Exercice 1 1327 CENTRALE (PC)Correction

Déterminer les fonctions $f : ℝ_{+}^{*} \to ℝ$ de classe $𝒞^{2}$ sur $ℝ_{+}^{*}$ telles que

F : {\begin{matrix} ℝ^{n} ∖ {0} & \to & ℝ \\ (x_{1}, \dots x_{n}) & \mapsto & f (\sqrt{x_{1}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}) \end{matrix}

vérifie

\sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial^{2} F}{\partial x_{i}^{2}} = 0 .

Solution

Par composition de fonctions de classe $𝒞^{2}$ , la fonction $F$ est de classe $𝒞^{2}$ sur $ℝ^{n} ∖ {0}$ .

On calcule les dérivées partielles de $F$

	$\frac{\partial F}{\partial x_{i}} (x_{1}, \dots, x_{n})$	$= \frac{x_{i}}{\sqrt{x_{1}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}} f^{'} (\sqrt{x_{1}^{2} + \dots + x_{n}^{2}})$
	$\frac{\partial^{2} F}{\partial x_{i}^{2}} (x_{1}, \dots, x_{n})$	$= \frac{x_{i}^{2}}{x_{1}^{2} + \dots + x_{n}^{2}} f^{''} (\sqrt{x_{1}^{2} + \dots + x_{n}^{2}})$
		$+ \frac{x_{1}^{2} + \dots + {\hat{x}}_{i}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}{{(x_{1}^{2} + \dots + x_{n}^{2})}^{3 / 2}} f^{'} (\sqrt{x_{1}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}) .$

On en déduit

\sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial^{2} F}{\partial x_{i}^{2}} = f^{''} (\sqrt{x_{1}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}) + \frac{n - 1}{\sqrt{x_{1}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}} f^{'} (\sqrt{x_{1}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}) .

Puisque $t = \sqrt{x_{1}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}$ parcourt $ℝ_{+}^{*}$ quand $(x_{1}, \dots, x_{n})$ parcourt $ℝ^{n} ∖ {0}$ , l’équation $\sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial^{2} F}{\partial x_{i}^{2}} = 0$ est vérifiée si, et seulement si, $f$ est solution sur $ℝ_{+}^{*}$ de l’équation différentielle

f^{''} (t) + \frac{(n - 1)}{t} f^{'} (t) = 0 .

Après résolution, on obtient

Cas: $n \neq 2$ .

f (t) = \frac{λ}{t^{n - 2}} + μ avec λ, μ \in ℝ .

Cas: $n = 2$ .

f (t) = λ \ln (t) + μ avec λ, μ \in ℝ .

Exercice 2 1778 Correction

(Fonctions harmoniques)

Une fonction $f : Ω \subset ℝ^{2} \to ℝ$ de classe $𝒞^{2}$ est dite harmonique si, et seulement si,

Δ f = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = 0 .

(a)

Montrer que si $f$ est harmonique et de classe $𝒞^{3}$ alors les fonctions $\frac{\partial f}{\partial x}$ , $\frac{\partial f}{\partial y}$ et $x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y}$ le sont aussi.

On suppose que $f : ℝ^{2} ∖ {(0,0)} \to ℝ$ est radiale c’est-à-dire qu’il existe une fonction $φ : ℝ_{+}^{*} \to ℝ$ de classe $𝒞^{2}$ telle que $f (x, y) = φ (x^{2} + y^{2})$ .

(b)

Montrer que $f$ est harmonique si, et seulement si, $φ^{'}$ est solution d’une équation différentielle que l’on précisera.
(c)

En résolvant cette équation, déterminer $f$ .

Solution

(a)

On a

$Δ (\frac{\partial f}{\partial x}) = \frac{\partial}{\partial x} (Δ f) = 0$

car

$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} (\frac{\partial}{\partial x} f) = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} f) et \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} (\frac{\partial}{\partial x} f) = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} f) .$

Ainsi $\frac{\partial f}{\partial x}$ est harmonique et il en est de même de $\frac{\partial f}{\partial y}$ .
Aussi

$Δ (x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y}) = x \frac{\partial^{3} f}{\partial x^{3}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + y \frac{\partial^{3} f}{\partial x^{2} \partial y} + x \frac{\partial^{3} f}{\partial y^{2} \partial x} + y \frac{\partial^{3} f}{\partial y^{3}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}$

donne

$Δ (x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y}) = x Δ (\frac{\partial f}{\partial x}) + y Δ (\frac{\partial f}{\partial y}) + Δ f = 0 .$
(b)

On a

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x φ^{'} (x^{2} + y^{2})$

puis

$\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}$ $= 2 φ^{'} (x^{2} + y^{2}) + 2 x^{2} φ^{''} (x^{2} + y^{2})$

$\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}$ $= 2 φ^{'} (x^{2} + y^{2}) + 2 y^{2} φ^{''} (x^{2} + y^{2}) .$

Donc

$Δ f = 0 \Leftrightarrow \forall (x, y) \in ℝ^{2} ∖ {(0,0)}, (x^{2} + y^{2}) φ^{''} (x^{2} + y^{2}) + φ^{'} (x^{2} + y^{2}) = 0$

d’où

$Δ (f) = 0 \Leftrightarrow \forall r \in ℝ_{+}^{*}, r φ^{''} (r) + φ^{'} (r) = 0$

$φ^{'}$ est solution sur $ℝ_{+}^{*}$ de l’équation différentielle

$x y^{'} + y = 0 .$
(c)

Les solutions de l’équation $x y^{'} + y = 0$ sont les fonctions $y (x) = C / x$ .
On en déduit

$φ (x) = C \ln (x) + D avec C, D \in ℝ .$

Les fonction harmoniques radiales sont les

$f (x, y) = C^{'} \ln (x^{2} + y^{2}) + D$

avec $C^{'}, D \in ℝ$ .

Exercice 3 50 Correction

Soit $f \in 𝒞^{2} (ℝ^{2}, ℝ)$ telle que

\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} (x, y) + \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} (x, y) = 0 pour tout (x, y) \in ℝ^{2} .

On définie $g : ℝ^{2} \to ℝ$ par

g (r, t) = f (r \cos (t), r \sin (t)) .

(a)

Justifier que $g$ est une fonction de classe $𝒞^{2}$ .
(b)

Trouver une relation reliant

$\frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial g}{\partial r}) (r, t) et \frac{\partial^{2} g}{\partial t^{2}} (r, t) .$
(c)

Montrer que

$φ : r \mapsto \int_{0}^{2 π} f (r \cos (t), r \sin (t)) d t$

est de classe $𝒞^{2}$ sur $ℝ$ et que $r \mapsto r φ^{'} (r)$ est une fonction constante.
(d)

Conclure que $φ$ est constante.

Solution

(a)

$g$ est de classe $𝒞^{2}$ par opérations sur les fonctions $𝒞^{2}$ .
(b)

D’une part,

$\frac{\partial g}{\partial r} = \cos (t) \frac{\partial f}{\partial x} + \sin (t) \frac{\partial f}{\partial y}$

et

$\frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial g}{\partial r}) = \cos (t) \frac{\partial f}{\partial x} + \sin (t) \frac{\partial f}{\partial y} + r \cos^{2} (t) \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + 2 r \cos (t) \sin (t) \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} + r \sin^{2} (t) \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} .$

D’autre part,

$\frac{\partial g}{\partial t} = - r \sin (t) \frac{\partial f}{\partial x} + r \cos (t) \frac{\partial f}{\partial y}$

et

$\frac{\partial^{2} g}{\partial t^{2}} = - r \cos (t) \frac{\partial f}{\partial x} - r \sin (t) \frac{\partial f}{\partial y} + r^{2} \sin^{2} (t) \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} - 2 r^{2} \cos (t) \sin (t) \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} + r^{2} \cos^{2} (t) \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}$

donc

$r \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial g}{\partial r}) + \frac{\partial^{2} g}{\partial t^{2}} = r^{2} (\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial f^{2}}{\partial y^{2}}) = 0 .$
(c)

$g : (r, t) \mapsto f (r \cos (t), r \sin (t))$ admet des dérivées partielles $\frac{\partial g}{\partial r}$ , $\frac{\partial^{2} g}{\partial r^{2}}$
Pour tout $r \in ℝ$ , les applications $t \mapsto g (r, t)$ et $t \mapsto \frac{\partial g}{\partial r} (r, t)$ sont continue par morceaux donc intégrables sur $[0; 2 π]$ .
$\frac{\partial^{2} g}{\partial r^{2}}$ est continue en $t$ et continue par morceaux en $t$ .
Soit $[a; b] \subset ℝ$ . $\frac{\partial^{2} g}{\partial r^{2}}$ est continue sur le compact $[a; b] \times [0; 2 π]$ donc bornée par un certain $M \in ℝ_{+}$

$\forall (x, t) \in [a; b] \times [0; 2 π], | \frac{\partial^{2} g}{\partial r^{2}} (r, t) | \leq M = ψ (t) .$

La fonction $ψ$ est intégrable sur $[0; 2 π]$ et donc, par intégration sur tout segment, on peut affirmer que $φ$ est de classe $𝒞^{2}$ sur $ℝ$ avec

$φ^{'} (r) = \int_{0}^{2 π} \frac{\partial g}{\partial r} (r, t) d t et φ^{''} (r) = \int_{0}^{2 π} \frac{\partial^{2} g}{\partial r^{2}} (r, t) d t .$

Ainsi,

$r {(r φ^{'} (r))}^{'} = r φ^{'} (r) + r^{2} φ^{''} (r) = - \int_{0}^{2 π} \frac{\partial^{2} g}{\partial t^{2}} (r, t) d t = {[\frac{\partial g}{\partial t} (r, t)]}_{0}^{2 π} .$

Puisque $t \mapsto g (r, t)$ est $2 π$ périodique, il en est de même de $t \mapsto \frac{\partial g}{\partial t} (r, t)$ et donc

$r {(r φ^{'} (r))}^{'} = 0 .$

Puisque $r \mapsto {(r φ^{'} (r))}^{'}$ est continue et nulle sur $ℝ^{*}$ , cette fonction est continue nulle sur $ℝ$ .
(d)

Par suite, il existe $C \in ℝ$ tel que $r φ^{'} (r) = C$ puis

$φ^{'} (r) = \frac{C}{r}$

et

$φ (r) = C \ln (| r |) + D$

sur $ℝ^{*}$ .
Or $φ$ est définie et continue sur $ℝ$ donc $C = 0$ et finalement $φ$ est constante.

Exercice 4 4630

(Fonctions harmoniques)

Soit $f : ℝ^{2} \to ℝ$ une fonction de classe $𝒞^{2}$ vérifiant

\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = 0 .

(a)

Établir l’existence d’une application de $g : ℝ^{2} \to ℝ$ de classe $𝒞^{2}$ telle que

$\frac{\partial g}{\partial x} = - \frac{\partial f}{\partial y} et \frac{\partial g}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial x} .$
(b)

Application : Pour $r \in ℝ$ , on pose

$φ (r) = \int_{0}^{2 π} f (r \cos (θ), r \sin (θ)) d θ .$

Montrer que $φ$ est une fonction de classe $𝒞^{1}$ et calculer $φ$ .

Exercice 5 56

Soit $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière de la variable complexe $z$ et de rayon de convergence $R$ strictement positif. Sur le disque ouvert

D = {(x, y) \in ℝ^{2} | x^{2} + y^{2} < R}

on définit une fonction $f$ par

f (x, y) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} {(x + i y)}^{n} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} z^{n} avec z = x + i y .

Montrer que $f$ admet des dérivées partielles jusqu’à l’ordre $2$ vérifiant

\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} (x, y) + \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} (x, y) = 0 pour tout (x, y) \in D .

[<] Équations aux dérivées partielles d'ordre 2 [>] Extremum, étude à l'ordre 1

Édité le 29-08-2023

	$\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}$	$= 2 φ^{'} (x^{2} + y^{2}) + 2 x^{2} φ^{''} (x^{2} + y^{2})$
	$\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}$	$= 2 φ^{'} (x^{2} + y^{2}) + 2 y^{2} φ^{''} (x^{2} + y^{2}) .$