Exercice 1 4464

(Formules de Cramer)

Soit $n \in ℕ^{*}$ . On considère le système d’équations linéaires

(Σ) : {\begin{matrix} a_{1,1} x_{1} & + & a_{1,2} x_{2} & + & \dots & + & a_{1, n} x_{n} & = & b_{1} \\ a_{2,1} x_{1} & + & a_{2,2} x_{2} & + & \dots & + & a_{2, n} x_{n} & = & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n,1} x_{1} & + & a_{n,2} x_{2} & + & \dots & + & a_{n, n} x_{n} & = & b_{n} \end{matrix}

d’équation matricielle $A X = B$ .

(a)

Montrer que ce système admet une unique solution si, et seulement si, $\det (A) \neq 0$ .
(b)

Montrer que sa solution $(x_{1}, \dots, x_{n})$ est alors déterminée par¹¹ 1 Au numérateur, on comprend le déterminant de la matrice obtenue à partir de $A$ en remplaçant sa $j$ -ème colonne par $B$ .

$x_{j} = \frac{| \begin{matrix} a_{1,1} & \dots & b_{1} & \dots & a_{1, n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n,1} & \dots & b_{n} & \dots & a_{n, n} \end{matrix} |}{\det (A)} pour tout j = 1, \dots, n .$

Exercice 2 1437 Correction

Soient $a, b, c et d$ des éléments de $𝕂$ . Résoudre sur $𝕂$ les systèmes suivants:

(a)

${\begin{matrix} x + y + z & = 1 \\ a x + b y + c z & = d \\ a^{2} x + b^{2} y + c^{2} z & = d^{2} \end{matrix}$ avec $a, b, c$ deux à deux distincts.
(b)

${\begin{matrix} x + y + z & = 1 \\ a x + b y + c z & = d \\ a^{3} x + b^{3} y + c^{3} z & = d^{3} \end{matrix}$ avec $a, b, c$ deux à deux distincts et $a + b + c \neq 0$ .

Solution

Exercice 3 1438 Correction

Résoudre

{\begin{matrix} x + y + z & = a \\ x + j y + j^{2} z & = b \\ x + j^{2} y + j z & = c \end{matrix}

en fonction de $a, b, c \in ℂ$ .

Solution

Le système est de Cramer via déterminant de Vandermonde.
$(1) + (2) + (3)$ donne

x = \frac{a + b + c}{3}

$(1) + j^{2} (2) + j (3)$ donne

y = \frac{a + b j^{2} + c j}{3}

et $(1) + j (2) + j^{2} (3)$ donne

z = \frac{a + b j + c j^{2}}{3} .

Exercice 4 1439 Correction

Résoudre en fonction de $a \in ℂ$ le système

{\begin{matrix} x + a y + a^{2} z & = 0 \\ \bar{a} x + y + a z & = 0 \\ {\bar{a}}^{2} x + \bar{a} y + z & = 0 . \end{matrix}

Solution

Le déterminant du système est

| \begin{matrix} 1 & a & a^{2} \\ \bar{a} & 1 & a \\ {\bar{a}}^{2} & \bar{a} & 1 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 1 & a & a^{2} \\ 0 & 1 - {| a |}^{2} & a (1 - {| a |}^{2}) \\ 0 & \bar{a} (1 - {| a |}^{2}) & 1 - {| a |}^{4} \end{matrix} | = | \begin{matrix} 1 & a & a^{2} \\ 0 & 1 - {| a |}^{2} & a (1 - {| a |}^{2}) \\ 0 & 0 & 1 - {| a |}^{2} \end{matrix} | .

Si $| a | \neq 1$ alors est le système est de Cramer et homogène

𝒮 = {(0,0,0)} .

Si $| a | = 1$ alors le système équivaut à une seule équation

x + a y + a^{2} z = 0

car les deux autres lui sont proportionnelles. On en déduit

𝒮 = {(- a y - a^{2} z, y, z) | y, z \in ℂ} .

Exercice 5 1440 Correction

Soient $a, b, c \in ℂ$ distincts.

(a)

Résoudre

${\begin{matrix} x + a y + a^{2} z & = a^{3} \\ x + b y + b^{2} z & = b^{3} \\ x + c y + c^{2} z & = c^{3} \end{matrix}$

en introduisant le polynôme $P = X^{3} - (x + y X + z X^{2})$ .
(b)

Même question pour

${\begin{matrix} x + a y + a^{2} z & = a^{4} \\ x + b y + b^{2} z & = b^{4} \\ x + c y + c^{2} z & = c^{4} . \end{matrix}$

Solution

Les deux systèmes proposés sont de Cramer via déterminant de Vandermonde.

Édité le 29-08-2023

Systèmes de Cramer