[<] Déterminant d'une famille de vecteurs [>] Calculs de déterminants élémentaires

 
Exercice 1  5172  

Montrer qu’une matrice antisymétrique de taille impaire n’est pas inversible.

 
Exercice 2  1414  Correction  

Soit A=(ai,j)n(). On note A¯=(a¯i,j)n().
Former une relation liant det(A) et det(A¯).

Solution

Par conjugaison d’une somme et de produits

det(A¯)=σ𝒮nε(σ)i=1naσ(i),i¯=σ𝒮nε(σ)i=1naσ(i),i¯=det(A)¯.
 
Exercice 3  1415  Correction  

Soit An() telle que At=A¯. Montrer que det(A).

Solution

Ici At=A¯, donc det(A)=det(At)=det(A¯).
Comme

det(A¯)=σ𝒮nε(σ)i=1naσ(i),i¯=σ𝒮nε(σ)i=1naσ(i),i¯=det(A)¯

on peut conclure det(A).

 
Exercice 4  1417  Correction  

Comparer det(ai,j) et det((-1)i+jai,j)(ai,j)1i,jnn(𝕂).

Solution

Notons A=(ai,j) et B=((-1)i+jai,j). On a

det(B)=σ𝒮nε(σ)i=1n(-1)σ(i)+iaσ(i),i

en regroupant les puissance de (-1)

det(B)=σ𝒮nε(σ)(-1)i=1nσ(i)+ii=1naσ(i),i

puis

det(B)=σ𝒮nε(σ)(-1)n(n+1)i=1naσ(i),i.

Ainsi,

det(B)=(-1)n(n+1)det(A)=det(A)

car n(n+1) est pair.

 
Exercice 5  738  Correction  

Soit An(𝕂) de colonnes C1,,Cn (avec n2).

Calculer le déterminant de la matrice B de colonnes

C1-C2,,Cn-1-Cn,Cn-C1.

Solution

La somme des colonnes de B est nulle donc det(B)=0.

 
Exercice 6  2604   Correction  

Soient An() (avec n2) de colonnes A1,,An et Bn() de colonnes B1,,Bn déterminées par

Bj=ijAi.

Exprimer det(B) en fonction de det(A).

Solution

On note la base canonique de l’espace des colonnes,

det(A)=det(A1,,An)

et

det(B)=det(B1,,Bn)=det(i=1nBi,B2,,Bn)

avec

i=1nBi=(n-1)i=1nAi.

Par suite,

det(B)=(n-1)det(i=1nAi,B2-i=1nAi,,Bn-i=1nAi).

Ce qui donne

det(B)=(n-1)det(i=1nAi,-A2,,-An)=(-1)n-1(n-1)det(A1,,An).

Finalement,

det(B)=(-1)n-1(n-1)det(A).
 
Exercice 7  4970    MINES (PC)

Soit An(). Montrer det(A2+In)0.

 
Exercice 8  2355   

Soient A,Bn() telles que AB=BA. Établir

det(A2+B2)0.
 
Exercice 9  1587   Correction  

Soient A2n() antisymétrique et J2n() la matrice dont tous les coefficients sont égaux à 1. Établir

x,det(A+xJ)=det(A).

Solution

En retranchant la première ligne aux autres lignes, le déterminant de la matrice A+xJ apparaît comme le déterminant d’une matrice où figure des x seulement sur la première ligne. En développant selon cette ligne, on obtient que det(A+xJ) est une fonction affine de la variable x.
De plus,

det(A-xJ)=det(-At-xJ)=(-1)2ndet(At+xJ)

et puisque la matrice J est symétrique

det(A-xJ)=det(At+xJt)=det(A+xJ).

La fonction affine xdet(A-xJ) est donc une fonction paire et par conséquent c’est une fonction constante. On a alors

x,det(A+xJ)=det(A+0.J)=det(A).
 
Exercice 10  3808     CCP (PSI)
  • (a)

    Soit Mn() vérifiant:

    det(M+X)=det(X)pour tout Xn().

    Déterminer M.

  • (b)

    Soient A et B de n() vérifiant

    det(A+X)=det(B+X)pour tout Xn().

    Montrer que les matrices A et B sont égales.

 
Exercice 11  4967   

Soient A et H deux matrices de n() avec rg(H)=1.

  • (a)

    Montrer l’existence d’une colonne Cn,1() et d’une ligne L1,n() telles que H=CL.

  • (b)

    Montrer

    det(A+H)det(A-H)det(A2).
 
Exercice 12  4457   

Soit A=(ai,j)n() vérifiant

{|a1,1|++|a1,n|1|an,1|++|an,n|1.

Montrer |det(A)|1.

 
Exercice 13  3278   Correction  

Soit A=(ai,j)n() vérifiant

(i,j){1,,n}2,ai,j0eti{1,,n},j=1nai,j1.

Montrer

|det(A)|1.

Solution

Raisonnons par récurrence sur n*.
La propriété est immédiate pour n=1.
Supposons la propriété vérifiée pour n1.
Soit A=(ai,j)n+1() vérifiant les propriétés énoncées. En développant le déterminant de A selon la première ligne, on obtient

det(A)=j=1n+1(-1)1+ja1,jΔ1,j

avec Δ1,j mineur d’indice (1,j) de la matrice A.
Puisque la matrice définissant le mineur Δ1,j est à coefficients positifs et que la somme des coefficients de chaque ligne est inférieure à 1, on peut lui appliquer l’hypothèse de récurrence et affirmer |Δ1,j|1.
On en déduit

|det(A)|j=1n+1a1,j1.

Récurrence établie.

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Édité le 08-11-2019

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