[<] Dérivée selon un vecteur [>] Dérivées partielles de fonctions composées

 
Exercice 1  1742  Correction  

Calculer les dérivées partielles des fonctions suivantes:

  • (a)

    f(x,y)=xy (avec x>0)

  • (b)

    f(x,y)=x2+y2

  • (c)

    f(x,y)=xsin(x+y).

Solution

  • (a)

    fx(x,y)=yxy-1 et fy(x,y)=ln(x)xy.

  • (b)

    fx(x,y)=xx2+y2 et fy(x,y)=yx2+y2.

  • (c)

    fx(x,y)=sin(x+y)+xcos(x+y) et fy(x,y)=xcos(x+y).

 
Exercice 2  1745  Correction  

Soit f:2 définie par

f(x,y)={xy|x|+|y| si (x,y)(0,0)0 sinon.

Justifier que f est continue en (0,0).
Étudier les dérivées partielles de f en (0,0).

Solution

|f(x,y)||y||x||x|+|y||y|0

donc f(x,y)0.

1h(f(h,0)-f(0,0))=0

donc fx(0,0)=0 et de même fy(0,0)=0.

 
Exercice 3  1746  Correction  

Soit φ: dérivable. On pose f:*× définie par f(x,y)=φ(y/x).
Montrer que f vérifie la relation:

xfx(x,y)+yfy(x,y)=0.

Solution

On a

fx(x,y)=-yx2φ(y/x) et fy(x,y)=1xφ(y/x)

d’où la relation.

 
Exercice 4  2466     CENTRALE (MP)Correction  

On considère

f:(x,y)n=1+xn1+y2n.
  • (a)

    Déterminer le domaine de définition D de f.

  • (b)

    Étudier l’existence de fx et fy sur D.

Solution

  • (a)

    Si |y|1 alors la série définissant f(x,y) converge si, et seulement si, |x|<1
    Si |y|>1 alors la série définissant f(x,y) converge si, et seulement si, |x|<|y2| car xn1+y2n=(xy2)n.

    Finalement,

    D={(x,y)2||x|<max(1,y2)}.
  • (b)

    un(x,y)=xn1+y2n. Soit a[0;1[ et Da={(x,y)2||x|amax(1,y2)}. Pour (x,y)Da:

    |unx(x,y)|=|nxn-11+y2n|.

    Si |y|1 alors |x|a et

    |unx(x,y)|=|nxn-11+y2n|nan-11+y2nnan-1.

    Si |y|>1 alors |x|ay2 et

    |unx(x,y)|=|nxn-11+y2n|nan-1y2n-21+y2nnan-1y2nan-1.

    Dans les deux cas |unx(x,y)|nan-1 qui est le terme général d’une série convergente.

    |uny(x,y)|=|2ny2n-1xn(1+y2n)2|2nxn1+y2n car y2n-11+y2n1.

    Si |y|1 alors |x|a et

    |uny(x,y)|2nan1+y2n2nan.

    Si |y|>1 alors |x|ay2 et

    |uny(x,y)|2nany2n1+y2n2nan.

    Dans les deux cas |uny(x,y)|2nan qui est le terme général d’une série convergente.
    Par convergence normale, fx et fy existent sur Da et comme cela vaut pour tout a[0;1[, fx et fy existent sur D.

 
Exercice 5  3348   Correction  

Calculer les dérivées partielles de

f(x,y)=min(x,y2).

Solution

La courbe Γ d’équation y2=x est une parabole séparant le plan en deux portions ouvertes

U={(x,y)|x<y2} et V={(x,y)|x>y2}.

Soit (x0,y0)U. Au voisinage de ce couple, f(x,y)=x et donc

fx(x0,y0)=1etfy(x0,y0)=0.

Soit (x0,y0)V. Au voisinage de ce couple, f(x,y)=y2 et donc

fx(x0,y0)=0etfy(x0,y0)=2y0.

Soit (x0,y0)Γ (on a donc x0=y02). Sous réserve d’existence,

fx(x0,y0)=limt01t(f(x0+t,y0)-f(x0,y0)).

Pour t>0,

1t(f(x0+t,y0)-f(x0,y0))=1t(y02-y02)=0

et pour t<0,

1t(f(x0+t,y0)-f(x0,y0))=1t(x0+t-x0)=1.

On en déduit que la première dérivée partielle de f en (x0,y0) n’est pas définie.

Sous réserve d’existence,

fy(x0,y0)=limt01t(f(x0,y0+t)-f(x0,y0)).

Si y00 alors pour t du signe de y0,

1t(f(x0,y0+t)-f(x0,y0))=1t(x0-x0)=0

et pour t du signe opposé à celui de y0,

1t(f(x0,y0+t)-f(x0,y0))=1t((y0+t)2-y02)=2y0+t.

On en déduit que la deuxième dérivée partielle de f en (x0,y0) n’est pas définie.

Si y0=0 (et alors x0=0),pour tout t0,

1t(f(0,0+t)-f(0,0))=0

La deuxième dérivée partielle de f en (0,0) est définie et

fy(0,0)=0.

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Édité le 08-11-2019

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