[<] Calcul de dérivées partielles d'ordre 2 [>] Surface

 
Exercice 1  1747  Correction  

Étudier la continuité, l’existence et la continuité des dérivées partielles premières de f:

  • (a)

    f(x,y)={x2y2ln(x2+y2) si (x,y)(0,0)0 sinon.

  • (b)

    f(x,y)={(x2+y2)sin(1x2+y2) si (x,y)(0,0)0 sinon

Solution

  • (a)

    f est clairement continue sur 2{(0,0)}.
    Étudions la continuité en (0,0)

    f(x,y)=(xy)(xyx2+y2)((x2+y2)ln(x2+y2))(x,y)(0,0)0

    f est donc continue en (0,0).
    Étudions l’existence de la dérivée partielle par rapport à x.
    Par composition fx existe et est continue sur 2{(0,0)}.
    De plus,

    fx(x,y)=2xy2ln(x2+y2)+2x3y2x2+y2

    et

    1t(f(t,0)-f(0,0))=0t00.

    Donc fx(0,0) existe et fx(0,0)=0.
    Enfin

    fx(x,y)(x,y)(0,0)0

    car

    2xy2ln(x2+y2)=2yxyx2+y2(x2+y2)ln(x2+y2).

    Par suite, fx existe et est continue sur 2.
    Étudions l’existence de la dérivée partielles par rapport à y.
    Comme f(x,y)=f(y,x) l’étude de fy est identique.

  • (b)

    Soit g:+ la fonction définie par

    g(t)={tsin(1/t) si t00 sinon.

    La fonction g et continue sur + et comme f(x,y)=g(x2+y2), f est continue sur 2.
    La fonction g est de classe 𝒞1 sur +* donc f admet des dérivées partielles continues sur 2{(0,0)}.
    De plus,

    fx(x,y)=2xsin(1x2+y2)-xx2+y2cos(1x2+y2)

    et

    fy(x,y)=2ysin(1x2+y2)-yx2+y2cos(1x2+y2).

    Étudions l’existence de dérivées partielles en (0,0).

    1t(f(t,0)-f(0,0))=tsin(1|t|)=O(t)t00

    donc fx(0,0) existe pas et vaut 0. Il en est de même pour fy(0,0).

    fx(1n,0)=2nsin(n)-cos(n)

    diverge quand n+, donc fx n’est pas continue en (0,0).
    Il en est de même de fy.

 
Exercice 2  1748  Correction  

Soient φ: continue et f:2 définie par

f(x,y)=xyφ(t)dt.

Montrer que f est de classe 𝒞1 et calculer ses dérivées partielles premières.

Solution

Introduisons ϑ primitive de φ sur . ϑ existe et est de classe 𝒞1 car φ est continue.

f(x,y)=ϑ(y)-ϑ(x)

donc par opérations f est de classe 𝒞1 avec

fx(x,y)=-ϑ(x)=-φ(x) et fy(x,y)=ϑ(y)=φ(y).
 
Exercice 3  3802     ENSTIM (MP)Correction  

On considère la fonction f:2 définie par

f(x,y)={sin(xy)|x|+|y| si (x,y)(0,0)0 sinon.
  • (a)

    La fonction f est-elle continue?

  • (b)

    La fonction f est-elle de classe 𝒞1?

Solution

  • (a)

    La fonction f est évidemment continue sur 2{(0,0)}.
    En passant en coordonnées polaires

    f(x,y)(x,y)0r2cos(θ)sin(θ)r|cos(θ)|+|sin(θ)|0=f(0,0)

    car le facteur

    cos(θ)×sin(θ)|cos(θ)|+|sin(θ)|

    est bornée en tant que fonction continue et 2π-périodique.
    La fonction f est donc continue sur 2.

  • (b)

    On a

    fx(0,0)=limt01t(f(t,0)-f(0,0))=0.

    Or pour x,y>0

    fx(x,y)=ycos(xy)(x+y)-sin(xy)(x+y)2

    et donc

    fx(t,t)=2t2cos(t2)-sin(t2)(2t)2t0+12.

    La fonction f n’est donc pas de classe 𝒞1.

 
Exercice 4  40   Correction  

Soit f:2-{(0,0)} définie par

f(x,y)=(x2-y2)ln(x2+y2).
  • (a)

    Est-il possible de prolonger f par continuité en (0,0)?

  • (b)

    Établir que f est de classe 𝒞1 sur 2-{(0,0)} et, sans calculs, établir

    fx(x,y)=-fy(y,x).
  • (c)

    La fonction f est-elle de classe 𝒞1 sur 2?

Solution

  • (a)

    Quand (x,y)(0,0), on peut écrire x=rcos(θ) et y=rsin(θ) avec r=x2+y20.
    On a alors

    f(x,y)=2r2(cos2(θ)-sin2(θ))ln(r)0

    car r2ln(r)0
    On prolonge f par continuité en (0,0) en posant f(0,0)=0.

  • (b)

    f est 𝒞1 sur 2-{(0,0)} par opérations. On observe f(x,y)=-f(y,x) donc en dérivant cette relation en la variable x on obtient

    fx(x,y)=-fy(y,x).
  • (c)

    On a

    fx(0,0)=limt01t(f(t,0)-f(0,0))=0

    et de même fy(0,0)=0.
    Pour (x,y)(0,0)

    fx(x,y)=2xln(x2+y2)+2x(x2-y2)x2+y2.

    Quand (x,y)(0,0), on peut écrire x=rcos(θ) et y=rsin(θ) avec r=x2+y20

    fx(x,y)=4rln(r)+2r(cos2(θ)-sin2(θ))0=fx(0,0).

    Ainsi fx est continue en (0,0) et par le résultat de b), on obtient le même résultat pour fy.

 
Exercice 5  1758   

(Contre-exemple de Peano)

Pour (x,y)2 avec (x,y)(0,0), on pose

f(x,y)=xy(x2-y2)x2+y2.
  • (a)

    Par quelle valeur peut-on prolonger f par continuité en (0,0)?

On note encore f la fonction définie par ce prolongement.

  • (b)

    Calculer les dérivées partielles de f en (x,y)(0,0).

  • (c)

    Calculer les dérivées partielles de f en (0,0).

  • (d)

    Montrer que la fonction f est de classe 𝒞1 sur 2.

  • (e)

    La fonction f est-elle de classe 𝒞2?

 
Exercice 6  1757   Correction  

Soit f:2 la fonction définie par

f(x,y)={xy3x2+y2 si (x,y)(0,0)0 sinon.
  • (a)

    Montrer que f est de classe 𝒞1 sur 2.

  • (b)

    Montrer que 2fxy(0,0) et 2fyx(0,0) existent et diffèrent. Qu’en déduire?

Solution

  • (a)

    Par composition f est de classe 𝒞1 sur 2{(0,0)}.

    fx(x,y)=y3x2+y2-2x2y3(x2+y2)2 et fy(x,y)=3xy2x2+y2-2xy4(x2+y2)2.

    De plus,

    1t(f(t,0)-f(0,0))=0

    et

    1t(f(0,t)-f(0,0))=0,

    donc fx(0,0) et fy(0,0) existent et l’on a

    fx(0,0)=fy(0,0)=0.

    Aussi

    |fx(x,y)||y|y2x2+y2+2|y|(xyx2+y2)2(x,y)(0,0)0

    et

    |fy(x,y)|3|y||xy|x2+y2+2|y||xy|x2+y2y2x2+y2(x,y)(0,0)0.

    Par suite, f est de classe 𝒞1 sur 2.

  • (b)
    1t(fx(0,t)-fx(0,0))=11

    et

    1t(fy(t,0)-fy(0,0))=00.

    Donc 2fxy(0,0) et 2fyx(0,0) existent et l’on a

    2fxy(0,0)=0 et 2fyx(0,0)=1.

    On en déduit que f n’est pas de classe 𝒞2 le théorème de Schwarz n’étant pas vérifié.

 
Exercice 7  41   Correction  

Soient f: une fonction de classe 𝒞1 et F:2{(0,0)} définie par

F(x,y)=f(x2+y2)-f(0)x2+y2.
  • (a)

    Déterminer lim(x,y)(0,0)F(x,y).

On prolonge F par continuité en (0,0) et l’on suppose de surcroît f de classe 𝒞2.

  • (b)

    Justifier que F est différentiable en (0,0) et y préciser sa différentielle.

  • (c)

    Montrer que F est de classe 𝒞1.

Solution

  • (a)

    Par le théorème des accroissements finis, il existe cx,y]0;x2+y2[ tel que F(x,y)=f(c).
    Quand (x,y)(0,0) alors cx,y0 puis F(x,y)f(0).

  • (b)

    Par Taylor-Young:

    F(x,y)=F(0,0)+x2+y22f′′(0)+(x2+y2)ε(x2+y2)=F(0,0)+φ(x,y)+o(x,y)

    avec φ=0.
    Donc F est différentiable en (0,0) et dF(0,0)=0.

  • (c)

    F est de classe 𝒞1 sur 2{(0,0)} par opérations.

    Fx(x,y)=2xx2+y2(f(x2+y2)-F(x,y))=x(f′′(0)+o(1))(x,y)(0,0)0

    et de même

    Fy(x,y)(x,y)(0,0)0

    donc F est de classe 𝒞1.

 
Exercice 8  2906     MINES (MP)Correction  

Soit g: de classe 𝒞2. On pose

f(x,y)=g(x)-g(y)x-y pour xyetf(x,x)=g(x).
  • (a)

    Exprimer f(x,y) à l’aide d’une intégrale sur l’intervalle [0;1].

  • (b)

    En déduire que f est de classe 𝒞1.

Solution

  • (a)

    Puisque la fonction g est de classe 𝒞1, on peut écrire

    g(x)=g(y)+yxg(t)dt.

    Par le changement de variable t=y+u(x-y), on obtient

    g(x)=g(y)+(x-y)01g(y+u(x-y))du.

    Ainsi,

    f(x,y)=01g(y+u(x-y))du

    et cette relation vaut pour xy et aussi pour x=y.

  • (b)

    Soit y fixé.
    L’application φ:(x,u)g(y+u(x-y)) admet une dérivée partielle

    φx(x,u)=ug′′(y+u(x-y)).

    Cette dérivée partielle est continue en x et continue par morceaux en u
    Pour [a;b] assez grand pour que y en soit élément, on a

    x[a;b],u[0;1],y+u(x-y)[x;y][a;b].

    La fonction g′′ est continue donc bornée par un certain M+ sur le segment [a;b]. On a alors

    (x,u)[a;b]×[0;1],|φx(x,u)|M=ψ(u).

    La fonction ψ est évidemment intégrable sur [0;1] et donc, par domination sur tout segment, on peut affirmer que l’application x01φ(x,u)du est de classe 𝒞1 et

    ddx(01φ(x,u)du)=01φx(x,u)du.

    Ainsi, f admet une dérivée partielle

    fx(x,y)=01ug′′(y+u(x-y))du.

    De plus, la fonction (x,y,u)ug′′(y+u(x-y)) est continue sur 2×[0;1] et par une domination sur [a;b]×[a;b], on obtient la continuité sur 2 de l’application fx.
    De même, on montre que la deuxième dérivée partielle de f existe et est continue.

 
Exercice 9  2460     CENTRALE (MP)Correction  

On pose

φ(x,y)=cos(x)-cos(y)x-y pour xy.
  • (a)

    Montrer que φ admet un prolongement par continuité à 2 noté encore φ.

  • (b)

    Montrer que φ est de 𝒞.

Solution

  • (a)

    On pose φ(a,a)=-sin(a) et l’on observe que φ(x,y)φ(a,a) quand (x,y)(a,a) avec xy et avec x=y.

  • (b)

    En vertu de

    cos(p)-cos(q)=-2sin(p-q2)sin(p+q2)

    on a

    φ(x,y)=-sinc(x-y2)sin(x+y2)

    avec sinc de classe 𝒞 car développable en série entière.

 
Exercice 10  2907     MINES (MP)Correction  

Soit, pour n*,

un:(x,y)cos(ny)nxn.

On note D l’ensemble des (x,y)2 tels que la série de terme général un(x,y) converge. On pose

f:(x,y)n=1un(x,y).
  • (a)

    Déterminer D.

  • (b)

    Montrer que fD est de classe 𝒞1.

Solution

  • (a)

    Cas: |x|<1.

    |un(x,y)|=o(xn)

    donc la série un(x,y) est absolument convergente.

    Cas: |x|>1. Si la série un(x,y) converge alors un(x,y)n+0 donc

    cos(ny)=un(x,y)nxn0

    par croissance comparée.
    Mais alors

    cos(2ny)=2cos2(ny)-1-1

    ce qui est incohérent avec l’affirmation qui précède.
    Ainsi, la série un(x,y) diverge.

    Cas: x=1. Si y=0[2π] alors un(1,y)=1n et un(1,y) diverge.
    Si y0[2π] alors par une transformation d’Abel, on obtient la convergence de la série un(1,y).

    Cas: x=-1. On remarque

    un(-1,y)=un(1,y+π).

    Ainsi, un(-1,y) converge si, et seulement si, yπ[2π].

    Finalement,

    D={(x,y)2||x|<1}{(1,y)/y0[2π]}{(-1,y)/yπ[2π]}.
  • (b)

    L’intérieur de D est alors

    D={(x,y)2||x|<1}.

    Soient a[0;1[ et Da={(x,y)2||x|<a}.
    un est de classe 𝒞1 sur Da et la série de fonctions un(x,y) converge simplement sur Da.
    La série de fonctions unx(x,y) converge normalement sur Da via

    |unx(x,y)|nan-1.

    Enfin, la série de fonctions uny(x,y) converge normalement sur Da via

    |uny(x,y)|nan.

    On peut alors appliquer les théorèmes usuels qui affirment que

    (x,y)n=0+un(x,y)

    admet deux dérivées partielles continues sur Da. C’est donc une fonction de classe 𝒞1 sur Da. Enfin, cela valant pour tout a[0;1[, on obtient une fonction de classe 𝒞1 sur l’intérieur de D.

 
Exercice 11  51    Correction  

Soit f:2 une fonction de classe 𝒞1. On définit

F(x)=2xx3f(x+1,t)dt.

Démontrer que F est dérivable sur et préciser sa dérivée.

Solution

On peut écrire

F(x)=0x3f(x+1,t)dt-02xf(x+1,t)dt=φ(x,x3)-φ(x,2x)

avec

φ(x,u)=0uf(x+1,t)dt=01uf(x+1,tu)dt.

Fixons u et considérons g(x,t)=uf(x+1,tu) définie sur ×[0;1].
La fonction g est continue en x et continue par morceaux en t.
Soit [a;b]. La fonction f étant continue sur le compact [a+1;b+1]×[0;u], elle y est bornée par un certain M+.
On a alors

(x,u)[a;b]×[0;u],|g(x,t)|M=ψ(t).

La fonction ψ est intégrable sur [0;u] et donc, par intégration sur un segment, on obtient que la fonction xφ(x,u) est de classe 𝒞1 et

ddx(φ(x,u))=φx(x,u)=01ufx(x+1,tu)dt.

Ainsi φ admet une dérivée partielle φx et, une domination analogue à la précédente permet d’établir que cette fonction est continue en le couple (x,u)2.
D’autre part, uφ(x,u) est évidemment dérivable et

ddu(φ(x,u))=φu(x,u)=f(x+1,u).

Ainsi φ admet une dérivée partielle φu et celle-ci est clairement continue.

Finalement, φ est de classe 𝒞1 sur 2.
Notons enfin que les dérivées partielles de φ sont continues en (x,u) et donc la fonction φ est de classe 𝒞1.
Puisque , F est de classe 𝒞1.
Par dérivation de fonctions composées

F(x)=φx(x,x3)+3x2φu(x,x3)-φx(x,x2)-2φu(x,2x).

Enfin

F(x)=2xx3fx(x+1,t)dt+3x2f(x+1,x3)-2f(x+1,2x).

[<] Calcul de dérivées partielles d'ordre 2 [>] Surface



Édité le 08-11-2019

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