[<] Systèmes de Cramer [>] Déterminants à coefficients entiers

 
Exercice 1  3944  Correction  

Soit S𝒮n(). Montrer que la comatrice de S est symétrique.

Solution

Le coefficient d’indice (i,j) de la comatrice de S est

(-1)i+jΔi,j

avec Δi,j le mineur d’indice (i,j) de la matrice S c’est-à-dire le déterminant de la matrice obtenue en supprimant la i-ème ligne et la j-ème colonne de S. Or le déterminant d’une matrice est aussi celui de sa transposée et puisque la matrice S est symétrique, le mineur d’indice (i,j) est égal à celui d’indice (j,i). On en déduit que la comatrice de S est symétrique.

 
Exercice 2  5175   

(Comatrice)

On suppose n2.

On appelle comatrice de A=(ai,j)n(𝕂), la matrice Com(A)n(𝕂) dont le coefficient d’indice (i,j) est (-1)i+jΔi,j avec Δi,j le déterminant de la matrice obtenue en supprimant la ligne d’indice i et la colonne d’indice j de A.

  • (a)

    Montrer (Com(A))tA=det(A)In.

  • (b)

    Application: On suppose que A est une matrice à coefficients entiers. Montrer que A est inversible d’inverse à coefficients entiers si, et seulement si, |det(A)|=1.

 
Exercice 3  3142    Correction  

Soient A,Bn().
On suppose que les matrices A et B commutent. Montrer que les comatrices de A et B commutent.

Solution

Cas: A et B inversibles. Puisque A et B commutent, leurs inverses commutent aussi
On en déduit

1det(A)(Com(A))t1det(B)(Com(B))t=1det(B)(Com(B))t1det(A)(Com(A))t.

En simplifiant et en transposant, on obtient

Com(A)Com(B)=Com(B)Com(A).

Cas général: Pour p assez grand, les matrices

A+1pIn et B+1pIn

sont inversibles et commutent donc

Com(A+1pIn)Com(B+1pIn)=Com(B+1pIn)Com(A+1pIn).

En passant à la limite quand p+, on obtient

Com(A)Com(B)=Com(B)Com(A).
 
Exercice 4  3260    

Soit n avec n2. Résoudre l’équation11 1 Com(A) désigne la comatrice de An(𝕂), c’est-à-dire la matrice des cofacteurs de A. Com(M)=M d’inconnue Mn().

 
Exercice 5  4465    

Soient n un entier supérieur à 2 et An(𝕂).

  • (a)

    Calculer le rang de la comatrice de A en fonction de celui de A.

  • (b)

    Déterminer Com(Com(A)).

 
Exercice 6  3576      CCP (MP)Correction  
  • (a)

    Donner le rang de B=(Com(A))t en fonction de celui de An(𝕂)

  • (b)

    On se place dans le cas où rg(A)=n-1.
    Soit Cn(𝕂) telle que

    AC=CA=On.

    Montrer qu’il existe λ𝕂 tel que

    C=λB.

Solution

  • (a)

    On sait AB=BA=det(A)In.

    Cas: rg(A)=n. La matrice A est inversible donc B aussi et rg(B)=n.

    Cas: rg(A)=n-1. Par la formule du rang, dimKer(A)=1 et puisque AB=On, Im(B)Ker(A) puis rg(B)1. De plus, la matrice A étant de rang exactement n-1, elle possède un mineur non nul et donc BOn.

    Finalement, rg(B)=1.

    Cas: rg(A)n-2. Tous les mineurs de A sont nuls et donc B=On puis rg(B)=0.

  • (b)

    Puisque rg(A)=n-1, dimKer(A)=1 et dimKer(At)=1.
    Il existe donc deux colonnes X et Y non nulles telles que

    Ker(A)=Vect(X)etKer(At)=Vect(Y).

    Soit Mn(𝕂) vérifiant AM=MA=On.
    Puisque AM=On, Im(M)Ker(A)=Vect(X) et donc on peut écrire par blocs

    M=(λ1λnX)=XL

    avec L=(λ1λn).
    La relation MA=On donne alors XLA=On et puisque X0, on obtient LA=0 puis AtLt=0. Ceci permet alors d’écrire L sous la forme L=λYt puis M sous la forme

    M=λXYt.

    Inversement, une telle matrice vérifie AM=MA=On et donc

    {Mn(𝕂)|AM=MA=On}=Vect(XYt).

    Cet espace de solution étant une droite et la matrice B étant un élément non nul de celle-ci, il est dès lors immédiat d’affirmer que toute matrice Cn(𝕂) vérifiant AC=CA=On est nécessairement colinéaire à B.

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Édité le 08-11-2019

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