Exercice 1 5172

Montrer qu’une matrice antisymétrique de taille impaire n’est pas inversible.

Exercice 2 1414 Correction

Soit $A = (a_{i, j}) \in ℳ_{n} (ℂ)$ . On note $\bar{A} = ({\bar{a}}_{i, j}) \in ℳ_{n} (ℂ)$ .
Former une relation liant $\det (A)$ et $\det (\bar{A})$ .

Solution

Par conjugaison d’une somme et de produits

\det (\bar{A}) = \sum_{σ \in 𝒮_{n}} ε (σ) \prod_{i = 1}^{n} \bar{a_{σ (i), i}} = \bar{\sum_{σ \in 𝒮_{n}} ε (σ) \prod_{i = 1}^{n} a_{σ (i), i}} = \bar{\det (A)} .

Exercice 3 1415 Correction

Soit $A \in ℳ_{n} (ℂ)$ telle que $A^{⊤} = \bar{A}$ . Montrer que $\det (A) \in ℝ$ .

Solution

Ici $A^{⊤} = \bar{A}$ , donc $\det (A) = \det (A^{⊤}) = \det (\bar{A})$ .
Comme

\det (\bar{A}) = \sum_{σ \in 𝒮_{n}} ε (σ) \prod_{i = 1}^{n} \bar{a_{σ (i), i}} = \bar{\sum_{σ \in 𝒮_{n}} ε (σ) \prod_{i = 1}^{n} a_{σ (i), i}} = \bar{\det (A)}

on peut conclure $\det (A) \in ℝ$ .

Exercice 4 1417 Correction

Comparer $\det (a_{i, j})$ et $\det ({(- 1)}^{i + j} a_{i, j})$ où ${(a_{i, j})}_{1 \leq i, j \leq n} \in ℳ_{n} (𝕂)$ .

Solution

Notons $A = (a_{i, j})$ et $B = ({(- 1)}^{i + j} a_{i, j})$ . On a

\det (B) = \sum_{σ \in 𝒮_{n}} ε (σ) \prod_{i = 1}^{n} {(- 1)}^{σ (i) + i} a_{σ (i), i}

en regroupant les puissance de $(- 1)$

\det (B) = \sum_{σ \in 𝒮_{n}} ε (σ) {(- 1)}^{\sum_{i = 1}^{n} σ (i) + i} \prod_{i = 1}^{n} a_{σ (i), i}

puis

\det (B) = \sum_{σ \in 𝒮_{n}} ε (σ) {(- 1)}^{n (n + 1)} \prod_{i = 1}^{n} a_{σ (i), i} .

Ainsi,

\det (B) = {(- 1)}^{n (n + 1)} \det (A) = \det (A)

car $n (n + 1)$ est pair.

Exercice 5 738 Correction

Soit $A \in ℳ_{n} (𝕂)$ de colonnes $C_{1}, \dots, C_{n}$ (avec $n \geq 2$ ).

Calculer le déterminant de la matrice $B$ de colonnes

C_{1} - C_{2}, \dots, C_{n - 1} - C_{n}, C_{n} - C_{1} .

Solution

La somme des colonnes de $B$ est nulle donc $\det (B) = 0$ .

Exercice 6 2604 Correction

Soient $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ (avec $n \geq 2$ ) de colonnes $A_{1}, \dots, A_{n}$ et $B \in ℳ_{n} (ℝ)$ de colonnes $B_{1}, \dots, B_{n}$ déterminées par

B_{j} = \sum_{i \neq j} A_{i} .

Exprimer $\det (B)$ en fonction de $\det (A)$ .

Solution

On note $ℬ$ la base canonique de l’espace des colonnes,

\det (A) = \det_{ℬ} (A_{1}, \dots, A_{n})

\det (B) = \det_{ℬ} (B_{1}, \dots, B_{n}) = \det_{ℬ} (\sum_{i = 1}^{n} B_{i}, B_{2}, \dots, B_{n})

avec

\sum_{i = 1}^{n} B_{i} = (n - 1) \sum_{i = 1}^{n} A_{i} .

Par suite,

\det (B) = (n - 1) \det_{ℬ} (\sum_{i = 1}^{n} A_{i}, B_{2} - \sum_{i = 1}^{n} A_{i}, \dots, B_{n} - \sum_{i = 1}^{n} A_{i}) .

Ce qui donne

\det (B) = (n - 1) \det_{ℬ} (\sum_{i = 1}^{n} A_{i}, - A_{2}, \dots, - A_{n}) = {(- 1)}^{n - 1} (n - 1) \det (A_{1}, \dots, A_{n}) .

Finalement,

\det (B) = {(- 1)}^{n - 1} (n - 1) \det (A) .

Exercice 7 4970 MINES (PC)

Soit $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ . Montrer $\det (A^{2} + I_{n}) \geq 0$ .

Exercice 8 2355

Soient $A, B \in ℳ_{n} (ℝ)$ telles que $A B = B A$ . Établir

\det (A^{2} + B^{2}) \geq 0 .

Exercice 9 1587 Correction

Soient $A \in ℳ_{2 n} (ℝ)$ antisymétrique et $J \in ℳ_{2 n} (ℝ)$ la matrice dont tous les coefficients sont égaux à $1$ . Établir

\forall x \in ℝ, \det (A + x J) = \det (A) .

Solution

En retranchant la première ligne aux autres lignes, le déterminant de la matrice $A + x J$ apparaît comme le déterminant d’une matrice où figure des $x$ seulement sur la première ligne. En développant selon cette ligne, on obtient que $\det (A + x J)$ est une fonction affine de la variable $x$ .

De plus,

\det (A - x J) = \det (- A^{⊤} - x J) = {(- 1)}^{2 n} \det (A^{⊤} + x J)

et puisque la matrice $J$ est symétrique

\det (A - x J) = \det (A^{⊤} + x J^{⊤}) = \det (A + x J) .

La fonction affine $x \mapsto \det (A - x J)$ est donc une fonction paire et, par conséquent, c’est une fonction constante. On a alors

\forall x \in ℝ, \det (A + x J) = \det (A + 0 \cdot J) = \det (A) .

Exercice 10 3808 CCINP (PSI)

Soit $n \in ℕ^{*}$ .

(a)

Soit $M \in ℳ_{n} (ℝ)$ vérifiant:

$\det (M + X) = \det (X) pour tout X \in ℳ_{n} (ℝ) .$

Déterminer $M$ .
(b)

Soient $A$ et $B$ de $ℳ_{n} (ℝ)$ vérifiant

$\det (A + X) = \det (B + X) pour tout X \in ℳ_{n} (ℝ) .$

Montrer que les matrices $A$ et $B$ sont égales.

Exercice 11 4967

Soient $A$ et $H$ deux matrices de $ℳ_{n} (ℝ)$ avec $rg (H) = 1$ .

(a)

Montrer l’existence d’une colonne $C \in ℳ_{n,1} (ℝ)$ et d’une ligne $L \in ℳ_{1, n} (ℝ)$ telles que $H = C L$ .
(b)

Montrer

$\det (A + H) \det (A - H) \leq \det (A^{2}) .$

Exercice 12 5838 Correction

Soient $X, Y \in ℳ_{n, 1} (ℝ)$ .

Exprimer le déterminant de $M = I_{n} + Y X^{⊤}$ en fonction du réel $X^{⊤} Y$ .

Solution

Introduisons $E_{1}, \dots, E_{n}$ les colonnes élémentaires de $ℳ_{n, 1} (ℝ)$ . Celles-ci correspondent aux colonnes de la matrice $I_{n}$ . Ainsi, on dispose de la description par blocs $I_{n} = (E_{1} ∣ \dots ∣ E_{n})$ .

Notons $x_{1}, \dots, x_{n}$ les coefficients de la colonne $X$ . La matrice $Y X^{⊤}$ a pour colonnes $x_{1} Y, \dots, x_{n} Y$ ce que l’on écrit $Y X^{⊤} = (x_{1} Y ∣ \dots ∣ x_{n} Y)$ . Par conséquent, la matrice $M$ peut s’écrire

M = (E_{1} + x_{1} Y ∣ \dots ∣ E_{n} + x_{n} Y) .

Le déterminant d’une matrice est une forme multilinéaire alternée en la famille des colonnes de cette matrice. En développant le calcul de $\det (M)$ par multilinéarité et en simplifiant les déterminants des matrices où apparaissent deux fois la colonne $Y$ ,

\det (M) = \det (E_{1} ∣ \dots ∣ E_{n}) + \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \det (E_{1} ∣ \dots ∣ Y ∣ \dots ∣ E_{n})

(la colonne $Y$ se positionne à l’indice $i$ ).

On introduit les coefficients $y_{1}, \dots, y_{n}$ de la colonne $Y$ de sorte que $Y = \sum_{j = 1}^{n} y_{j} E_{j}$ . Par linéarité en la $i$ -ème colonne

\det (E_{1} ∣ \dots ∣ Y ∣ \dots ∣ E_{n}) = \sum_{j = 1}^{n} x_{j} \det (E_{1} ∣ \dots ∣ E_{j} ∣ \dots ∣ E_{n})

(la colonne $E_{j}$ se positionne à l’indice $i$ ).

Pour $i \neq j$ , $\det (E_{1} ∣ \dots ∣ E_{j} ∣ \dots ∣ E_{n}) = 0$ car la colonne $E_{j}$ apparaît deux fois.

Pour $i = j$ , $\det (E_{1} ∣ \dots ∣ E_{j} ∣ \dots ∣ E_{n}) = \det (I_{n}) = 1$ .

Par conséquent,

\det (M) = 1 + \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} = 1 + X^{⊤} Y .

Exercice 13 4457

Soit $A = (a_{i, j}) \in ℳ_{n} (ℝ)$ vérifiant

{\begin{matrix} | a_{1,1} | & + & \dots & + & | a_{1, n} | & \leq & 1 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ | a_{n,1} | & + & \dots & + & | a_{n, n} | & \leq & 1 . \end{matrix}

Montrer $| \det (A) | \leq 1$ .

Exercice 14 3278 Correction

Soit $A = (a_{i, j}) \in ℳ_{n} (ℝ)$ vérifiant

\forall (i, j) \in {1, \dots, n}^{2}, a_{i, j} \geq 0 et \forall i \in {1, \dots, n}, \sum_{j = 1}^{n} a_{i, j} \leq 1 .

Montrer

| \det (A) | \leq 1 .

Solution

Raisonnons par récurrence sur $n \in ℕ^{*}$ .
La propriété est immédiate pour $n = 1$ .
Supposons la propriété vérifiée pour $n \geq 1$ .
Soit $A = (a_{i, j}) \in ℳ_{n + 1} (ℝ)$ vérifiant les propriétés énoncées. En développant le déterminant de $A$ selon la première ligne, on obtient

\det (A) = \sum_{j = 1}^{n + 1} {(- 1)}^{1 + j} a_{1, j} Δ_{1, j}

avec $Δ_{1, j}$ mineur d’indice $(1, j)$ de la matrice $A$ .
Puisque la matrice définissant le mineur $Δ_{1, j}$ est à coefficients positifs et que la somme des coefficients de chaque ligne est inférieure à 1, on peut lui appliquer l’hypothèse de récurrence et affirmer $| Δ_{1, j} | \leq 1$ .
On en déduit

| \det (A) | \leq \sum_{j = 1}^{n + 1} a_{1, j} \leq 1 .

Récurrence établie.

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Édité le 29-08-2023

Déterminant d'une matrice carrée