Exercice 1 71 MINES (MP)Correction

Soit $a > 0$ . Montrer que

f : (x, y) \mapsto x^{2} + y^{2} + \frac{2 a}{x y}

admet un minimum strict sur ${(ℝ_{+}^{*})}^{2}$ et donner la valeur de celui-ci.

Solution

La fonction $f$ est définie et de classe $𝒞^{1}$ sur l’ouvert $Ω = {] 0; + \infty [}^{2}$ .

L’étude des points critiques donne $(\sqrt[4]{a}, \sqrt[4]{a})$ seul point critique de $f$ sur $Ω$ .

Posons $α = \sqrt[4]{a}$ et étudions le signe

f (x, y) - f (α, α) = x^{2} + y^{2} + \frac{2 α^{4}}{x y} - 4 α^{2} = \frac{x^{3} y + x y^{3} + 2 α^{4} - 4 α^{2} x y}{x y} .

Considérons la fonction définie par le numérateur

φ : t \mapsto x^{3} y + x y^{3} + 2 t^{2} - 4 t x y .

La fonction $φ$ est dérivable sur $] 0; + \infty [$ et

φ^{'} (α) = 4 t - 4 x y .

Cette fonction présente un minimum en $t_{0} = x y$ et alors

φ (α^{2}) \geq φ (t_{0}) = x^{3} y + x y^{3} - 2 x^{2} y^{2} = x y (x^{2} + y^{2} - 2 x y) = x y {(x^{2} - y^{2})}^{2} \geq 0 .

On en déduit que

\forall (x, y) \in Ω, f (x, y) \geq f (α, α) = 4 α^{2} .

De plus, il y a égalité si, et seulement si, $x^{2} = y^{2}$ et $α^{2} = x y$ , c’est-à-dire si, et seulement si, $(x, y) = (α, α)$ .

Exercice 2 3347 CCINP (MP)

On munit $ℝ^{n}$ de sa structure euclidienne canonique de produit scalaire $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ .

Soit $f$ un endomorphisme autoadjoint de $ℝ^{n}$ dont toutes les valeurs propres sont strictement positives.

Exercice 3 72 Correction

Soient $Ω$ un ouvert convexe et $f : Ω \to ℝ$ une fonction différentiable.

On suppose que la fonction $f$ est convexe ce qui signifie

\forall (a, b) \in Ω^{2}, \forall λ \in [0; 1], f ((1 - λ) a + λ b) \leq (1 - λ) f (a) + λ f (b) .

Montrer que tout point critique de $f$ est un minimum global de $f$ .

Solution

Soit $a \in Ω$ point critique de $f$ . Pour tout $b \in Ω$ , la convexité de $f$ donne

\forall λ \in [0; 1], f ((1 - λ) a + λ b) \leq (1 - λ) f (a) + λ f (b) .

Par suite,

\frac{1}{λ} (f (a + λ (b - a)) - f (a)) \leq f (b) - f (a) .

En passant à la limite quand $λ \to 0^{+}$ ,

d f (a) \cdot (b - a) \leq f (b) - f (a) .

Or $d f (a) = 0$ et donc $f (b) \geq f (a)$ .

Édité le 29-08-2023

Extremum, étude à l'ordre 1