[<] Matrice jacobienne [>] Classe d'une fonction

 
Exercice 1  1756  Correction  

Calculer les dérivées partielles d’ordre 2 des fonctions suivantes:

  • (a)

    f(x,y)=x2(x+y)

  • (b)

    f(x,y)=cos(xy)

Solution

  • (a)

    fx(x,y)=3x2+2xy, fy(x,y)=x2, 2fx2(x,y)=6x+2y, 2fxy(x,y)=2x, 2fy2(x,y)=0.

  • (b)

    fx(x,y)=-ysin(xy), fy(x,y)=-xsin(xy), 2fx2(x,y)=-y2cos(xy), 2fxy(x,y)=-sin(xy)-xycos(xy) et 2fy2(x,y)=-x2cos(xy).

 
Exercice 2  1759  Correction  

Soit f et φ: deux applications de classe 𝒞2 et F:2 définie par

F(x,y)=f(x+φ(y)).
  • (a)

    Justifier que F est de classe 𝒞2.

  • (b)

    Vérifier l’égalité:

    2Fx2Fy-2FxyFx=0.

Solution

  • (a)

    Par composition F est 𝒞2.

  • (b)

    Par calcul,

    Fx(x,y) =f(x+φ(y)) Fy(x,y) =φ(y)f(x+φ(y))
    2Fx2(x,y) =f′′(x+φ(y)) 2Fxy(x,y) =φ(y)f′′(x+φ(y)).

    Par suite, l’égalité proposée est vérifiée.

 
Exercice 3  1760  

Soient f:2 une fonction de classe 𝒞2 exprimée en le couple de variables (x,y) et g:2 la fonction définie par

g(u,v)=f(uv,u2+v2).
  • (a)

    Exprimer les dérivées partielles de g en fonction des dérivées partielles de f.

  • (b)

    Exprimer les dérivées partielles d’ordre 2 de g en fonction des dérivées partielles d’ordres 1 et 2 de f.

 
Exercice 4  49   Correction  

Soient f:(x,y)f(x,y) de classe 𝒞2 et g:(r,θ)f(rcos(θ),rsin(θ)).

Justifier que g est de classe 𝒞2 et exprimer

2fx2+2fy2

en fonction des dérivées partielles de g.

Solution

gr=cos(θ)fx+sin(θ)fy,gθ=-rsin(θ)fx+rcos(θ)fy

et

2gr2=cos2(θ)2fx2+2cos(θ)sin(θ)2fxy+sin2(θ)2fy2.
1r22gθ2=sin2(θ)2fx2-2cos(θ)sin(θ)2fxy+cos2(θ)2fy2-1rcos(θ)fx-1rsin(θ)fy

donc

2fx2+2fy2=2gr2+1rgr+1r22gθ2.

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Édité le 08-11-2019

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