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Exercice 1  1427  Correction  

Calculer en établissant une relation de récurrence

Dn=|01111110|[n].

Solution

Par les opérations élémentaires: C1C1-Cn puis L1L1-Ln on obtient

Dn=|-200100(1)01(1)0|[n].

En développant, on parvient à la relation de récurrence

Dn=-2Dn-1-Dn-2.

La suite (Dn) est une suite récurrente linéaire d’ordre 2 d’équation caractéristique r2+2r+1=0 de racine double -1.
Sachant D1=0 et D2=-1, on parvient à

Dn=(-1)n-1(n-1).
 
Exercice 2  1426  Correction  

Calculer en établissant une relation de récurrence

Dn=|011-11-1-10|[n].

Solution

Par les opérations élémentaires C1C1+Cn puis L1L1+Ln on obtient

Dn=|00010011-101-1-1-10|[n].

En développant, on parvient à la relation de récurrence

Dn=Dn-2.

Comme D1=0 et D2=1, on a

Dn=1+(-1)n2.
 
Exercice 3  1428  

Calculer pour tout n1

Dn=|11(0)1(0)1|[n].
 
Exercice 4  1431   Correction  

Calculer

Dn=|(10)(11)00(20)(21)(22)0(30)(31)(32)(33)(40)(41)(42)(43)0(n-1n-1)(n0)(n1)(n2)(n3)(nn-1)|[n]

en notant

(nk)=n!k!(n-k)!

le coefficient binomial «  k parmi n  ».

Solution

En retirant à chaque ligne la précédente (et en commençant par la dernière)

Dn=|11000(10)(11)0(20)(21)(22)(30)(31)(32)0(n-2n-2)0(n-10)(n-11)(n-12)(n-1n-2)|[n]

en vertu de la formule du triangle de Pascal

(nk)=(n-1k-1)+(n-1k).

En développant selon la première colonne, on obtient

Dn=Dn-1.

Ainsi,

Dn=D1=1.
 
Exercice 5  1432     X (MP)Correction  

Calculer

Dn+1=|(00)(11)(nn)(10)(21)(n+1n)(n0)(n+11)(2nn)|[n+1]

en notant

(nk)=n!k!(n-k)!

le coefficient binomial «  k parmi n  ».

Solution

En retirant à chaque ligne la précédente (et en commençant par la dernière) on obtient

Dn+1=|(00)(11)(nn)0(10)(nn-1)0(n0)(2n-1n-1)|[n+1]

en vertu de la formule du triangle de Pascal

(nk)=(n-1k-1)+(n-1k).

En développant selon la première colonne

Dn+1=|(10)(nn-1)(n0)(2n-1n-1)|[n].

Via CnCn-Cn-1,,C2C2-C1 et en exploitant (p0)=(p+10), on obtient

Dn+1=|(00)(n-1n-1)(n-10)(2n-2n-1)|=Dn.

Finalement,

Dn=1.
 
Exercice 6  1430   

Soient n* et a,b. Calculer

Dn=|a+b(b)(a)a+b|[n].
 
Exercice 7  1429   Correction  

Calculer en établissant une relation de récurrence

Dn=|21113111n+1|[n].

On exprimera le résultat à l’aide des termes de la suite (Hn) avec

Hn=k=1n1k.

Solution

En décomposant la dernière colonne en somme de deux colonnes

Dn=|2111n1111|+|2(1)0n0(1)n|[n].

En retranchant la dernière colonne à chacune des autres

|2111n1111|=|1(0)1n-11(0)1|=(n-1)!

En développant selon la dernière colonne

|2(1)0n0(1)n|[n]=nDn-1.

Ainsi,

Dn=(n-1)!+nDn-1.

Par suite,

Dnn!=1n+Dn-1(n-1)!

donc

Dnn!=D0+k=1n1k

puis

Dn=(1+Hn)n!
 
Exercice 8  3254    Correction  

Calculer le déterminant de

An=(a(b)(c)a)n().

Solution

Cas: b=c. C’est un calcul classique, on effectue C1C1++Cn puis LiLi-L1(pour i=2,,n) pour triangulariser le déterminant et obtenir

det(An)=(a+(n-1)b)(a-b)n-1.

Cas: bc. Posons Dn=det(An). À chaque ligne on retranche la précédente

Dn=|abbc-aa-b(0)(0)c-aa-b|

et l’on développe selon la dernière colonne

Dn=b(a-c)n-1+(a-b)Dn-1 avec n2.

Ainsi,

Dn=b(a-c)n-1+b(a-b)(a-c)n-2++b(a-b)n-2(a-c)1+(a-b)n-1D1.

Par sommation géométrique des premiers termes,

Dn=b(a-c)n-11-(a-ba-c)n-11-a-ba-c+a(a-b)n-1

puis, après simplification,

Dn=b(a-c)n-c(a-b)nb-c.

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Édité le 08-11-2019

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