[<] Déterminants de Vandermonde et apparentés [>] Applications au calcul de rang

 
Exercice 1  1411  Correction  

Soient E un -espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de E vérifiant f2=-Id. Montrer que l’espace E est de dimension paire.

Solution

Posons n=dimE. Comme det(f2)=det(-In) on a det(f)2=(-1)n0, donc n est pair.

 
Exercice 2  4460   

Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel réel E de dimension finie vérifiant f3+f=0.

  • (a)

    Vérifier que l’image et le noyau de f sont supplémentaires.

  • (b)

    Montrer que l’endomorphisme f est de rang pair.

 
Exercice 3  1441   Correction  

Soient E un 𝕂-espace vectoriel de dimension 3 et =(e1,e2,e3) une base de E.
Soit f l’endomorphisme de E dont la matrice dans est

A=(3-2-3-2662-2-2).
  • (a)

    Pour quelles valeurs de λ, a-t-on det(A-λI3)=0?

  • (b)

    Déterminer une base 𝒞=(ε1,ε2,ε3) de E telle que

    Mat𝒞f=(100020004).

Solution

  • (a)

    Après calculs

    det(A-λI3)=(1-λ)(4-λ)(2-λ).

    On a donc

    det(A-λI3)=0λ=1,2 ou 4.
  • (b)

    Après résolution de l’équation f(x)=λx pour λ=1,2 ou 4, on obtient

    ε1=e1-2e2+2e3,ε2=e1-e2+e3 et ε3=e1-2e2+e3

    convenables.

 
Exercice 4  1442   Correction  

Soient n*, AGLn() et Bn().

Montrer qu’il existe ε>0 tel que:

x[-ε;ε],A+xBGLn().

Solution

Notons A=(ai,j) et B=(bi,j). On sait

det(A+xB)=σ𝒮nε(σ)i=1n(aσ(i),i+xbσ(i),i).

La fonction xdet(A+xB) est continue (car polynomiale) et ne s’annule pas en 0 (car det(A)0). Par continuité, cette fonction ne s’annule pas sur un certain voisinage de 0 (et cela résout le problème posé).

 
Exercice 5  4960     X (PC)

Soient An() une matrice inversible et X,Y deux colonnes de n,1().

Établir

A+YXtGLn()1+XtA-1Y0.
 
Exercice 6  2380     CENTRALE (MP)Correction  

Quels sont les endomorphismes f de n tels que f(n)=n?

Solution

Soit f solution. La matrice de f relative à la base canonique est à coefficients entiers. De plus, f est un automorphisme car les vecteurs de la base canonique sont des valeurs prises par f et comme f-1(n)=n, la matrice de f-1 relative à la base canonique est à coefficients entiers. Inversement, si f est un automorphisme telle que f et f-1 soient représentés par des matrices à coefficients entiers dans la base canonique, il est immédiat que f(n)n et que f-1(n)n donc que nf(n) et finalement f(n)=n. Notons que les endomorphismes solutions peuvent aussi se décrire comme étant les endomorphismes canoniquement représentés par une matrice à coefficients entiers et qui sont de déterminant égal à 1 ou -1.

 
Exercice 7  4981      MINES (PSI)

Soient I un intervalle non vide de et (f1,,fn) une famille de fonctions de I vers .

Montrer que la famille (f1,,fn) est libre si, et seulement si, il existe x1,,xn dans I tels que le déterminant de la matrice (fi(xj))1i,jn est non nul.

 
Exercice 8  5017    

Soient n* et A1,,An des parties de 1;n distinctes deux à deux. On suppose que les parties Ai s’intersectent deux à deux en des singletons et l’on forme la matrice M=(mi,j)n() déterminée par

mi,j={1 si iAj0 sinon.

Montrer que la matrice MtM est inversible et en déduire que la réunion des Ai est égale à 1;n.

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Édité le 08-11-2019

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