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Exercice 1  4464  

(Formules de Cramer)

Soit n*. On considère le système d’équations linéaires

(Σ):{a1,1x1+a1,2x2++a1,nxn=b1a2,1x1+a2,2x2++a2,nxn=b2an,1x1+an,2x2++an,nxn=bn

d’équation matricielle AX=B.

  • (a)

    Montrer que ce système admet une unique solution si, et seulement si, det(A)0.

  • (b)

    Montrer que sa solution (x1,,xn) est alors déterminée par11 1 Au numérateur, on comprend le déterminant de la matrice obtenue à partir de A en remplaçant sa j-ème colonne par B.

    xj=|a1,1b1a1,nan,1bnan,n|det(A)pour tout j=1,,n.
 
Exercice 2  1437  Correction  

Soient a,b,c et d des éléments de 𝕂. Résoudre sur 𝕂 les systèmes suivants:

  • (a)

    {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2 avec a,b,c deux à deux distincts.

  • (b)

    {x+y+z=1ax+by+cz=da3x+b3y+c3z=d3 avec a,b,c deux à deux distincts et a+b+c0.

Solution

  • (a)

    On a

    |111abca2b2c2|=(b-a)(c-a)(c-b)0.

    Par les formules de Cramer,

    {x=(b-d)(c-d)(c-b)(b-a)(c-a)(c-b)y=(d-a)(c-a)(c-d)(b-a)(c-a)(c-b)z=(b-a)(d-a)(d-b)(b-a)(c-a)(c-b).
  • (b)

    On a

    |111abca3b3c3|=(b-a)(c-a)(c-b)(a+b+c)0.

    Par les formules de Cramer,

    x=(b-d)(c-d)(c-b)(d+b+c)(b-a)(c-a)(c-b)(a+b+c)

    et l’on exprime y et z par des relations symétriques.

 
Exercice 3  1438  Correction  

Résoudre

{x+y+z=ax+jy+j2z=bx+j2y+jz=c

en fonction de a,b,c.

Solution

Le système est de Cramer via déterminant de Vandermonde.
(1)+(2)+(3) donne

x=a+b+c3

(1)+j2(2)+j(3) donne

y=a+bj2+cj3

et (1)+j(2)+j2(3) donne

z=a+bj+cj23.
 
Exercice 4  1439   Correction  

Résoudre en fonction de a le système

{x+ay+a2z=0a¯x+y+az=0a¯2x+a¯y+z=0.

Solution

Le déterminant du système est

|1aa2a¯1aa¯2a¯1|=|1aa201-|a|2a(1-|a|2)0a¯(1-|a|2)1-|a|4|=|1aa201-|a|2a(1-|a|2)001-|a|2|.

Si |a|1 alors est le système est de Cramer et homogène

𝒮={(0,0,0)}.

Si |a|=1 alors le système équivaut à une seule équation

x+ay+a2z=0

car les deux autres lui sont proportionnelles. On en déduit

𝒮={(-ay-a2z,y,z)|y,z}.
 
Exercice 5  1440   Correction  

Soient a,b,c distincts.

  • (a)

    Résoudre

    {x+ay+a2z=a3x+by+b2z=b3x+cy+c2z=c3

    en introduisant le polynôme P=X3-(x+yX+zX2).

  • (b)

    Même question pour

    {x+ay+a2z=a4x+by+b2z=b4x+cy+c2z=c4.

Solution

Les deux systèmes proposés sont de Cramer via déterminant de Vandermonde.

  • (a)

    Si x,y,z est sa solution alors P(a)=P(b)=P(c)=0 et donc

    P=(X-a)(X-b)(X-c).

    On en déduit

    x=abc,y=-(ab+bc+ca)etz=a+b+c.
  • (b)

    Introduisons

    P=X4-(x+yX+zX2).

    Si x,y,z est solution alors P(a)=P(b)=P(c)=0 et donc

    P=(X-a)(X-b)(X-c)(X-d).

    Puisque le coefficient de X3 dans P est nul, la somme des racines de P est nulle et donc

    a+b+c+d=0

    puis

    P=(X-a)(X-b)(X-c)(X+(a+b+c)).

    En développant, on obtient

    x=σ3σ1,y=σ3-σ1σ2etz=σ12-σ2

    avec σ1,σ2,σ3 les expressions symétriques élémentaires en a,b,c.

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Édité le 08-11-2019

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