Exercice 1 3944 Correction

Soit $S \in 𝒮_{n} (ℝ)$ . Montrer que la comatrice de $S$ est symétrique.

Solution

Le coefficient d’indice $(i, j)$ de la comatrice de $S$ est

{(- 1)}^{i + j} Δ_{i, j}

avec $Δ_{i, j}$ le mineur d’indice $(i, j)$ de la matrice $S$ c’est-à-dire le déterminant de la matrice obtenue en supprimant la $i$ -ème ligne et la $j$ -ème colonne de $S$ . Or le déterminant d’une matrice est aussi celui de sa transposée et puisque la matrice $S$ est symétrique, le mineur d’indice $(i, j)$ est égal à celui d’indice $(j, i)$ . On en déduit que la comatrice de $S$ est symétrique.

Exercice 2 5175

(Comatrice)

On suppose $n \geq 2$ .

On appelle comatrice de $A = (a_{i, j}) \in ℳ_{n} (𝕂)$ , la matrice $Com (A) \in ℳ_{n} (𝕂)$ dont le coefficient d’indice $(i, j)$ est ${(- 1)}^{i + j} Δ_{i, j}$ avec $Δ_{i, j}$ le déterminant de la matrice obtenue en supprimant la ligne d’indice $i$ et la colonne d’indice $j$ de $A$ .

(a)

Montrer ${(Com (A))}^{⊤} A = \det (A) I_{n}$ .
(b)

Application : On suppose que $A$ est une matrice à coefficients entiers. Montrer que $A$ est inversible d’inverse à coefficients entiers si, et seulement si, $| \det (A) | = 1$ .

Exercice 3 3142 Correction

Soient $A, B \in ℳ_{n} (ℂ)$ .
On suppose que les matrices $A$ et $B$ commutent. Montrer que les comatrices de $A$ et $B$ commutent.

Solution

Cas: $A$ et $B$ inversibles. Puisque $A$ et $B$ commutent, leurs inverses commutent aussi
On en déduit

\frac{1}{\det (A)} {(Com (A))}^{⊤} \frac{1}{\det (B)} {(Com (B))}^{⊤} = \frac{1}{\det (B)} {(Com (B))}^{⊤} \frac{1}{\det (A)} {(Com (A))}^{⊤} .

En simplifiant et en transposant, on obtient

Com (A) Com (B) = Com (B) Com (A) .

Cas général: Pour $p$ assez grand, les matrices

A + \frac{1}{p} I_{n} et B + \frac{1}{p} I_{n}

sont inversibles et commutent donc

Com (A + \frac{1}{p} I_{n}) Com (B + \frac{1}{p} I_{n}) = Com (B + \frac{1}{p} I_{n}) Com (A + \frac{1}{p} I_{n}) .

En passant à la limite quand $p \to + \infty$ , on obtient

Com (A) Com (B) = Com (B) Com (A) .

Exercice 4 3260

Soit $n \in ℕ$ avec $n \geq 2$ . Résoudre l’équation¹¹ 1 $Com (A)$ désigne la comatrice de $A \in ℳ_{n} (𝕂)$ , c’est-à-dire la matrice des cofacteurs de $A$ . $Com (M) = M$ d’inconnue $M \in ℳ_{n} (ℝ)$ .

Exercice 5 4465

Soient $n$ un entier supérieur à 2 et $A \in ℳ_{n} (𝕂)$ .

(a)

Calculer le rang de la comatrice de $A$ en fonction de celui de $A$ .
(b)

Déterminer $Com (Com (A))$ .

Exercice 6 3576 CCINP (MP)Correction

(a)

Donner le rang de $B = {(Com (A))}^{⊤}$ en fonction de celui de $A \in ℳ_{n} (𝕂)$
(b)

On se place dans le cas où $rg (A) = n - 1$ .
Soit $C \in ℳ_{n} (𝕂)$ telle que

$A C = C A = O_{n} .$

Montrer qu’il existe $λ \in 𝕂$ tel que

$C = λ B .$

Solution

(a)

On sait $A B = B A = \det (A) I_{n}$ .

Cas: $rg (A) = n$ . La matrice $A$ est inversible donc $B$ aussi et $rg (B) = n$ .

Cas: $rg (A) = n - 1$ . Par la formule du rang, $dim Ker (A) = 1$ et puisque $A B = O_{n}$ , $Im (B) \subset Ker (A)$ puis $rg (B) \leq 1$ . De plus, la matrice $A$ étant de rang exactement $n - 1$ , elle possède un mineur d’ordre $n - 1$ non nul et donc $B \neq O_{n}$ .

Finalement, $rg (B) = 1$ .

Cas: $rg (A) \leq n - 2$ . Tous les mineurs d’ordre $n - 1$ de $A$ sont nuls et donc $B = O_{n}$ puis $rg (B) = 0$ .
(b)

Puisque $rg (A) = n - 1$ , $dim Ker (A) = 1$ et $dim Ker (A^{⊤}) = 1$ .
Il existe donc deux colonnes $X$ et $Y$ non nulles telles que

$Ker (A) = Vect (X) et Ker (A^{⊤}) = Vect (Y) .$

Soit $M \in ℳ_{n} (𝕂)$ vérifiant $A M = M A = O_{n}$ .
Puisque $A M = O_{n}$ , $Im (M) \subset Ker (A) = Vect (X)$ et donc on peut écrire par blocs

$M = (\begin{matrix} λ_{1} & ∣ \dots ∣ & λ_{n} X \end{matrix}) = X L$

avec $L = (\begin{matrix} λ_{1} & \dots & λ_{n} \end{matrix})$ .
La relation $M A = O_{n}$ donne alors $X L A = O_{n}$ et puisque $X \neq 0$ , on obtient $L A = 0$ puis $A^{⊤} L^{⊤} = 0$ . Ceci permet alors d’écrire $L$ sous la forme $L = λ Y^{⊤}$ puis $M$ sous la forme

$M = λ X Y^{⊤} .$

Inversement, une telle matrice vérifie $A M = M A = O_{n}$ et donc

${M \in ℳ_{n} (𝕂) | A M = M A = O_{n}} = Vect (X Y^{⊤}) .$

Cet espace de solution étant une droite et la matrice $B$ étant un élément non nul de celle-ci, il est dès lors immédiat d’affirmer que toute matrice $C \in ℳ_{n} (𝕂)$ vérifiant $A C = C A = O_{n}$ est nécessairement colinéaire à $B$ .

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Édité le 29-08-2023