[<] Matrice jacobienne [>] Fonction de classe C1

 
Exercice 1  3885  Correction  

Soient u un endomorphisme autoadjoint d’un espace euclidien E et x0 un vecteur de E. On étudie la fonction f:E définie par

f(x)=12(u(x)x)+(x0x).
  • (a)

    Montrer que f est différentiable et exprimer sa différentielle.

  • (b)

    Calculer le gradient de f en tout point de E.

Solution

  • (a)

    Soit aE. On peut écrire

    f(a+h)=12((u(a)a)+(u(a)h)+(u(h)a)+(u(h)h))+(x0a)+(x0h).

    Sachant (u(h)a)=(u(a)h), on obtient

    f(a+h)=f(a)+(h)+(u(h)h)

    avec la forme linéaire donnée par

    (h)=(u(a)+x0h).

    Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

    |(u(h)h)|u(h)h avec u(h)h0E0

    car l’application linéaire u est continue puisqu’au départ d’un espace de dimension finie.

    On a donc formé un développement limité à l’ordre 1

    f(a+h)=f(a)+(h)+hε(h) avec ε(h)h0E0.

    La fonction f est donc différentiable en a et

    df(a)h=(u(a)+x0h).
  • (b)

    On reconnaît alors le gradient de f en a: f(a)=u(a)+x0.

 
Exercice 2  30   Correction  

Soit E un espace vectoriel euclidien.

  • (a)

    En quels points l’application xx2 est-elle différentiable?

  • (b)

    Préciser en ces points le vecteur gradient.

Solution

  • (a)

    Cas: x=0.

    1t(0+t.h-0)=|t|th

    n’a pas de limite qaund t tend vers 0. Par suite, n’est pas différentiable en 0.

    Cas: x0.

    x+h =x2+2(xh)+h2
    =x1+2(xh)x2+h2x2=x+(xh)x+o(h)

    donc est différentiable en x et de différentielle

    h(xh)x.
  • (b)

    Le vecteur gradient en x0 est

    1x.x.
 
Exercice 3  1750   

On munit 2 de sa structure euclidienne canonique.

Soient f:× une fonction de classe 𝒞1 et g:× définie par

g(r,θ)=f(rcos(θ),rsin(θ)).

Soient (x,y)2{(0,0)} et (r,θ)+*× tels que x=rcos(θ) et y=rsin(θ).

  • (a)

    Exprimer les dérivées partielles de f en (x,y) en fonction des dérivées partielles de g en (r,θ).

On introduit les vecteurs ur=(cos(θ),sin(θ)) et uθ=(-sin(θ),cos(θ)).

  • (b)

    Exprimer le gradient de f en (x,y) en fonction de ur, uθ et des dérivées partielles de g.

 
Exercice 4  5219   

On munit n de sa structure euclidienne canonique.

Soient Ω un ouvert convexe non vide de n et f:Ω une fonction de classe 𝒞1.

  • (a)

    Montrer que, si les dérivées partielles de f sont nulles, alors f est une fonction constante.

  • (b)

    Montrer que, si le gradient de f est borné, alors pour tout (a,b)Ω2

    |f(b)-f(a)|Mb-a avec M=supxΩf(x).
 
Exercice 5  5107   

On munit n de sa structure euclidienne canonique et l’on identifie n et l’espace des colonnes n,1().

Soient An() une matrice symétrique et fA:n définie par fA(x)=xAx.

  • (a)

    Calculer les dérivées partielles de fA et exprimer fA(x) en fonction de Ax pour tout xn.

Pour xn non nul, on introduit le quotient de Rayleigh

R(x)=xAxxx.
  • (b)

    Montrer que x est vecteur propre de A si, et seulement si, R(x)=0.

 
Exercice 6  33   Correction  
  • (a)

    Montrer que l’application Δ:Adet(A) est différentiable sur n().

  • (b)

    Calculer sa différentielle en commençant par évaluer ses dérivées partielles.

  • (c)

    On munit n() du produit scalaire canonique défini par A,B=tr(AB).
    Déterminer le vecteur gradient de Δ en A

Solution

Notons A=(ai,j)

  • (a)

    Puisque

    Δ(A)=σ𝒮nε(σ)i=1naσ(i),i

    la fonction Δ est différentiable sur n() par somme et produit de fonctions qui le sont (à savoir les application linéaires Aai,j).

  • (b)

    En développant le déterminant selon la i-ème ligne, on obtient

    det(A)=j=1nai,jAi,j

    avec Ai,j cofacteur d’indice (i,j). On en déduit.

    (i,j)Δ(A)=Ai,j.

    Par conséquent, la différentielle de Δ en A est

    dΔ(A):Hi,j=1nAi,jhi,j.
  • (c)

    On observe

    dΔ(A)H=tr(Com(A)H))=Com(A),H.

    Le vecteur gradient de Δ en A est donc Com(A).

 
Exercice 7  5746   Correction  

Soit F:Ω une fonction de classe 𝒞1 définie sur Ω ouvert convexe d’un espace euclidien E. On suppose

(x,y)Ω2,F(y)-F(x),x-y0.

Montrer que la fonction F est convexe, c’est-à-dire qu’elle vérifie

(a,b)Ω2,λ[0;1],F((1-λ).a+λ.b)(1-λ)F(a)+λF(b).

Solution

Soient a,bΩ. Pour t[0;1], on pose

φ(t)=F((1-t).a+t.b)=F(a+t(b-a)).

La fonction φ est dérivable avec

φ(t)=F(a+t.(b-a)),b-a.

Pour s<t,

φ(t)-φ(s) =F(a+t.(b-a)),b-a-F(a+s.(b-a)),b-a
=F(a+t.(b-a))-F(a+s.(b-a)),b-a.

En posant x=a+s.(b-a) et y=a+t.(b-a),

F(y)-F(x),x-y=F(a+t.(b-a))-F(a+s.(b-a)),(t-s>0).(b-a)0

et donc φ(t)-φ(s)0.

La fonction φ est alors croissante et par conséquent φ est convexe. La propriété

λ[0;1],φ(λ)=φ((1-λ).0+λ.t)(1-λ)φ(0)+λφ(1)

donne alors

λ[0;1],F((1-λ).a+λ.b)(1-λ)F(a)+λF(b).

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Édité le 23-02-2024

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