[<] Équations aux dérivées partielles d'ordre 2 [>] Analyse vectorielle

 
Exercice 1  1327     CENTRALE (PC)Correction  

Déterminer les fonctions f:+* de classe 𝒞2 telle que

F:{n{0}(x1,xn)f(x12++xn2)

vérifie

i=1n2Fxi2=0.

Solution

Par composition de fonctions de classe 𝒞2, la fonction F est de classe 𝒞2 sur n{0}.
On calcule les dérivées partielles de F

Fxi(x1,,xn)=xix12++xn2f(x12++xn2).
2Fxi2(x1,,xn) =xi2x12++xn2f′′(x12++xn2)
+x12++x^i2++xn2(x12++xn2)3/2f(x12++xn2).

On en déduit

i=1n2Fxi2=f′′(x12++xn2)+n-1x12++xn2f(x12++xn2).

Puisque t=x12++xn2 parcourt +* quand (x1,,xn) parcourt n{0}, l’équation i=1n2Fxi2=0 est vérifiée si, et seulement si, f est solution sur +* de l’équation différentielle

f′′(t)+(n-1)tf(t)=0.

Après résolution on obtient

f(t)=λtn-2+μ avec λ,μ si n2 et f(t)=λln(t)+μ si n=2.
 
Exercice 2  1778   Correction  

(Fonctions harmoniques)

Une fonction f:Ω2 de classe 𝒞2 est dite harmonique si, et seulement si,

Δf=2fx2+2fy2=0
  • (a)

    Montrer que si f est harmonique et de classe 𝒞3 alors les fonctions fx, fy et xfx+yfy le sont aussi.

On suppose que f:2{(0,0)} est radiale c’est-à-dire qu’il existe une fonction φ:+* de classe 𝒞2 telle que f(x,y)=φ(x2+y2).

  • (b)

    Montrer que f est harmonique si, et seulement si, φ est solution d’une équation différentielle que l’on précisera.

  • (c)

    En résolvant cette équation, déterminer f.

Solution

  • (a)

    On a

    Δ(fx)=x(Δf)=0

    car

    2x2(xf)=x(2x2f) et 2y2(xf)=x(2y2f).

    Ainsi fx est harmonique et il en est de même de fy.
    Aussi

    Δ(xfx+yfy)=x3fx3+2fx2+y3fx2y+x3fy2x+y3fy3+2fy2

    donne

    Δ(xfx+yfy)=xΔ(fx)+yΔ(fy)+Δf=0.
  • (b)

    On a

    fx=2xφ(x2+y2)

    puis

    2fx2 =2φ(x2+y2)+2x2φ′′(x2+y2)
    2fy2 =2φ(x2+y2)+2y2φ′′(x2+y2).

    Donc

    Δf=0(x,y)2{(0,0)},(x2+y2)φ′′(x2+y2)+φ(x2+y2)=0

    d’où

    Δ(f)=0r+*,rφ′′(r)+φ(r)=0

    φ est solution sur +* de l’équation différentielle

    xy+y=0.
  • (c)

    Les solutions de l’équation xy+y=0 sont les fonctions y(x)=C/x.
    On en déduit

    φ(x)=Cln(x)+D avec C,D.

    Les fonction harmoniques radiales sont les

    f(x,y)=Cln(x2+y2)+D

    avec C,D.

 
Exercice 3  50   Correction  

Soit f𝒞2(2,) telle que

2fx2(x,y)+2fy2(x,y)=0pour tout (x,y)2

On définie g:2 par

g(r,t)=f(rcos(t),rsin(t)).
  • (a)

    Justifier que g est une fonction de classe 𝒞2.

  • (b)

    Trouver une relation reliant

    r(rgr)(r,t)et2gt2(r,t).
  • (c)

    Montrer que

    φ:r02πf(rcos(t),rsin(t))dt

    est de classe 𝒞2 sur et que rrφ(r) est une fonction constante.

  • (d)

    Conclure que φ est constante.

Solution

  • (a)

    g est de classe 𝒞2 par opérations sur les fonctions 𝒞2.
    D’une part,

    gr=cos(t)fx+sin(t)fy

    et

    r(rgr)=cos(t)fx+sin(t)fy+rcos2(t)2fx2+2rcos(t)sin(t)2fxy+rsin2(t)2fy2.

    D’autre part,

    gt=-rsin(t)fx+rcos(t)fy

    et

    2gt2=-rcos(t)fx-rsin(t)fy+r2sin2(t)2fx2-2r2cos(t)sin(t)2fxy+r2cos2(t)2fy2

    donc

    rr(rgr)+2gt2=r2(2fx2+f2y2)=0.
  • (b)

    g:(r,t)f(rcos(t),rsin(t)) admet des dérivées partielles gr, 2gr2
    Pour tout r, les applications tg(r,t) et tgr(r,t) sont continue par morceaux donc intégrables sur [0;2π].
    2gr2 est continue en t et continue par morceaux en t.
    Soit [a;b]. 2gr2 est continue sur le compact [a;b]×[0;2π] donc bornée par un certain M+

    (x,t)[a;b]×[0;2π],|2gr2(r,t)|M=ψ(t).

    La fonction ψ est intégrable sur [0;2π] et donc, par intégration sur tout segment, on peut affirmer que φ est de classe 𝒞2 sur avec

    φ(r)=02πgr(r,t)dt et φ′′(r)=02π2gr2(r,t)dt.

    Ainsi,

    r(rφ(r))=rφ(r)+r2φ′′(r)=-02π2gt2(r,t)dt=[gt(r;t)]02π.

    Puisque tg(r,t) est 2π périodique, il en est de même de tgt(r,t) et donc

    r(rφ(r))=0.

    Puisque r(rφ(r)) est continue et nulle sur *, cette fonction est continue nulle sur .

  • (c)

    Par suite, il existe C tel que rφ(r)=C puis

    φ(r)=Cr

    et

    φ(r)=Cln(|r|)+D

    sur *.
    Or φ est définie et continue sur donc C=0 et finalement φ est constante.

 
Exercice 4  4630    

(Fonctions harmoniques)

Soit f:2 une fonction de classe 𝒞2 vérifiant

2fx2+2fy2=0.
  • (a)

    Établir l’existence d’une application de g:2 de classe 𝒞2 telle que

    gx=-fyetgy=fx.
  • (b)

    Application: Pour r, on pose

    φ(r)=02πf(rcos(θ),rsin(θ))dθ.

    Montrer que φ est une fonction de classe 𝒞1 et calculer φ.

 
Exercice 5  56    

Soit anzn une série entière de la variable complexe z et de rayon de convergence R strictement positif. Sur le disque ouvert

D={(x,y)2|x2+y2<R}

on définit une fonction f par

f(x,y)=n=0+an(x+iy)n=n=0+anzn avec z=x+iy.

Montrer que f admet des dérivées partielles jusqu’à l’ordre 2 vérifiant

2fx2(x,y)+2fy2(x,y)=0pour tout (x,y)D.

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Édité le 08-11-2019

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