[<] Équations aux dérivées partielles d'ordre 1 [>] Fonctions harmoniques

 
Exercice 1  81  Correction  

Déterminer les fonctions f:2 de classe 𝒞2 solutions de l’équation aux dérivées partielles

2fx2(x,y)-2fy2(x,y)=0.

On pourra réaliser le changement de variables

{u=x+yv=x-y.

Solution

On a

{u=x+yv=x-y{x=(u+v)/2y=(u-v)/2.

Soient f:2 de classe 𝒞2 et g:2 définie par

g(u,v)=f((u+v)/2,(u-v)/2)

g est de classe 𝒞2.
f est solution de l’équation aux dérivées partielles étudiée si, et seulement si,

2guv(u,v)=0

soit g(u,v)=C(u)+D(v) avec C,D fonction de classe 𝒞2.
Ainsi les solutions sont

f(x,y)=C(x+y)+D(x-y).
 
Exercice 2  1769   

(Équation des ondes)

Soit c>0. En réalisant le changement de variables

{u=x+ctv=x-ct

déterminer les fonctions f:2 de classe 𝒞2 solutions de l’équation aux dérivées partielles

(E):2fx2(x,t)=1c22ft2(x,t).
 
Exercice 3  82   Correction  

Déterminer les fonctions f:2 de classe 𝒞2 solutions de l’équation aux dérivées partielles

2fx2(x,y)-22fxy(x,y)+2fy2(x,y)=0.

On pourra réaliser le changement de variables

{u=xv=x+y

Solution

Soient f:2 une fonction de classe 𝒞2 sur 2 et g:2 définie par g(u,v)=f(u,v-u). Par composition g est 𝒞2 sur 2,

gu(u,v)=fx(u,v-u)-fy(u,v-u)

et

2gu2(u,v)=2fx2(u,v-u)-22fxy(u,v-u)+2fy2(u,v-u)

f est solution de l’équation aux dérivées partielles étudiée si, et seulement si,

2gu2(u,v)=0

soit g(u,v)=uC(v)+D(v) puis f(x,y)=xC(x+y)+D(x+y) avec C,D fonctions de classe 𝒞2.

 
Exercice 4  4629   

En passant en coordonnées polaires, résoudre11 1 Résoudre une équation aux dérivées partielles consiste à déterminer les fonctions de classe 𝒞1 (ou de classe 𝒞2 selon le contexte) vérifiant la relation proposée. sur Ω=+*× l’équation aux dérivées partielles

(E):x22fx2(x,y)+2xy2fxy(x,y)+y22fy2(x,y)=xy.
 
Exercice 5  5104    

Soit Φ la fonction définie sur l’ouvert Ω=+*×+* par Φ(x,y)=(y/x,xy).

  • (a)

    Établir que Φ réalise une bijection de Ω vers un ouvert à préciser et exprimer sa bijection réciproque Φ-1.

  • (b)

    Déterminer les fonctions f:Ω de classe 𝒞2 solutions de l’équation

    (E):x22fx2(x,y)-y22fy2(x,y)=0.

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Édité le 08-11-2019

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