[<] Matrice jacobienne [>] Fonction de classe C1
Soient un endomorphisme autoadjoint d’un espace euclidien et un vecteur de . On étudie la fonction définie par
Montrer que est différentiable et exprimer sa différentielle.
Calculer le gradient de en tout point de .
Solution
Soit . On peut écrire
Sachant , on obtient
avec la forme linéaire donnée par
Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,
car l’application linéaire est continue puisqu’au départ d’un espace de dimension finie.
On a donc formé un développement limité à l’ordre
La fonction est donc différentiable en et
On reconnaît alors le gradient de en : .
Soit un espace vectoriel euclidien.
En quels points l’application est-elle différentiable?
Préciser en ces points le vecteur gradient.
Solution
Cas: .
n’a pas de limite qaund tend vers . Par suite, n’est pas différentiable en .
Cas: .
donc est différentiable en et de différentielle
Le vecteur gradient en est
On munit de sa structure euclidienne canonique.
Soient une fonction de classe et définie par
Soient et tels que et .
Exprimer les dérivées partielles de en en fonction des dérivées partielles de en .
On introduit les vecteurs et .
Exprimer le gradient de en en fonction de , et des dérivées partielles de .
On munit de sa structure euclidienne canonique.
Soient un ouvert convexe non vide de et une fonction de classe .
Montrer que, si les dérivées partielles de sont nulles, alors est une fonction constante.
Montrer que, si le gradient de est borné, alors pour tout
On munit de sa structure euclidienne canonique et l’on identifie et l’espace des colonnes .
Soient une matrice symétrique et définie par .
Calculer les dérivées partielles de et exprimer en fonction de pour tout .
Pour non nul, on introduit le quotient de Rayleigh
Montrer que est vecteur propre de si, et seulement si, .
Montrer que l’application est différentiable sur .
Calculer sa différentielle en commençant par évaluer ses dérivées partielles.
On munit du produit scalaire canonique défini par .
Déterminer le vecteur gradient de en
Solution
Notons
Puisque
la fonction est différentiable sur par somme et produit de fonctions qui le sont (à savoir les application linéaires ).
En développant le déterminant selon la -ème ligne, on obtient
avec cofacteur d’indice . On en déduit.
Par conséquent, la différentielle de en est
On observe
Le vecteur gradient de en est donc .
Soit une fonction de classe définie sur ouvert convexe d’un espace euclidien . On suppose
Montrer que la fonction est convexe, c’est-à-dire qu’elle vérifie
Solution
Soient . Pour , on pose
La fonction est dérivable avec
Pour ,
En posant et ,
et donc .
La fonction est alors croissante et par conséquent est convexe. La propriété
donne alors
[<] Matrice jacobienne [>] Fonction de classe C1
Édité le 23-02-2024
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