[<] Déterminants de Vandermonde et apparentés [>] Applications au calcul de rang

 
Exercice 1  1411  Correction  

Soient E un -espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de E vérifiant f2=-Id. Montrer que l’espace E est de dimension paire.

Solution

Posons n=dimE. Comme det(f2)=det(-In) on a det(f)2=(-1)n0, donc n est pair.

 
Exercice 2  2590  Correction  

En calculant de deux façons

|abccabbca|

factoriser a3+b3+c3-3abc par a+b+c

Solution

D’une part, l’application de la règle de Sarrus donne

|abccabbca|=a3+b3+c3-3abc.

D’autre part, l’opération élémentaire C1C1+C2+C3 suivie de L2L2-L1 et L3L3-L1 donne

|abccabbca|=|a+b+cbca+b+caba+b+cca|=|a+b+cbc0a-bb-c0c-ba-c|.

En développant selon la première colonne,

|abccabbca| =(a+b+c)((a-b)(a-c)+(b-c)2)
=(a+b+c)(a2+b2+c2-(ab+bc+ca)).

On en déduit la factorisation

a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-(ab+bc+ca)).
 
Exercice 3  1441   Correction  

Soient E un 𝕂-espace vectoriel de dimension 3 et =(e1,e2,e3) une base de E.
Soit f l’endomorphisme de E dont la matrice dans est

A=(3-2-3-2662-2-2).
  • (a)

    Pour quelles valeurs de λ, a-t-on det(A-λI3)=0?

  • (b)

    Déterminer une base 𝒞=(ε1,ε2,ε3) de E telle que

    Mat𝒞f=(100020004).

Solution

  • (a)

    Après calculs

    det(A-λI3)=(1-λ)(4-λ)(2-λ).

    On a donc

    det(A-λI3)=0λ=1,2 ou 4.
  • (b)

    Après résolution de l’équation f(x)=λx pour λ=1,2 ou 4, on obtient

    ε1=e1-2e2+2e3,ε2=e1-e2+e3 et ε3=e1-2e2+e3

    convenables.

 
Exercice 4  1442   Correction  

Soient n*, AGLn() et Bn().

Montrer qu’il existe ε>0 tel que:

x[-ε;ε],A+xBGLn().

Solution

Notons A=(ai,j) et B=(bi,j). On sait

det(A+xB)=σ𝒮nε(σ)i=1n(aσ(i),i+xbσ(i),i).

La fonction xdet(A+xB) est continue (car polynomiale) et ne s’annule pas en 0 (car det(A)0). Par continuité, cette fonction ne s’annule pas sur un certain voisinage de 0 (et cela résout le problème posé).

 
Exercice 5  4960     X (PC)

Soient An() une matrice inversible et X,Y deux colonnes de n,1().

Établir

A+YXGLn()1+XA-1Y0.
 
Exercice 6  5486   Correction  

Soient (a1,,an) et (b1,,bn) deux familles de vecteurs d’un espace vectoriel réel de dimension finie E. Montrer que si l’une au moins de ces familles est libre alors la famille (a1+t.b1,,an+t.bn) est libre pour une infinité de valeurs de t.

Solution

Cas: La famille a=(a1,,an) est libre.

La famille a est base de l’espace F qu’elle engendre. Introduisons G un sous-espace vectoriel supplémentaire de F dans E et considérons la projection p sur F parallèlement à G. Par cette projection, la famille (a1+t.b1,,an+t.bn) devient (a1+t.c1,,an+t.cn) avec ci=p(bi) pour i allant de 1 à n. Si cette dernière est libre, la famille initiale (a1+t.b1,,an+t.bn) l’est aussi.

Étudions alors la liberté de la famille (a1+t.c1,,an+t.cn). Il s’agit d’une famille de vecteurs de F et celle-ci est libre si, et seulement si, son déterminant dans la base a est non nul. Or, pour t,

det(a1,,an)(a1+t.c1,,an+t.cn)

est une expression polynomiale en t et celle-ci n’est pas constamment nulle car

det(a1,,an)(a1,,an)=1pour t=0.

La fonction polynomiale tdet(a1,,an)(a1+t.c1,,an+t.cn) n’admet donc qu’un nombre fini de racines et la famille (a1+t.c1,,an+t.cn) est libre pour toutes les autres valeurs de t. La famille (a1+t.b1,,an+t.bn) est alors libre pour au moins ces valeurs de t.

Cas: La famille b=(b1,,bn) est libre.

Pour t0, la liberté de la famille (a1+t.b1,,an+t.bn) équivaut à celle de la famille de vecteurs colinéaires (1t.a1+b1,,1t.an+bn). Cela ramène à la situation résolue précédemment et permet de conclure.

 
Exercice 7  2380     CENTRALE (MP)Correction  

Quels sont les endomorphismes f de n tels que f(n)=n?

Solution

Soit f solution. La matrice de f relative à la base canonique est à coefficients entiers. De plus, f est un automorphisme car les vecteurs de la base canonique sont des valeurs prises par f et comme f-1(n)=n, la matrice de f-1 relative à la base canonique est à coefficients entiers. Inversement, si f est un automorphisme telle que f et f-1 soient représentés par des matrices à coefficients entiers dans la base canonique, il est immédiat que f(n)n et que f-1(n)n donc que nf(n) et finalement f(n)=n. Notons que les endomorphismes solutions peuvent aussi se décrire comme étant les endomorphismes canoniquement représentés par une matrice à coefficients entiers et qui sont de déterminant égal à 1 ou -1.

 
Exercice 8  3007     NAVALE (MP)Correction  

Soit An(𝕂) une matrice de colonnes C1,,Cn (avec n2).

Étudier la bijectivité de l’application

uA:{𝕂n𝕂nx(det(C1,,Cj-1,x,Cj+1,,Cn))1jn

Solution

Par linéarité du déterminant en la famille des colonnes, on peut affirmer que l’application uA est linéaire.

Soit k{1,,n}. Pour x=Ck, on remarque

det(C1,,Cj-1,x,Cj+1,,Cn)={det(A) si k=j0 sinon

et donc

uA(Ck)=det(A).ek

avec ek le k-ième vecteur de la base canonique de 𝕂n.

Si la matrice A est inversible, l’application uA prend pour valeurs les éléments d’une base de 𝕂n. L’application linéaire uA est donc surjective et c’est donc un automorphisme de l’espace E.

Si la matrice A n’est pas inversible et si elle est possède une colonne non nulle, on peut affirmer que le noyau de uA n’est pas réduit à 0 et l’application uA n’est donc pas bijective.

Si la matrice A est nulle, l’endomorphisme uA est identiquement nul11 1 Plus généralement, c’est le cas lorsque rg(A)n-2. et donc pas bijectif.

 
Exercice 9  4981      MINES (PSI)

Soient I un intervalle non vide de et (f1,,fn) une famille de fonctions de I vers .

Montrer que la famille (f1,,fn) est libre si, et seulement si, il existe x1,,xn dans I tels que le déterminant de la matrice (fi(xj))1i,jn est non nul.

 
Exercice 10  5017    

Soient n* et A1,,An des parties de 1;n distinctes deux à deux. On suppose que les parties Ai s’intersectent deux à deux en des singletons et l’on forme la matrice M=(mi,j)n() déterminée par

mi,j={1 si iAj0 sinon.

Montrer que la matrice MM est inversible et en déduire que la réunion des Ai est égale à 1;n.

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Édité le 29-08-2023

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