[<] Extremum, étude à l'ordre 2

Exercice 1 5714 Correction

Soit $f : ℝ^{n} \to ℝ$ une fonction de classe $𝒞^{2}$ .

(a)

On suppose que la matrice hessienne de $f$ est nulle en tout point.

Montrer qu’il existe $a \in ℝ^{n}$ et $b \in ℝ$ tels que

$\forall x \in ℝ^{n}, f (x) = ⟨ a, x ⟩ + b .$
(b)

On suppose que la matrice hessienne de $f$ est identique en tout point.

Montrer qu’il existe $u \in 𝒮 (ℝ^{n})$ , $a \in ℝ^{n}$ et $b \in ℝ$ tels que

$\forall x \in ℝ^{n}, f (x) = \frac{1}{2} ⟨ u (x), x ⟩ + ⟨ a, x ⟩ + b .$

Solution

(a)

Soit $i = 1, \dots, n$ . Les dérivées partielles de $\frac{\partial f}{\partial x_{i}}$ sont nulles sur le convexe $ℝ^{n}$ , cette fonction est donc constante sur $ℝ^{n}$ . Notons $a_{i}$ la valeur de cette constante. En tout point $x \in ℝ^{n}$ , la différentielle de $f$ est donnée par

$d f (x) \cdot h = \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (x) h_{i} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} h_{i} .$

Par intégration, pour tout $x \in ℝ^{n}$ ,

$f (x) = f (0) + \int_{0}^{1} d f (0 + t . x) \cdot x d t = f (0) + \int_{0}^{1} \sum_{i = 1}^{n} a_{i} x_{i} d t = f (0) + \sum_{i = 1}^{n} a_{i} x_{i} .$

Cette formule se réécrit

$f (x) = ⟨ a, x ⟩ + b$

avec $a = (a_{1}, \dots, a_{n}) \in ℝ^{n}$ et $b = f (0) \in ℝ$ .
(b)

Analyse: Si l’expression de $f$ est celle voulue, la matrice hessienne de $f$ correspond à la matrice de l’endomorphisme $u$ dans la base canonique.

Synthèse: Soit $u$ l’endomorphisme figuré par la matrice hessienne de $f$ dans la base canonique. Cet endomorphisme est autoadjoint car la matrice hessienne est symétrique. Considérons $g : ℝ^{n} \to ℝ$ donnée par

$g (x) = \frac{1}{2} ⟨ u (x), x ⟩ .$

La fonction $f - g$ est de classe $𝒞^{2}$ sur $ℝ^{n}$ et sa matrice hessienne est nulle en tout point. Par l’étude précédente, il existe $a \in ℝ^{n}$ et $b \in ℝ$ tels que

$f (x) = g (x) + ⟨ a, x ⟩ + b .$

Exercice 2 5713 Correction

Soient $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ une matrice symétrique inversible, $b \in ℝ^{n}$ et $c \in ℝ$ .

On étudie l’application $F : ℝ^{n} \to ℝ$ définie par

F (x) = x^{⊤} A x + b^{⊤} x + c .

(a)

Justifier que $F$ est de classe $𝒞^{\infty}$ sur $ℝ^{n}$ .
(b)

Déterminer les points critiques de $F$ .
(c)

Calculer la matrice hessienne de $F$ en tout point de $ℝ^{n}$ .
(d)

À quelle condition la fonction $F$ admet-elle un minimum ?

Solution

(a)

Par opérations sur les fonctions, on peut affirmer que $F$ est de classe $𝒞^{\infty}$ sur $ℝ^{n}$ .
(b)

Soit $x \in ℝ^{n}$ . Avec des notations entendues,

$F (x) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i, j} x_{i} x_{j} + \sum_{i = 1}^{n} b_{i} x_{i} + c .$

On en déduit

$\forall i \in ⟦ 1; n ⟧, \frac{\partial F}{\partial x_{i}} (x) = \sum_{j = 1}^{n} a_{i, j} x_{j} + b_{i} = {[A x + b]}_{i}$

$x \in ℝ^{n}$ est donc point critique de $F$ si, et seulement si, $A x + b = 0$ .

L’application $F$ admet donc un unique point critique, à savoir $x = A^{- 1} b$ .
(c)

On poursuit les calculs qui précèdent

$\forall (i, j) \in {⟦ 1; n ⟧}^{2}, \frac{\partial^{2} F}{\partial x_{i} \partial x_{j}} (x) = a_{i, j} .$

La matrice hessienne de $F$ en tout point $x \in ℝ^{n}$ est égale à la matrice $A$ .
(d)

Si la fonction $F$ présente un minimum en $x_{0} \in ℝ^{n}$ , celui-ci est un point critique de $F$ et donc $x_{0} = A^{- 1} b$ .

Si la matrice $A$ est positive (et donc définie positive car inversible), l’application $F$ présente un minimum global strict en $x_{0}$ .

Si la matrice $A$ n’est pas positive, l’application $F$ ne présente pas de minimum en $x_{0}$ .

Exercice 3 5715 Correction

Soient $a, b \in ℝ^{n}$ et $f : ℝ^{n} \to ℝ$ définie par

f (x) = ⟨ a, x ⟩ ⟨ b, x ⟩ .

(a)

Montrer que $f$ est de classe $𝒞^{2}$ sur $ℝ^{n}$ et calculer sa matrice hessienne en tout point.
(b)

En déduire une matrice symétrique $H \in 𝒮_{n} (ℝ)$ pour laquelle

$\forall x \in ℝ^{n}, f (x) = \frac{1}{2} x^{⊤} H x$

Solution

(a)

Avec des notations entendues,

$f (x) = (\sum_{i = 1}^{n} a_{i} x_{i}) (\sum_{j = 1}^{n} b_{j} x_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i} b_{j} x_{i} x_{j} .$

On en déduit

$\frac{\partial f}{\partial x_{i}} (x) = a_{i} \sum_{j = 1}^{n} b_{j} x_{j} + b_{i} \sum_{j = 1}^{n} a_{j} x_{j} et \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{j} \partial x_{i}} (x) = a_{i} b_{j} + a_{j} b_{i} .$

La matrice hessienne de $f$ en tout point $x \in ℝ^{n}$ est

$H = {(a_{i} b_{j} + a_{j} b_{i})}_{1 \leq i, j \leq n} = a b^{⊤} + b a^{⊤} .$
(b)

Considérons la matrice $H$ précédente. Celle-ci est symétrique.

Pour $x \in ℝ^{n}$ , on vérifie

$\frac{1}{2} x^{⊤} H x = \frac{1}{2} (\underset{\begin{matrix} ⟨ x, a ⟩ \end{matrix}}{\underset{⏟}{x^{⊤} a}} \underset{\begin{matrix} ⟨ b, x ⟩ \end{matrix}}{\underset{⏟}{b^{⊤} x}} + \underset{\begin{matrix} ⟨ x, b ⟩ \end{matrix}}{\underset{⏟}{x^{⊤} b}} \underset{\begin{matrix} ⟨ a, x ⟩ \end{matrix}}{\underset{⏟}{a^{⊤}}}) = ⟨ a, x ⟩ ⟨ b, x ⟩ = f (x)$

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Édité le 29-08-2023

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