$\phi :E\times E\to 𝕂$.
$\phi (y,x)=f(p(y))f(q(x))-f(p(x))f(q(x))=-\phi (x,y)$. Il suffit d’étudier la linéarité en la 1ère variable.
$\phi (\lambda x+\mu x^{\prime },y)=f(p(\lambda x+\mu x^{\prime }))f(q(y))-f(p(y))f(q(\lambda x+\mu x^{\prime }))$ or $f$, $p$ et $q$ sont linéaires donc
$\phi (\lambda x+\mu x^{\prime },y)=\left(\lambda f(p(x))+\mu f(p(x^{\prime }))\right)f(q(y))-f(p(y))\left(\lambda f(q(x))+\mu f(q(x^{\prime }))\right)$ puis en développant et en réorganisant: $\phi (\lambda x+\mu x^{\prime },y)=\lambda \phi (x,y)+\mu \phi (x^{\prime },y)$.
$\phi$ est donc une forme bilinéaire antisymétrique donc alternée.