Exercice 1 1445 Correction

Soient $α \in ℂ$ et

M = (\begin{matrix} 1 & α & 0 \\ ⋱ & ⋱ \\ 0 & ⋱ & α \\ α & 0 & 1 \end{matrix}) \in ℳ_{n} (ℂ) .

Solution

(a)

En écrivant la première colonne comme somme de deux colonnes on obtient

$\det (M) = 1 - {(- 1)}^{n} α^{n} .$
(b)

Si $\det (M) \neq 0$ alors $M$ est inversible et $rg (M) = n$ .
Si $\det (M) = 0$ alors $M$ n’est pas inversible donc $rg (M) < n$ .
Or $M$ possède une matrice extraite de rang $n - 1$ donc $rg (M) = n - 1$ .

Finalement,

$rg (M) = {\begin{matrix} n - 1 & si - α \in 𝕌_{n} \\ n & sinon. \end{matrix}$

Exercice 2 1446

Soient $a, b \in 𝕂$ . Calculer le rang de la matrice

M (a, b) = (\begin{matrix} a & (b) \\ ⋱ \\ (b) & a \end{matrix}) \in ℳ_{n} (𝕂) .

Édité le 29-08-2023

Applications au calcul de rang