Exercice 1 1427 Correction

Calculer en établissant une relation de récurrence

D_{n} = {| \begin{matrix} 0 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & 1 \\ 1 & \dots & 1 & 0 \end{matrix} |}_{[n]} .

Solution

Par les opérations élémentaires: $C_{1} \leftarrow C_{1} - C_{n}$ puis $L_{1} \leftarrow L_{1} - L_{n}$ on obtient

D_{n} = {| \begin{matrix} - 2 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & (1) \\ ⋮ & ⋱ \\ 0 & ⋱ \\ 1 & (1) & 0 \end{matrix} |}_{[n]} .

En développant, on parvient à la relation de récurrence

D_{n} = - 2 D_{n - 1} - D_{n - 2} .

La suite $(D_{n})$ est une suite récurrente linéaire d’ordre 2 d’équation caractéristique $r^{2} + 2 r + 1 = 0$ de racine double $- 1$ .
Sachant $D_{1} = 0$ et $D_{2} = - 1$ , on parvient à

D_{n} = {(- 1)}^{n - 1} (n - 1) .

Exercice 2 1426 Correction

Calculer en établissant une relation de récurrence

D_{n} = {| \begin{matrix} 0 & 1 & \dots & 1 \\ - 1 & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & 1 \\ - 1 & \dots & - 1 & 0 \end{matrix} |}_{[n]} .

Solution

Par les opérations élémentaires $C_{1} \leftarrow C_{1} + C_{n}$ puis $L_{1} \leftarrow L_{1} + L_{n}$ on obtient

D_{n} = {| \begin{matrix} 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 1 \\ ⋮ & - 1 & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & ⋮ & ⋱ & ⋱ & 1 \\ - 1 & - 1 & \dots & - 1 & 0 \end{matrix} |}_{[n]} .

En développant, on parvient à la relation de récurrence

D_{n} = D_{n - 2} .

Comme $D_{1} = 0$ et $D_{2} = 1$ , on a

D_{n} = \frac{1 + {(- 1)}^{n}}{2} .

Exercice 3 1428

Calculer pour tout $n \geq 1$

D_{n} = {| \begin{matrix} 1 & \dots & 1 \\ ⋮ & ⋱ & (0) \\ 1 & (0) & 1 \end{matrix} |}_{[n]} .

Exercice 4 1431 Correction

Calculer

D_{n} = {| \begin{matrix} (\binom{1}{0}) & (\binom{1}{1}) & 0 & \dots & \dots & 0 \\ (\binom{2}{0}) & (\binom{2}{1}) & (\binom{2}{2}) & 0 & ⋮ \\ (\binom{3}{0}) & (\binom{3}{1}) & (\binom{3}{2}) & (\binom{3}{3}) & ⋱ & ⋮ \\ (\binom{4}{0}) & (\binom{4}{1}) & (\binom{4}{2}) & (\binom{4}{3}) & ⋱ & 0 \\ ⋮ & ⋱ & (\binom{n - 1}{n - 1}) \\ (\binom{n}{0}) & (\binom{n}{1}) & (\binom{n}{2}) & (\binom{n}{3}) & \dots & (\binom{n}{n - 1}) \end{matrix} |}_{[n]}

en notant

(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}

le coefficient binomial « $k$ parmi $n$ ».

Solution

En retirant à chaque ligne la précédente (et en commençant par la dernière)

D_{n} = {| \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & \dots & \dots & 0 \\ 0 & (\binom{1}{0}) & (\binom{1}{1}) & 0 & ⋮ \\ ⋮ & (\binom{2}{0}) & (\binom{2}{1}) & (\binom{2}{2}) & ⋱ & ⋮ \\ ⋮ & (\binom{3}{0}) & (\binom{3}{1}) & (\binom{3}{2}) & ⋱ & 0 \\ ⋮ & ⋱ & (\binom{n - 2}{n - 2}) \\ 0 & (\binom{n - 1}{0}) & (\binom{n - 1}{1}) & (\binom{n - 1}{2}) & \dots & (\binom{n - 1}{n - 2}) \end{matrix} |}_{[n]}

en vertu de la formule du triangle de Pascal

(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k - 1}) + (\binom{n - 1}{k}) .

En développant selon la première colonne, on obtient

D_{n} = D_{n - 1} .

Ainsi,

D_{n} = D_{1} = 1 .

Exercice 5 1432 X (MP)Correction

Calculer

D_{n + 1} = {| \begin{matrix} (\binom{0}{0}) & (\binom{1}{1}) & \dots & (\binom{n}{n}) \\ (\binom{1}{0}) & (\binom{2}{1}) & \dots & (\binom{n + 1}{n}) \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ (\binom{n}{0}) & (\binom{n + 1}{1}) & \dots & (\binom{2 n}{n}) \end{matrix} |}_{[n + 1]}

en notant

(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}

le coefficient binomial « $k$ parmi $n$ ».

Solution

En retirant à chaque ligne la précédente (et en commençant par la dernière) on obtient

D_{n + 1} = {| \begin{matrix} (\binom{0}{0}) & (\binom{1}{1}) & \dots & (\binom{n}{n}) \\ 0 & (\binom{1}{0}) & \dots & (\binom{n}{n - 1}) \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & (\binom{n}{0}) & \dots & (\binom{2 n - 1}{n - 1}) \end{matrix} |}_{[n + 1]}

en vertu de la formule du triangle de Pascal

(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k - 1}) + (\binom{n - 1}{k}) .

En développant selon la première colonne

D_{n + 1} = {| \begin{matrix} (\binom{1}{0}) & \dots & (\binom{n}{n - 1}) \\ ⋮ & ⋮ \\ (\binom{n}{0}) & \dots & (\binom{2 n - 1}{n - 1}) \end{matrix} |}_{[n]} .

Via $C_{n} \leftarrow C_{n} - C_{n - 1}, \dots, C_{2} \leftarrow C_{2} - C_{1}$ et en exploitant $(\binom{p}{0}) = (\binom{p + 1}{0})$ , on obtient

D_{n + 1} = | \begin{matrix} (\binom{0}{0}) & \dots & (\binom{n - 1}{n - 1}) \\ ⋮ & ⋮ \\ (\binom{n - 1}{0}) & \dots & (\binom{2 n - 2}{n - 1}) \end{matrix} | = D_{n} .

Finalement,

D_{n} = 1 .

Exercice 6 1430

Soient $n \in ℕ^{*}$ et $a, b \in ℝ$ . Calculer

D_{n} = {| \begin{matrix} a + b & (b) \\ ⋱ \\ (a) & a + b \end{matrix} |}_{[n]} .

Exercice 7 1429 Correction

Calculer en établissant une relation de récurrence

D_{n} = {| \begin{matrix} 2 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 3 & ⋱ & ⋮ \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & 1 \\ 1 & \dots & 1 & n + 1 \end{matrix} |}_{[n]} .

On exprimera le résultat à l’aide des termes de la suite $(H_{n})$ avec

H_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} .

Solution

En décomposant la dernière colonne en somme de deux colonnes

D_{n} = | \begin{matrix} 2 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ ⋮ & ⋱ & n & 1 \\ 1 & \dots & 1 & 1 \end{matrix} | + {| \begin{matrix} 2 & (1) & 0 \\ ⋱ & ⋮ \\ n & 0 \\ (1) & n \end{matrix} |}_{[n]} .

En retranchant la dernière colonne à chacune des autres

| \begin{matrix} 2 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ ⋮ & ⋱ & n & 1 \\ 1 & \dots & 1 & 1 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 1 & (0) & 1 \\ ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ n - 1 & 1 \\ (0) & 1 \end{matrix} | = (n - 1)! .

En développant selon la dernière colonne

{| \begin{matrix} 2 & (1) & 0 \\ ⋱ & ⋮ \\ n & 0 \\ (1) & n \end{matrix} |}_{[n]} = n D_{n - 1} .

Ainsi,

D_{n} = (n - 1)! + n D_{n - 1} .

Par suite,

\frac{D_{n}}{n!} = \frac{1}{n} + \frac{D_{n - 1}}{(n - 1)!}

donc

\frac{D_{n}}{n!} = D_{0} + \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}

puis

D_{n} = (1 + H_{n}) n! .

Exercice 8 3254 Correction

Calculer le déterminant de

A_{n} = (\begin{matrix} a & (b) \\ ⋱ \\ (c) & a \end{matrix}) \in ℳ_{n} (ℂ) .

Solution

Cas: $b = c$ . C’est un calcul classique, on effectue $C_{1} \leftarrow C_{1} + \dots + C_{n}$ puis $L_{i} \leftarrow L_{i} - L_{1}$ (pour $i = 2, \dots, n$ ) pour triangulariser le déterminant et obtenir

\det (A_{n}) = (a + (n - 1) b) {(a - b)}^{n - 1} .

Cas: $b \neq c$ . Posons $D_{n} = \det (A_{n})$ . À chaque ligne on retranche la précédente

D_{n} = | \begin{matrix} a & b & \dots & b \\ c - a & a - b & (0) \\ ⋱ & ⋱ \\ (0) & c - a & a - b \end{matrix} |

et l’on développe selon la dernière colonne

D_{n} = b {(a - c)}^{n - 1} + (a - b) D_{n - 1} avec n \geq 2 .

Ainsi,

D_{n} = b {(a - c)}^{n - 1} + b (a - b) {(a - c)}^{n - 2} + \dots + b {(a - b)}^{n - 2} {(a - c)}^{1} + {(a - b)}^{n - 1} D_{1} .

Par sommation géométrique des premiers termes,

D_{n} = b {(a - c)}^{n - 1} \frac{1 - {(\frac{a - b}{a - c})}^{n - 1}}{1 - \frac{a - b}{a - c}} + a {(a - b)}^{n - 1}

puis, après simplification,

D_{n} = \frac{b {(a - c)}^{n} - c {(a - b)}^{n}}{b - c} .

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Édité le 29-08-2023

Calculs de déterminants par une relation de récurrence