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Exercice 1  5174  

Montrer que le déterminant d’une matrice à coefficients entiers est un nombre entier11 1 Ici, entier est à comprendre au sens d’entier relatif..

 
Exercice 2  1443  

Soit A=(ai,j) une matrice carrée de taille n à coefficients dans .

Montrer que la matrice A est inversible d’inverse une matrice à coefficients entiers si, et seulement si, det(A)=±1.

 
Exercice 3  3382  Correction  

Soit An() vérifiant

i,j{1,,n},ai,j{1,-1}.

Montrer

2n-1det(A).

Solution

En ajoutant la première colonne de A à chacune des suivantes, on obtient une matrice dont les colonnes d’indices 2 jusqu’à n ont pour coefficients 0,2 ou -2. On peut donc factoriser 2 sur chacune de ces colonnes et l’on obtient

det(A)=2n-1det(B)

avec B une matrice dont les coefficients sont 0,1 ou -1 de sorte que det(B)

 
Exercice 4  2659    MINES (MP)Correction  

Soient des matrices A,Bn() telles que det(A) et det(B) sont premiers entre eux.
Montrer l’existence de U,Vn() telles que

UA+VB=In.

Solution

Il existe u,v tels que udet(A)+vdet(B)=1. Les matrices U=u(Com(A))t et V=v(Com(B))t conviennent alors.

 
Exercice 5  4463   

(Identités de Diophante et des quatre carrés d’Euler)

  • (a)

    Soient a, b, a et b des nombres entiers. Calculer de deux façons:

    |a-bba||a-bba|.

    Exprimer des entiers a′′ et b′′ tels que

    (a2+b2)(a 2+b 2)=a′′ 2+b′′ 2.
  • (b)

    Soient a, b, c et d des réels. Calculer le déterminant de

    M(a,b,c,d)=(a-bc-dbadc-c-dabd-c-ba).
  • (c)

    Soient a, b, c, d et a, b, c, d des nombres entiers. Déterminer a′′,b′′,c′′,d′′ entiers tels que

    (a2+b2+c2+d2)(a 2+b 2+c 2+d 2)=a′′ 2+b′′ 2+c′′ 2+d′′ 2.
 
Exercice 6  2603   Correction  

On dit qu’une matrice An() est élément de GLn() si la matrice A est à coefficients entiers, qu’elle est inversible et que son inverse est à coefficients entiers.

  • (a)

    Montrer que si AGLn() alors |det(A)|=1.

  • (b)

    Soient A,Bn() vérifiant:

    k{0,1,,2n},A+kBGLn().

    Calculer det(A) et det(B).

Solution

  • (a)

    AA-1=In donne (det(A))(det(A-1))=1 or det(A),det(A-1) donc det(A)=±1.

  • (b)

    Posons P(x)=det(A+xB). P est une fonction polynomiale de degré inférieur à n.
    Pour tout x{0,1,,2n}, on a P(x)=±1 donc P(x)2-1=0.
    Le polynôme P2-1 possède au moins 2n+1 racines et est de degré inférieur à 2n, c’est donc le polynôme nul.
    On en déduit que pour tout x, P(x)=±1.
    Pour x=0, on obtient det(A)=±1.
    Pour x+,

    det(1xA+B)=P(x)xn0

    donne det(B)=0.

 
Exercice 7  3417    Correction  

On note GLn() l’ensemble formé des matrices inversibles d’ordre n à coefficients entiers dont l’inverse est encore à coefficients entiers.
Soient a1,,an des entiers (n2). Montrer qu’il existe une matrice de GLn() dont la première ligne est formée des entiers a1,a2,,an si, et seulement si, ces entiers sont premiers dans leur ensemble.

Solution

Soit A une matrice de GLn(). Le déterminant de A ainsi que celui de son inverse sont des entiers. Puisque

det(A)×det(A-1)=1

on en déduit det(A)=±1. Inversement, si une matrice An() est de déterminant ±1 alors son inverse, qui s’exprime à l’aide de la comatrice de A, est à coefficients entiers. Ainsi, les matrices de GLn() sont les matrices à coefficients entiers de déterminant ±1.
Soit A une matrice de GLn() dont la première ligne est formée par les entiers a1,,an. En développant le calcul de det(A) selon la première ligne de la matrice, on obtient une relation de la forme

a1u1++anun=1

avec les uk égaux, au signe près, à des mineurs de la matrice A. Ces uk sont donc des entiers et la relation qui précède assure que les entiers a1,,an sont premiers dans leur ensemble.
Pour établir la réciproque, raisonnons par récurrence sur n2 pour établir qu’il existe une matrice à coefficients dans , de déterminant 1, dont la première ligne est a1,,an premiers dans leur ensemble.
Pour n=2. Soient a,b deux entiers premiers entre eux. Par l’égalité de Bézout, on peut écrire

au+bv=1 avec u,v.

Considérons alors la matrice

A=(ab-vu)2().

Celle-ci étant de déterminant 1, elle appartient à GL2().
Supposons la propriété établie au rang n2.
Soient a1,,an,an+1 des entiers premiers dans leur ensemble. Posons

d=pgcd(a1,,an).

Les entiers d et an+1 étant premiers entre eux, il existe u,v tels que

du+an+1v=1.

De plus, on peut écrire

a1=da1,,an=dan

avec a1,,an premiers dans leur ensemble.
Par hypothèse de récurrence, il existe une matrice

(a1a2anα2,1α2,2α2,nαn,1αn,2αn,n)n()

de déterminant 1.
Considérons alors la matrice

(da1da2danan+1α2,1α2,2α2,n0αn,1αn,2αn,n0-va1-va2-vanu).

Celle-ci est à coefficients entiers et en développant son déterminant par rapport à la dernière colonne, on obtient 1.
Récurrence établie.

 
Exercice 8  749    Correction  

Établir que l’inverse de la matrice H=(1i+j-1)1i,jn est à coefficients entiers.

Solution

On a H-1=1det(H)Comt(H) avec Com(H)=(Hi,j).
Par opérations élémentaires,

det(1ai+bj)1i,jn=1i<jn(aj-ai)(bj-bi)1i,jn(ai+bj).

En simplifiant les facteurs communs, on obtient

Hk,det(H)=(-1)k+(n+k-1)!(n+-1)!(k+-1)(k-1)!2(-1)!2(n-k)!(n-)!

puis

Hk,det(H)=(-1)k+(k+-1)(n+k-1k+-1)(n+-1k+-1)(k+-2k-1).
 
Exercice 9  4458    

Soit A une matrice carrée de taille n paire dont les coefficients diagonaux sont des entiers pairs et les coefficients non diagonaux des entiers impairs. Montrer que la matrice A est inversible.

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Édité le 08-11-2019

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