[<] Systèmes de Cramer [>] Déterminants à coefficients entiers
Soit . Montrer que la comatrice de est symétrique.
Solution
Le coefficient d’indice de la comatrice de est
avec le mineur d’indice de la matrice c’est-à-dire le déterminant de la matrice obtenue en supprimant la -ème ligne et la -ème colonne de . Or le déterminant d’une matrice est aussi celui de sa transposée et puisque la matrice est symétrique, le mineur d’indice est égal à celui d’indice . On en déduit que la comatrice de est symétrique.
(Comatrice)
On suppose .
On appelle comatrice de , la matrice dont le coefficient d’indice est avec le déterminant de la matrice obtenue en supprimant la ligne d’indice et la colonne d’indice de .
Montrer .
Application : On suppose que est une matrice à coefficients entiers. Montrer que est inversible d’inverse à coefficients entiers si, et seulement si, .
Soient .
On suppose que les matrices et commutent. Montrer que les comatrices de et commutent.
Solution
Cas: et inversibles.
Puisque et commutent, leurs inverses commutent aussi
On en déduit
En simplifiant et en transposant, on obtient
Cas général: Pour assez grand, les matrices
sont inversibles et commutent donc
En passant à la limite quand , on obtient
Soit avec . Résoudre l’équation11 1 désigne la comatrice de , c’est-à-dire la matrice des cofacteurs de . d’inconnue .
Soient un entier supérieur à 2 et .
Calculer le rang de la comatrice de en fonction de celui de .
Déterminer .
Donner le rang de en fonction de celui de
On se place dans le cas où .
Soit telle que
Montrer qu’il existe tel que
Solution
On sait .
Cas: . La matrice est inversible donc aussi et .
Cas: . Par la formule du rang, et puisque , puis . De plus, la matrice étant de rang exactement , elle possède un mineur d’ordre non nul et donc .
Finalement, .
Cas: . Tous les mineurs d’ordre de sont nuls et donc puis .
Puisque , et .
Il existe donc deux colonnes et non nulles telles que
Soit vérifiant .
Puisque , et donc on peut écrire par blocs
avec .
La relation donne alors et puisque , on obtient puis . Ceci permet alors d’écrire sous la forme puis sous la forme
Inversement, une telle matrice vérifie et donc
Cet espace de solution étant une droite et la matrice étant un élément non nul de celle-ci, il est dès lors immédiat d’affirmer que toute matrice vérifiant est nécessairement colinéaire à .
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Édité le 29-08-2023
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