Exercice 1 1745 Correction

Soit $f : ℝ^{2} \to ℝ$ définie par

f (x, y) = {\begin{matrix} \frac{x y}{| x | + | y |} & si (x, y) \neq (0,0) \\ 0 & sinon. \end{matrix}

(a)

Justifier que $f$ est continue en $(0,0)$ .
(b)

Étudier les dérivées partielles de $f$ en $(0,0)$ .

Solution

(a)

Pour $(x, y) \in ℝ^{2} ∖ {(0,0)}$ ,

$| f (x, y) - f (0,0) | \leq | y | \frac{| x |}{| x | + | y |} \leq | y | \to_{(x, y) \to (0,0)}^{} 0 .$

On en déduit que $f$ est continue en $(0,0)$ .
(b)

Sous réserve d’existence,

$\frac{\partial f}{\partial x} (0,0) = lim_{t \to 0} \frac{1}{t} (f (t,0) - f (0,0)) = 1 .$

On remarque

$\frac{1}{t} (f (t,0) - f (0,0)) = 0$

donc

$\frac{\partial f}{\partial x} (0,0) = 0 .$

De même,

$\frac{\partial f}{\partial y} (0,0) = lim_{t \to 0} \frac{1}{t} (f (0, t) - f (0,0)) = 0 .$

Exercice 2 3348 Correction

Calculer les dérivées partielles de

f (x, y) = \min (x, y^{2}) .

Solution

La courbe $Γ$ d’équation $y^{2} = x$ est une parabole séparant le plan en deux portions ouvertes

U = {(x, y) | x < y^{2}} et V = {(x, y) | x > y^{2}} .

Soit $(x_{0}, y_{0}) \in U$ . Au voisinage de ce couple, $f (x, y) = x$ et donc

\frac{\partial f}{\partial x} (x_{0}, y_{0}) = 1 et \frac{\partial f}{\partial y} (x_{0}, y_{0}) = 0 .

Soit $(x_{0}, y_{0}) \in V$ . Au voisinage de ce couple, $f (x, y) = y^{2}$ et donc

\frac{\partial f}{\partial x} (x_{0}, y_{0}) = 0 et \frac{\partial f}{\partial y} (x_{0}, y_{0}) = 2 y_{0} .

Soit $(x_{0}, y_{0}) \in Γ$ (on a donc $x_{0} = y_{0}^{2}$ ). Sous réserve d’existence,

\frac{\partial f}{\partial x} (x_{0}, y_{0}) = lim_{t \to 0} \frac{1}{t} (f (x_{0} + t, y_{0}) - f (x_{0}, y_{0})) .

Pour $t > 0$ ,

\frac{1}{t} (f (x_{0} + t, y_{0}) - f (x_{0}, y_{0})) = \frac{1}{t} (y_{0}^{2} - y_{0}^{2}) = 0

et pour $t < 0$ ,

\frac{1}{t} (f (x_{0} + t, y_{0}) - f (x_{0}, y_{0})) = \frac{1}{t} (x_{0} + t - x_{0}) = 1 .

On en déduit que la première dérivée partielle de $f$ en $(x_{0}, y_{0})$ n’est pas définie.

Sous réserve d’existence,

\frac{\partial f}{\partial y} (x_{0}, y_{0}) = lim_{t \to 0} \frac{1}{t} (f (x_{0}, y_{0} + t) - f (x_{0}, y_{0})) .

Si $y_{0} \neq 0$ alors pour $t$ du signe de $y_{0}$ ,

\frac{1}{t} (f (x_{0}, y_{0} + t) - f (x_{0}, y_{0})) = \frac{1}{t} (x_{0} - x_{0}) = 0

et pour $t$ du signe opposé à celui de $y_{0}$ ,

\frac{1}{t} (f (x_{0}, y_{0} + t) - f (x_{0}, y_{0})) = \frac{1}{t} ({(y_{0} + t)}^{2} - y_{0}^{2}) = 2 y_{0} + t .

On en déduit que la deuxième dérivée partielle de $f$ en $(x_{0}, y_{0})$ n’est pas définie.

Si $y_{0} = 0$ (et alors $x_{0} = 0$ ),pour tout $t \neq 0$ ,

\frac{1}{t} (f (0,0 + t) - f (0,0)) = 0 .

La deuxième dérivée partielle de $f$ en $(0,0)$ est définie et

\frac{\partial f}{\partial y} (0,0) = 0 .

Exercice 3 2466 CENTRALE (MP)Correction

On considère

f : (x, y) \mapsto \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{x^{n}}{1 + y^{2 n}} .

(a)

Déterminer le domaine de définition $D$ de $f$ .
(b)

Étudier l’existence de $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$ sur $D$ .

Solution

(a)

Si $| y | \leq 1$ alors la série définissant $f (x, y)$ converge si, et seulement si, $| x | < 1$
Si $| y | > 1$ alors la série définissant $f (x, y)$ converge si, et seulement si, $| x | < | y^{2} |$ car $\frac{x^{n}}{1 + y^{2 n}} = {(\frac{x}{y^{2}})}^{n}$ .

Finalement,

$D = {(x, y) \in ℝ^{2} | | x | < \max (1, y^{2})} .$
(b)

$u_{n} (x, y) = \frac{x^{n}}{1 + y^{2 n}}$ . Soit $a \in [0; 1 [$ et $D_{a} = {(x, y) \in ℝ^{2} | | x | \leq a \max (1, y^{2})}$ . Pour $(x, y) \in D_{a}$ :

$| \frac{\partial u_{n}}{\partial x} (x, y) | = | \frac{n x^{n - 1}}{1 + y^{2 n}} | .$

Si $| y | \leq 1$ alors $| x | \leq a$ et

$| \frac{\partial u_{n}}{\partial x} (x, y) | = | \frac{n x^{n - 1}}{1 + y^{2 n}} | \leq \frac{n a^{n - 1}}{1 + y^{2 n}} \leq n a^{n - 1} .$

Si $| y | > 1$ alors $| x | \leq a y^{2}$ et

$| \frac{\partial u_{n}}{\partial x} (x, y) | = | \frac{n x^{n - 1}}{1 + y^{2 n}} | \leq \frac{n a^{n - 1} y^{2 n - 2}}{1 + y^{2 n}} \leq \frac{n a^{n - 1}}{y^{2}} \leq n a^{n - 1} .$

Dans les deux cas $| \frac{\partial u_{n}}{\partial x} (x, y) | \leq n a^{n - 1}$ qui est le terme général d’une série convergente.

$| \frac{\partial u_{n}}{\partial y} (x, y) | = | \frac{2 n y^{2 n - 1} x^{n}}{{(1 + y^{2 n})}^{2}} | \leq \frac{2 n x^{n}}{1 + y^{2 n}} car \frac{y^{2 n - 1}}{1 + y^{2 n}} \leq 1 .$

Si $| y | \leq 1$ alors $| x | \leq a$ et

$| \frac{\partial u_{n}}{\partial y} (x, y) | \leq \frac{2 n a^{n}}{1 + y^{2 n}} \leq 2 n a^{n} .$

Si $| y | > 1$ alors $| x | \leq a y^{2}$ et

$| \frac{\partial u_{n}}{\partial y} (x, y) | \leq \frac{2 n a^{n} y^{2 n}}{1 + y^{2 n}} \leq 2 n a^{n} .$

Dans les deux cas $| \frac{\partial u_{n}}{\partial y} (x, y) | \leq 2 n a^{n}$ qui est le terme général d’une série convergente.
Par convergence normale, $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$ existent sur $D_{a}$ et comme cela vaut pour tout $a \in [0; 1 [$ , $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$ existent sur $D$ .

Calcul de dérivées partielles