[<] Différentielle [>] Calcul de dérivées partielles

 
Exercice 1  1743  Correction  

Soit f la fonction définie sur 2 par

f(x,y)={y2/x si x00 si x=0.
  • (a)

    Montrer que f admet une dérivée au point (0,0) suivant tout vecteur de 2.

  • (b)

    Observer que néanmoins f n’est pas continue en (0,0).

Solution

  • (a)

    Soit h=(α,β)2.

    1t(f(t.h)-f(0,0))=1t(f(tα,tβ))={0 si α=0β2/α sinon.

    Donc

    Dhf(0,0)={β2/α si α00 si α=0.
  • (b)
    f(1/n,1/n)=11f(0,0)

    donc f n’est pas continue en (0,0).

 
Exercice 2  1744  Correction  

Soit f:2 définie par

f(x,y)={x2yx4+y2 si (x,y)(0,0)0 sinon.

Montrer que f admet une dérivée en (0,0) selon tout vecteur sans pour autant y être continue.

Solution

Quand n+

f(1n,1n2)12f(0,0)

donc f n’est pas continue en (0,0).
Soit h=(α,β)2,

1t(f(tα,tβ)-f(0,0))=t2α2βt4α4+t2β2{0 si β=0α2/β sinon.

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Édité le 08-11-2019

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