[<] Extremum, étude à l'ordre 1 [>] Optimisation géométrique
Soit une fonction différentiable définie sur un espace vectoriel de dimension .
Montrer que si est constante sur la sphère unité alors la différentielle de s’annule au moins une fois dans la boule unité ouverte.
Solution
La restriction de sur la boule unité fermée est continue. La boule unité fermée étant compacte, la restriction de présente un minimum et un maximum. Ainsi, il existe tels que
Si et sont éléments de la sphère unité alors est constante et donc la différentielle de est nulle sur la boule unité ouverte.
Sinon, au moins l’un de ou est élément de la boule unité ouverte. Cet élément est un extremum local de autour duquel est définie: c’est un point critique. La différentielle de s’annule en celui-ci.
On étudie la fonction définie sur
Justifier que est continue et présente un maximum à l’intérieur de .
Déterminer sa valeur.
Soit l’ensemble des couples tels que , et .
Montrer que est une partie compacte de .
Soient , , et définie par:
Montrer que est continue sur .
Déterminer
Solution
est fermée et bornée donc compacte.
Pour , la fonction est continue sur donc est continue par composition.
Puisque est continue sur un compact il y admet un maximum.
Puisque est positive et non nulle ce maximum est à valeur strictement positive.
Or est nulle sur le bord de donc ce maximum est dans l’ouvert et c’est donc un point critique de car est sur l’ouvert .
Il n’y a qu’un seul point critique c’est:
Finalement,
Déterminer
Solution
La fonction est continue sur le compact donc y admet un maximum.
Le seul point critique intérieur à est en et la valeur est .
Sur le bord de le maximum est celui de la fonction avec
Ce maximum vaut .
Puisque
on a
Déterminer le maximum de la fonction définie sur le compact donnée par
Solution
Rappelons que toute fonction réelle définie et continue sur un compact non vide y admet un maximum. Puisque la fonction est continue sur le compact , on est assuré de l’existence du maximum étudié.
Notons l’ouvert donné par
La fonction est de classe sur .
Après résolution, seul le couple est point critique de dans .
La valeur de en ce couple est
Sur le bord de , les valeurs prises par sont les valeurs prises sur par les fonctions
D’une part,
D’autre part,
donne que le maximum de est en avec
Puisque
on peut affirmer que le maximum de n’évolue pas sur le bord du compact , il est donc forcément dans et c’est alors un point critique de qui ne peut qu’être le couple .
Déterminer les extremums de sur avec
Solution
La fonction est continue sur le compact et donc y admet un minimum et un maximum.
Si ces extremums sont à l’intérieur de , ce sont des points critiques de . Déterminons ceux-ci. Pour ,
Après résolution, on obtient les points critiques , et mais les deux derniers ne sont pas éléments de l’intérieur de .
La valeurs de en est .
Il reste à étudier les valeurs prises par sur le bord de .
Les points du bord de sont de la forme avec . Or
L’étude des variations de la fonction sur donne les valeurs extrémales et .
On en déduit que le minimum de vaut et son maximum .
Calculer
Déterminer
Solution
Considérons la fonction définie par
La fonction est définie et de classe sur avec
Après résolution, la fonction présente un seul point critique avec . Vérifions que celui-ci correspond à un maximum de .
Effectuons quelques remarques.
Pour ,
Pour ,
Pour
Considérons alors le compact
La fonction prend des valeurs strictement inférieures à à l’extérieur de et prend la valeur dans donc
Aussi, puisque est continue sur le compact , présente un maximum dans et celui-ci est alors aussi un maximum de sur l’ouvert donc un point critique de .
Ce ne peut qu’être .
Au final,
Soit une fonction de classe au départ de et à valeurs dans .
On suppose que pour tout vecteur ,
Montrer que admet un minimum absolu11 1 Un minimum absolu est un minimum global..
Soit un espace euclidien. On considère continue avec . On introduit
On suppose que la restriction de au départ de est différentiable en tout point. Le but de l’exercice est d’établir qu’il existe tel que
Montrer le résultat lorsque .
On suppose et l’on considère donnée par
Conclure en considérant un point en lequel atteint un minimum.
Solution
Supposons . La fonction est donc nulle sur le bord de la boule .
La fonction est continue sur le compact . Elle admet donc un minimum et un maximum. Si ces extremums sont atteints sur le bord de , la fonction est identiquement nulle sur et n’importe quel de résout le problème. Sinon, il existe au moins un extremum élément de . Celui-ci est un point critique de et cela détermine convenable.
Commençons par remarquer que pour un certain tel que , on a et donc .
La fonction est continue sur le compact . Elle présente donc un minimum en un certain . Compte tenu de ce qui précède, on sait .
Cas: .
L’élément est élément de et c’est un point critique de . On a donc
On en tire
Cas: .
On a pour tout ,
et en particulier . Le développement limité à l’ordre de en s’écrit
Pour avec assez petit, la comparaison donne
En simplifiant par puis en passant à la limite quand
Que soit nul ou non, on obtient
[<] Extremum, étude à l'ordre 1 [>] Optimisation géométrique
Édité le 12-05-2025
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