Exercice 1 1756 Correction

Calculer les dérivées partielles d’ordre $2$ des fonctions $f : ℝ^{2} \to ℝ$ données ci-dessous:

Solution

Exercice 2 1759 Correction

Soient $f$ et $φ : ℝ \to ℝ$ deux applications de classe $𝒞^{2}$ et $F : ℝ^{2} \to ℝ$ définie par

F (x, y) = f (x + φ (y)) .

(a)

Justifier que $F$ est de classe $𝒞^{2}$ sur $ℝ^{2}$ .
(b)

Vérifier l’égalité

$\frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}} \cdot \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{\partial^{2} F}{\partial x \partial y} \cdot \frac{\partial F}{\partial x} = 0 .$

Solution

(b)

Après calculs,

	$\frac{\partial F}{\partial x} (x, y)$	$= f^{'} (x + φ (y))$	$\frac{\partial F}{\partial y} (x, y)$	$= φ^{'} (y) f^{'} (x + φ (y))$
	$\frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}} (x, y)$	$= f^{''} (x + φ (y))$	$\frac{\partial^{2} F}{\partial x \partial y} (x, y)$	$= φ^{'} (y) f^{''} (x + φ (y)) .$

Par suite, l’égalité proposée est vérifiée.

Exercice 3 1760

Soient $f : ℝ^{2} \to ℝ$ une fonction de classe $𝒞^{2}$ exprimée en le couple de variables $(x, y)$ et $g : ℝ^{2} \to ℝ$ la fonction définie par

g (u, v) = f (u v, u^{2} + v^{2}) .

(a)

Exprimer les dérivées partielles de $g$ en fonction des dérivées partielles de $f$ .
(b)

Exprimer les dérivées partielles d’ordre $2$ de $g$ en fonction des dérivées partielles d’ordres $1$ et $2$ de $f$ .

Exercice 4 49 Correction

Soient $f : (x, y) \mapsto f (x, y)$ de classe $𝒞^{2}$ et $g : (r, θ) \mapsto f (r \cos (θ), r \sin (θ))$ .

Justifier que $g$ est de classe $𝒞^{2}$ et exprimer

\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}

en fonction des dérivées partielles de $g$ .

Solution

\frac{\partial g}{\partial r} = \cos (θ) \frac{\partial f}{\partial x} + \sin (θ) \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial g}{\partial θ} = - r \sin (θ) \frac{\partial f}{\partial x} + r \cos (θ) \frac{\partial f}{\partial y}

\frac{\partial^{2} g}{\partial r^{2}} = \cos^{2} (θ) \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + 2 \cos (θ) \sin (θ) \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} + \sin^{2} (θ) \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} .

\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} g}{\partial θ^{2}} = \sin^{2} (θ) \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} - 2 \cos (θ) \sin (θ) \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} + \cos^{2} (θ) \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} - \frac{1}{r} \cos (θ) \frac{\partial f}{\partial x} - \frac{1}{r} \sin (θ) \frac{\partial f}{\partial y}

donc

\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = \frac{\partial^{2} g}{\partial r^{2}} + \frac{1}{r} \frac{\partial g}{\partial r} + \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} g}{\partial θ^{2}} .

Édité le 29-08-2023

Calcul de dérivées partielles d'ordre 2