[<] Groupe symétrique [>] Déterminant d'un endomorphisme

 
Exercice 1  1410   Correction  

Soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires d’un 𝕂-espace vectoriel E.
Soient f une forme linéaire sur E, p la projection vectorielle sur F parallèlement à G et q=Id-p sa projection complémentaire.
Montrer que l’application φ:E×E𝕂 définie par

φ(x,y)=f(p(x))f(q(y))-f(p(y))f(q(x))

est une forme bilinéaire alternée sur E.

Solution

φ:E×E𝕂.
φ(y,x)=f(p(y))f(q(x))-f(p(x))f(q(x))=-φ(x,y). Il suffit d’étudier la linéarité en la 1ère variable.
φ(λx+μx,y)=f(p(λx+μx))f(q(y))-f(p(y))f(q(λx+μx)) or f, p et q sont linéaires donc
φ(λx+μx,y)=(λf(p(x))+μf(p(x)))f(q(y))-f(p(y))(λf(q(x))+μf(q(x))) puis en développant et en réorganisant: φ(λx+μx,y)=λφ(x,y)+μφ(x,y).
φ est donc une forme bilinéaire antisymétrique donc alternée.

 
Exercice 2  1413    

Soient f un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension n et e=(e1,,en) une base de E. Montrer que, pour tout (x1,,xn)En,

k=1ndete(x1,,f(xk),,xn)=tr(f)dete(x1,,xn).

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Édité le 08-11-2019

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