction constante.

  • (b)

    Montrer que, si le gradient de f est borné, alors pour tout (a,b)U

    |f(b)-f(a)|Mb-a avec M=supxUf(x).
 
Exercice 5  5107   

On munit n de sa structure euclidienne canonique et l’on identifie n et l’espace des colonnes n,1().

Soient An() une matrice symétrique et fA:n définie par fA(x)=xtAx.

  • (a)

    Calculer les dérivées partielles de fA et exprimer fA(x) en fonction de Ax pour tout xn.

Pour xn non nul, on introduit le quotient de Rayleigh

R(x)=xtAxxtx.
  • (b)

    Montrer que x est vecteur propre de A si, et seulement si, R(x)=0.

 
Exercice 6  33   Correction  
  • (a)

    Montrer que l’application Δ:Adet(A) est différentiable sur n().

  • (b)

    Calculer sa différentielle en commençant par évaluer ses dérivées partielles.

  • (c)

    On munit n() du produit scalaire canonique défini par A,B=tr(AtB).
    Déterminer le vecteur gradient de Δ en A

Solution

Notons A=(ai,j)

  • (a)

    Puisque

    Δ(A)=σ𝒮nε(σ)i=1naσ(i),i

    la fonction Δ est différentiable sur n() par somme et produit de fonctions qui le sont (à savoir les application linéaires Aai,j).

  • (b)

    En développant le déterminant selon la i-ème ligne, on obtient

    det(A)=j=1nai,jAi,j

    avec Ai,j cofacteur d’indice (i,j). On en déduit.

    (i,j)Δ(A)=Ai,j.

    Par conséquent, la différentielle de Δ en A est

    dΔ(A):Hi,j=1nAi,jhi,j.
  • (c)

    On observe

    dΔ(A)H=tr(Comt(A)H))=Com(A),H.

    Le vecteur gradient de Δ en A est donc Com(A).

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Édité le 08-11-2019

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