[<] Gradient [>] Extremum sur compact

 
Exercice 1  61    CENTRALE (MP)

Trouver les extremums de f:2 définie par:

  • (a)

    f(x,y)=x2+xy+y2+2x-2y

  • (b)

    f(x,y)=x2+4xy+y2-2x-4y.

 
Exercice 2  1762  Correction  

Déterminer les extrema locaux des fonctions f:2 suivantes:

  • (a)

    f(x,y)=x2+xy+y2-3x-6y

  • (b)

    f(x,y)=x2+2y2-2xy-2y+5

  • (c)

    f(x,y)=x3+y3

  • (d)

    f(x,y)=(x-y)2+(x+y)3

Solution

  • (a)

    Point critique (0,3), f(0,3)=-9. Posons u=x et v=y-3.

    f(x,y)-f(0,3)=u2+uv+v2=12(u2+v2)+12(u+v)20

    f admet un minimum en (0,3).

  • (b)

    Point critique (1,1), f(1,1)=4. Posons u=x-1 et v=y-1

    f(x,y)-f(1,1)=u2+2v2-2uv=(u-v)2+v20

    f admet un minimum en (1,1).

  • (c)

    Point critique (0,0).
    Pour tout n*,

    f(1/n,0)>0 et f(-1/n,0)<0.

    Pas d’extremum.

  • (d)

    Point critique (0,0).

    f(1/n,0)=1n2+1n31n2>0 et f(-1/n,-1/n+1/n2)-2n3<0.

    Pas d’extremum.

 
Exercice 3  2463    CENTRALE (MP)Correction  

Déterminer les extremums de xln(x)+yln(y) sur ]0;+[2.

Solution

L’étude des points critiques donne (1,1) seul point critique.
La fonction ttln(t) admet un minimum en 1, donc (x,y)xln(x)+yln(y) admet un minimum en (1,1).

 
Exercice 4  58   

Déterminer les extremums locaux et globaux de f:2 définie par

f(x,y)=x3+y3-3xy-1.
 
Exercice 5  59   Correction  

Trouver les extrema sur 2 de

f(x,y)=x4+y4-4xy.

Solution

f est de classe 𝒞1 sur l’ouvert 2.
Recherchons les points critiques.

fx(x,y)=4x3-4y,fy(x,y)=4y3-4x.

On a

{4x3-4y=04y3-4x=0{x3=yy3=x{y=x3x9=x{y=x2x=0,-1 ou 1

(0,0),(1,1) et (-1,-1) sont donc les seuls points critique
Étude en (0,0)

f(1/n,1/n)-4n2<0 et f(1/n,-1/n)4n2>0

(0,0) n’est pas extremum local de f.
Étude en (1,1).
On peut écrire

f(x,y)-f(1,1)=(x2-1)2+(y2-1)2+2(x-y)20

donc (1,1) est minimum global.
Il en est de même (-1,-1) car f(-x,-y)=f(x,y).

 
Exercice 6  2530     CCP (MP)Correction  
  • (a)

    Étudier les variations de la fonction f définie par

    f(t)=t-ln(t)-1t.
  • (b)

    Résoudre f(t)=0.

  • (c)

    Trouver les extremums globaux et locaux de

    g(x,y)=xln(y)-yln(x).

Solution

  • (a)

    f est définie sur ]0;+[ et strictement croissante de limites - en 0+ et + en +.

  • (b)

    t=1 est solution et c’est la seule car f est strictement croissante.

  • (c)

    g est de classe 𝒞1. Recherchons ses points critiques.

    {gx(x,y)=0gy(x,y)=0{ln(y)-yx=0xy-ln(x)=0{f(xy)=0xy-ln(x)=0{x=yx=e.

    On conclut que (e,e) est le seul point critique.
    On étudie alors le signe de

    d(x,y)=g(x,y)-g(e,e)=xln(y)-yln(x).

    On procède à une translation

    {x=e+uy=e+v

    et à un développement limité à l’ordre 2

    d(x,y)=(e+u)(1+ve-v22e+v2ε(v))-(e+v)(1+ue-u22e+u2ε(u))

    avec ε0. Après simplification

    d(x,y)=u2-v22+(u2+v2)ε~(u,v) avec ε~(0,0)0.

    En considérant u=1/n et v=0 ou, à l’inverse u=0 et v=1/n, on obtient que d prend des signes différents au voisinage de (e,e) qui n’est donc pas extremum de f.

    Figure 1: Une représentation de la fonction g
 
Exercice 7  65   

Calculer

infx,y>0(1x+1y+xy).
 
Exercice 8  268   Correction  

Déterminer

sup(x,y)]0;+[2xy(1+x)(1+y)(x+y).

Solution

Posons

f(x,y)=xy(1+x)(1+y)(x+y)

définie et de classe 𝒞 sur ]0;+[2
Soit x>0 fixé. Posons

φ:yf(x,y).

On a

φ(y)=x(x-y2)(1+x)(1+y)2(x+y)2.

La fonction φ admet donc un maximum en y=x dont la valeur est

ψ(x)=f(x,x)=x(1+x)(1+x)2.

On a

ψ(x)=xx-1(1+x)2(1+x)3.

La fonction ψ admet donc un maximum en x=1 dont la valeur est

ψ(1)=f(1,1)=18.

Au final

sup(x,y)]0;+[2xy(1+x)(1+y)(x+y)=max(x,y)]0;+[2xy(1+x)(1+y)(x+y)=18.
 
Exercice 9  70     CENTRALE (MP)Correction  

Soit a>0. Montrer que

f:(x,y)x+y+axy

admet un minimum strict sur (+*)2

Solution

L’étude des points critiques donne (a3,a3) seul point critique.
Posons α=a3.

f(x,y)-f(α,α)=x+y+α3xy-3α=x2y+xy2+α3-3αxyxy.

Étudions φ:αx2y+xy2+α3-3αxy. Cette application admet un minimum en xy de valeur

x2y+xy2-2xyxy=xy(x+y-2xy)=xy(x-y)20

donc pour tout x,y>0,

f(x,y)f(α,α).

De plus, il y a égalité si, et seulement si, x=y et α=xy c’est-à-dire x=y=α.

 
Exercice 10  71     MINES (MP)Correction  

Soit a>0. On pose, pour x>0 et y>0,

f(x,y)=x2+y2+axy.

Montrer que f admet un minimum absolu et calculer ce dernier.

Solution

Soit x>0 fixé.
L’application yf(x,y) a pour dérivée 2y-axy2, elle donc minimale pour y=a2x3.
Considérons

g:xf(x,a2x3)=x2+322a2x23

g est dérivable sur +* et g(x)=2x-2a23x5/3, g(x)=02x8/3=21/3a2/3x=a24.
g est minimale pour x=a/24, puis f admet un minimum en (a/24,a/24) de valeur 22a.

 
Exercice 11  3347     CCP (MP)

On munit n de sa structure euclidienne canonique de produit scalaire ,.

Soit f un endomorphisme symétrique de n dont toutes les valeurs propres sont strictement positives.

  • (a)

    Montrer que

    f(x),x>0pour tout xn non nul.
  • (b)

    Soient u un vecteur de n et g:n l’application définie par

    g(x)=12f(x),x-u,x.

    Calculer le vecteur gradient de g en tout vecteur x de n.

  • (c)

    Montrer que g admet un unique point critique.

  • (d)

    Montrer que g admet un minimum global.

 
Exercice 12  72   Correction  

Soient U un ouvert convexe et f:U une fonction convexe et différentiable. Montrer que tout point critique est un minimum global.

Solution

Soit a point critique de f. Pour tout bU, la convexité de f donne

λ[0;1],f((1-λ)a+λb)(1-λ)f(a)+λf(b).

Par suite,

1λ(f(a+λ(b-a))-f(a))f(b)-f(a).

En passant à la limite quand λ0+,

df(a)(b-a)f(b)-f(a).

Or df(a)=0 et donc f(b)f(a).

 
Exercice 13  5102   

On suppose 3 muni de sa structure euclidienne canonique de produit scalaire ,.

Soit f:3 une fonction de classe 𝒞1 vérifiant, pour tout a3,

a1f(a),a0.

Montrer que f admet un minimum global.

 
Exercice 14  5103    

Soit f la fonction définie sur Ω={(x,y)2|x>0,y>0 et x+y<π/2} par

f(x,y)=1tan(x)+1tan(y)+tan(x+y).
  • (a)

    Montrer que f admet un minimum et donner la valeur de f en celui-ci.

  • (b)

    Application: Étant donné un disque de rayon R>0, déterminer le périmètre minimal d’un triangle dans lequel il est inscrit.

[<] Gradient [>] Extremum sur compact



Édité le 08-11-2019

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