• (a)

  Soit $v=(v_x,v_y)\in {ℝ}^2$. Sous réserve d’existence,

  $${\mathrm{D}}_{v}f(\mathrm{0,0})=\underset{\genfrac{}{}{0pt}{}{t\to 0}{t\ne 0}}{lim}\frac{f((\mathrm{0,0})+t.v)-f(\mathrm{0,0})}{t}=\underset{\genfrac{}{}{0pt}{}{t\to 0}{t\ne 0}}{lim}\frac{f(t{v}_x,t{v}_y)-f(\mathrm{0,0})}{t}\text{.}$$

  Cas: $v_y\ne 0$.

  $$\frac{f(t{v}_x,t{v}_y)-f(\mathrm{0,0})}{t}=\frac{t^3{v}_x^3}{t^2{v}_y}=t\frac{v_x^3}{v_y}\underset{{\displaystyle \genfrac{}{}{0pt}{}{t\to 0}{t\ne 0}}}{\overset{}{\to }}0\text{.}$$

  Cas: $v_y=0$.

  $$\frac{f(t{v}_x,t{v}_y)-f(\mathrm{0,0})}{t}=0\underset{{\displaystyle \genfrac{}{}{0pt}{}{t\to 0}{t\ne 0}}}{\overset{}{\to }}0\text{.}$$

  La fonction $f$ admet donc une dérivée en $(\mathrm{0,0})$ selon tout vecteur $v$ de ${ℝ}^2$ et ${\mathrm{D}}_{v}f(\mathrm{0,0})=0$.

• (b)

  On remarque

  $$f(\frac{1}{n},\frac{1}{n^3})=1\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}1\ne f(\mathrm{0,0})$$

  alors que

  $$(\frac{1}{n},\frac{1}{n^3})\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}(\mathrm{0,0})\text{.}$$

  La fonction n’est pas continue en $(\mathrm{0,0})$.

• (c)

  A fortiori, la fonction $f$ n’est pas différentiable en $(\mathrm{0,0})$ car les fonctions différentiables sont assurément continues.

  Ainsi, il ne suffit pas qu’une fonction soit dérivable selon tout vecteur en un point pour être différentiable en ce point! Notons que la réciproque est en revanche valable sachant (avec des notations entendues) ${\mathrm{D}}_{v}f(a)=\mathrm{d}f(a)\cdot v$.

Quand $n\to +\mathrm{\infty }$

donc $f$ n’est pas continue en $(\mathrm{0,0})$.
Soit $h=(\alpha ,\beta )\in {ℝ}^2$,