Par les opérations élémentaires: $C_1\leftarrow C_1-C_n$ puis $L_1\leftarrow L_1-L_n$ on obtient

$$D_n={\left|\begin{array}{ccccc}\hfill -2\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill \mathrm{\cdots }\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill \hfill & \hfill \hfill & \hfill (1)\hfill \\ \hfill \mathrm{⋮}\hfill & \hfill \hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \hfill & \hfill \hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill \hfill & \hfill \hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill (1)\hfill & \hfill \hfill & \hfill \hfill & \hfill 0\hfill \end{array}\right|}_{\left[n\right]}\text{.}$$

En développant, on parvient à la relation de récurrence

$$D_n=-2D_{n-1}-D_{n-2}\text{.}$$

La suite $(D_n)$ est une suite récurrente linéaire d’ordre 2 d’équation caractéristique $r^2+2r+1=0$ de racine double $-1$.
Sachant $D_1=0$ et $D_2=-1$, on parvient à

$$D_n={(-1)}^{n-1}(n-1)\text{.}$$

Par les opérations élémentaires $C_1\leftarrow C_1+C_n$ puis $L_1\leftarrow L_1+L_n$ on obtient

$$D_n={\left|\begin{array}{ccccc}\hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill \mathrm{\cdots }\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill \mathrm{\cdots }\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill \mathrm{⋮}\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \mathrm{⋮}\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill \mathrm{⋮}\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill -1\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill \mathrm{\cdots }\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill 0\hfill \end{array}\right|}_{\left[n\right]}\text{.}$$

En développant, on parvient à la relation de récurrence

$$D_n=D_{n-2}\text{.}$$

Comme $D_1=0$ et $D_2=1$, on a

$$D_n=\frac{1+{(-1)}^n}{2}\text{.}$$

En retirant à chaque ligne la précédente (et en commençant par la dernière)

$$D_n={\left|\begin{array}{cccccc}\hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill \mathrm{\cdots }\hfill & \hfill \mathrm{\cdots }\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill \left(\genfrac{}{}{0pt}{}{1}{0}\right)\hfill & \hfill \left(\genfrac{}{}{0pt}{}{1}{1}\right)\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill \hfill & \hfill \mathrm{⋮}\hfill \\ \hfill \mathrm{⋮}\hfill & \hfill \left(\genfrac{}{}{0pt}{}{2}{0}\right)\hfill & \hfill \left(\genfrac{}{}{0pt}{}{2}{1}\right)\hfill & \hfill \left(\genfrac{}{}{0pt}{}{2}{2}\right)\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \mathrm{⋮}\hfill \\ \hfill \mathrm{⋮}\hfill & \hfill \left(\genfrac{}{}{0pt}{}{3}{0}\right)\hfill & \hfill \left(\genfrac{}{}{0pt}{}{3}{1}\right)\hfill & \hfill \left(\genfrac{}{}{0pt}{}{3}{2}\right)\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill \mathrm{⋮}\hfill & \hfill \hfill & \hfill \hfill & \hfill \hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n-2}{n-2}\right)\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill \left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n-1}{0}\right)\hfill & \hfill \left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n-1}{1}\right)\hfill & \hfill \left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n-1}{2}\right)\hfill & \hfill \mathrm{\cdots }\hfill & \hfill \left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n-1}{n-2}\right)\hfill \end{array}\right|}_{\left[n\right]}$$

en vertu de la formule du triangle de Pascal

$$\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n}{k}\right)=\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n-1}{k-1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n-1}{k}\right)\text{.}$$

En développant selon la première colonne, on obtient

$$D_n=D_{n-1}\text{.}$$

Ainsi,

$$D_n=D_1=1\text{.}$$

En retirant à chaque ligne la précédente (et en commençant par la dernière) on obtient

$$D_{n+1}={\left|\begin{array}{cccc}\hfill \left(\genfrac{}{}{0pt}{}{0}{0}\right)\hfill & \hfill \left(\genfrac{}{}{0pt}{}{1}{1}\right)\hfill & \hfill \mathrm{\cdots }\hfill & \hfill \left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n}{n}\right)\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill \left(\genfrac{}{}{0pt}{}{1}{0}\right)\hfill & \hfill \mathrm{\cdots }\hfill & \hfill \left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n}{n-1}\right)\hfill \\ \hfill \mathrm{⋮}\hfill & \hfill \mathrm{⋮}\hfill & \hfill \hfill & \hfill \mathrm{⋮}\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill \left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n}{0}\right)\hfill & \hfill \mathrm{\cdots }\hfill & \hfill \left(\genfrac{}{}{0pt}{}{2n-1}{n-1}\right)\hfill \end{array}\right|}_{\left[n+1\right]}$$

en vertu de la formule du triangle de Pascal

$$\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n}{k}\right)=\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n-1}{k-1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n-1}{k}\right)\text{.}$$

En développant selon la première colonne

$$D_{n+1}={\left|\begin{array}{ccc}\hfill \left(\genfrac{}{}{0pt}{}{1}{0}\right)\hfill & \hfill \mathrm{\cdots }\hfill & \hfill \left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n}{n-1}\right)\hfill \\ \hfill \mathrm{⋮}\hfill & \hfill \hfill & \hfill \mathrm{⋮}\hfill \\ \hfill \left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n}{0}\right)\hfill & \hfill \mathrm{\cdots }\hfill & \hfill \left(\genfrac{}{}{0pt}{}{2n-1}{n-1}\right)\hfill \end{array}\right|}_{\left[n\right]}\text{.}$$

Via $C_n\leftarrow C_n-C_{n-1},\mathrm{\dots },C_2\leftarrow C_2-C_1$ et en exploitant $\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{p}{0}\right)=\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{p+1}{0}\right)$, on obtient

$$D_{n+1}=\left|\begin{array}{ccc}\hfill \left(\genfrac{}{}{0pt}{}{0}{0}\right)\hfill & \hfill \mathrm{\cdots }\hfill & \hfill \left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n-1}{n-1}\right)\hfill \\ \hfill \mathrm{⋮}\hfill & \hfill \hfill & \hfill \mathrm{⋮}\hfill \\ \hfill \left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n-1}{0}\right)\hfill & \hfill \mathrm{\cdots }\hfill & \hfill \left(\genfrac{}{}{0pt}{}{2n-2}{n-1}\right)\hfill \end{array}\right|=D_n\text{.}$$

Finalement,

$$D_n=1\text{.}$$

En décomposant la dernière colonne en somme de deux colonnes

$$D_n=\left|\begin{array}{cccc}\hfill 2\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill \mathrm{\cdots }\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \mathrm{⋮}\hfill \\ \hfill \mathrm{⋮}\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill n\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill \mathrm{\cdots }\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right|+{\left|\begin{array}{cccc}\hfill 2\hfill & \hfill \hfill & \hfill (1)\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \hfill & \hfill \mathrm{⋮}\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill \hfill & \hfill n\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill (1)\hfill & \hfill \hfill & \hfill \hfill & \hfill n\hfill \end{array}\right|}_{\left[n\right]}\text{.}$$

En retranchant la dernière colonne à chacune des autres

$$\left|\begin{array}{cccc}\hfill 2\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill \mathrm{\cdots }\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \mathrm{⋮}\hfill \\ \hfill \mathrm{⋮}\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill n\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill \mathrm{\cdots }\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}\hfill 1\hfill & \hfill \hfill & \hfill (0)\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \mathrm{⋮}\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill \hfill & \hfill n-1\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill (0)\hfill & \hfill \hfill & \hfill \hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right|=(n-1)!$$

En développant selon la dernière colonne

$${\left|\begin{array}{cccc}\hfill 2\hfill & \hfill \hfill & \hfill (1)\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \hfill & \hfill \mathrm{⋮}\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill \hfill & \hfill n\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill (1)\hfill & \hfill \hfill & \hfill \hfill & \hfill n\hfill \end{array}\right|}_{\left[n\right]}=n{D}_{n-1}\text{.}$$

Ainsi,

$$D_n=(n-1)!+n{D}_{n-1}\text{.}$$

Par suite,

$$\frac{D_n}{n!}=\frac{1}{n}+\frac{D_{n-1}}{(n-1)!}$$

donc

$$\frac{D_n}{n!}=D_0+\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}$$

puis

$$D_n=(1+H_n)n!$$

Cas: $b=c$. C’est un calcul classique, on effectue $C_1\leftarrow C_1+\mathrm{\cdots }+C_n$ puis $L_i\leftarrow L_i-L_1$(pour $i=2,\mathrm{\dots },n$) pour triangulariser le déterminant et obtenir

$$\det (A_n)=\left(a+(n-1)b\right){(a-b)}^{n-1}\text{.}$$

Cas: $b\ne c$. Posons $D_n=\det (A_n)$. À chaque ligne on retranche la précédente

$$D_n=\left|\begin{array}{cccc}\hfill a\hfill & \hfill b\hfill & \hfill \mathrm{\cdots }\hfill & \hfill b\hfill \\ \hfill c-a\hfill & \hfill a-b\hfill & \hfill \hfill & \hfill (0)\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \hfill \\ \hfill (0)\hfill & \hfill \hfill & \hfill c-a\hfill & \hfill a-b\hfill \end{array}\right|$$

et l’on développe selon la dernière colonne

$$D_n=b{(a-c)}^{n-1}+(a-b)D_{n-1}\text{ avec }n\ge 2\text{.}$$

Ainsi,

$$D_n=b{(a-c)}^{n-1}+b(a-b){(a-c)}^{n-2}+\mathrm{\cdots }+b{(a-b)}^{n-2}{(a-c)}^1+{(a-b)}^{n-1}{D}_1\text{.}$$

Par sommation géométrique des premiers termes,

$$D_n=b{(a-c)}^{n-1}\frac{1-{\left(\frac{a-b}{a-c}\right)}^{n-1}}{1-\frac{a-b}{a-c}}+a{(a-b)}^{n-1}$$

puis, après simplification,

$$D_n=\frac{b{(a-c)}^n-c{(a-b)}^n}{b-c}\text{.}$$