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Exercice 1  1445  Correction  

Soient α et

M=(1α00αα01)n().
  • (a)

    Calculer det(M).

  • (b)

    Déterminer, en fonction de α le rang de M.

Solution

  • (a)

    En écrivant la première colonne comme somme de deux colonnes on obtient

    det(M)=1-(-1)nαn.
  • (b)

    Si det(M)0 alors M est inversible et rg(M)=n.
    Si det(M)=0 alors M n’est pas inversible donc rg(M)<n.
    Or M possède une matrice extraite de rang n-1 donc rg(M)=n-1.

    Finalement,

    rg(M)={n-1 si -α𝕌nn sinon.
 
Exercice 2  1446   

Soient a,b𝕂. Calculer le rang de la matrice

M(a,b)=(a(b)(b)a)n(𝕂).

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Édité le 08-11-2019

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