• (a)

  $A{A}^{-1}={\mathrm{I}}_n$ donne $\left(\det (A)\right)\left(\det \left(A^{-1}\right)\right)=1$ or $\det (A),\det \left(A^{-1}\right)\in \mathbb{Z}$ donc $\det (A)=\pm 1$.

• (b)

  Posons $P(x)=\det (A+xB)$. $P$ est une fonction polynomiale de degré inférieur à $n$.
  Pour tout $x\in \{\mathrm{0,1},\mathrm{\dots }\mathrm{,2}n\}$, on a $P(x)=\pm 1$ donc $P{(x)}^2-1=0$.
  Le polynôme $P^2-1$ possède au moins $2n+1$ racines et est de degré inférieur à $2n$, c’est donc le polynôme nul.
  On en déduit que pour tout $x\in ℝ$, $P(x)=\pm 1$.
  Pour $x=0$, on obtient $\det (A)=\pm 1$.
  Pour $x\to +\mathrm{\infty }$,

  $$\det \left(\frac{1}{x}A+B\right)=\frac{P(x)}{x^n}\to 0$$

  donne $\det (B)=0$.

Soit $A$ une matrice de ${\mathrm{GL}}_n(\mathbb{Z})$. Le déterminant de $A$ ainsi que celui de son inverse sont des entiers. Puisque

$$\det (A)\times \det \left(A^{-1}\right)=1$$

on en déduit $\det (A)=\pm 1$. Inversement, si une matrice $A\in {ℳ}_n(\mathbb{Z})$ est de déterminant $\pm 1$ alors son inverse, qui s’exprime à l’aide de la comatrice de $A$, est à coefficients entiers. Ainsi, les matrices de ${\mathrm{GL}}_n(\mathbb{Z})$ sont les matrices à coefficients entiers de déterminant $\pm 1$.
Soit $A$ une matrice de ${\mathrm{GL}}_n(\mathbb{Z})$ dont la première ligne est formée par les entiers $a_1,\mathrm{\dots },a_n$. En développant le calcul de $\det (A)$ selon la première ligne de la matrice, on obtient une relation de la forme

$$a_1{u}_1+\mathrm{\cdots }+a_n{u}_n=1$$

avec les $u_k$ égaux, au signe près, à des mineurs de la matrice $A$. Ces $u_k$ sont donc des entiers et la relation qui précède assure que les entiers $a_1,\mathrm{\dots },a_n$ sont premiers dans leur ensemble.
Pour établir la réciproque, raisonnons par récurrence sur $n\ge 2$ pour établir qu’il existe une matrice à coefficients dans $\mathbb{Z}$, de déterminant 1, dont la première ligne est $a_1,\mathrm{\dots },a_n$ premiers dans leur ensemble.
Pour $n=2$. Soient $a,b$ deux entiers premiers entre eux. Par l’égalité de Bézout, on peut écrire

$$au+bv=1\text{ avec }u,v\in \mathbb{Z}\text{.}$$

Considérons alors la matrice

$$A=\left(\begin{array}{cc}\hfill a\hfill & \hfill b\hfill \\ \hfill -v\hfill & \hfill u\hfill \end{array}\right)\in {ℳ}_2(\mathbb{Z})\text{.}$$

Celle-ci étant de déterminant 1, elle appartient à ${\mathrm{GL}}_2(\mathbb{Z})$.
Supposons la propriété établie au rang $n\ge 2$.
Soient $a_1,\mathrm{\dots },a_n,a_{n+1}$ des entiers premiers dans leur ensemble. Posons

$$d=\mathrm{pgcd}(a_1,\mathrm{\dots },a_n)\text{.}$$

Les entiers $d$ et $a_{n+1}$ étant premiers entre eux, il existe $u,v\in \mathbb{Z}$ tels que

$$du+a_{n+1}v=1\text{.}$$

De plus, on peut écrire

$$a_1=d{a}_1^{\prime },\mathrm{\dots },a_n=d{a}_n^{\prime }$$

avec $a_1^{\prime },\mathrm{\dots },a_n^{\prime }$ premiers dans leur ensemble.
Par hypothèse de récurrence, il existe une matrice

$$\left(\begin{array}{cccc}\hfill a_1^{\prime }\hfill & \hfill a_2^{\prime }\hfill & \hfill \mathrm{\cdots }\hfill & \hfill a_n^{\prime }\hfill \\ \hfill {\alpha }_{\mathrm{2,1}}\hfill & \hfill {\alpha }_{\mathrm{2,2}}\hfill & \hfill \mathrm{\cdots }\hfill & \hfill {\alpha }_{2,n}\hfill \\ \hfill \mathrm{⋮}\hfill & \hfill \mathrm{⋮}\hfill & \hfill \hfill & \hfill \mathrm{⋮}\hfill \\ \hfill {\alpha }_{n\mathrm{,1}}\hfill & \hfill {\alpha }_{n\mathrm{,2}}\hfill & \hfill \mathrm{\cdots }\hfill & \hfill {\alpha }_{n,n}\hfill \end{array}\right)\in {ℳ}_n(\mathbb{Z})$$

de déterminant 1.
Considérons alors la matrice

$$\left(\begin{array}{ccccc}\hfill d{a}_1^{\prime }\hfill & \hfill d{a}_2^{\prime }\hfill & \hfill \mathrm{\cdots }\hfill & \hfill d{a}_n^{\prime }\hfill & \hfill a_{n+1}\hfill \\ \hfill {\alpha }_{\mathrm{2,1}}\hfill & \hfill {\alpha }_{\mathrm{2,2}}\hfill & \hfill \mathrm{\cdots }\hfill & \hfill {\alpha }_{2,n}\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill \mathrm{⋮}\hfill & \hfill \mathrm{⋮}\hfill & \hfill \hfill & \hfill \mathrm{⋮}\hfill & \hfill \mathrm{⋮}\hfill \\ \hfill {\alpha }_{n\mathrm{,1}}\hfill & \hfill {\alpha }_{n\mathrm{,2}}\hfill & \hfill \mathrm{\cdots }\hfill & \hfill {\alpha }_{n,n}\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill -v{a}_1^{\prime }\hfill & \hfill -v{a}_2^{\prime }\hfill & \hfill \mathrm{\cdots }\hfill & \hfill -v{a}_n^{\prime }\hfill & \hfill u\hfill \end{array}\right)\text{.}$$

Celle-ci est à coefficients entiers et en développant son déterminant par rapport à la dernière colonne, on obtient 1.
Récurrence établie.

On a $H^{-1}=\frac{1}{\det (H)}\mathrm{Com}{(H)}^{\top }$ avec $\mathrm{Com}(H)=(H_{i,j})$.
Par opérations élémentaires,

$$\det {\left(\frac{1}{a_i+b_j}\right)}_{1\le i,j\le n}=\frac{{\prod }_{1\le i<j\le n}(a_j-a_i)(b_j-b_i)}{{\prod }_{1\le i,j\le n}(a_i+b_j)}\text{.}$$

En simplifiant les facteurs communs, on obtient

$$\frac{H_{k,\mathrm{\ell }}}{\det (H)}=\frac{{(-1)}^{k+\mathrm{\ell }}(n+k-1)!(n+\mathrm{\ell }-1)!}{(k+\mathrm{\ell }-1){(k-1)!}^2{(\mathrm{\ell }-1)!}^2(n-k)!(n-\mathrm{\ell })!}$$

puis

$$\frac{H_{k,\mathrm{\ell }}}{\det (H)}={(-1)}^{k+\mathrm{\ell }}(k+\mathrm{\ell }-1)\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n+k-1}{k+\mathrm{\ell }-1}\right)\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n+\mathrm{\ell }-1}{k+\mathrm{\ell }-1}\right)\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{k+\mathrm{\ell }-2}{k-1}\right)\in \mathbb{Z}\text{.}$$