[<] Déterminants de Vandermonde et apparentés [>] Applications au calcul de rang
Soient un -espace vectoriel de dimension finie et un endomorphisme de vérifiant . Montrer que l’espace est de dimension paire.
Solution
Posons . Comme on a , donc est pair.
En calculant de deux façons
factoriser par
Solution
D’une part, l’application de la règle de Sarrus donne
D’autre part, l’opération élémentaire suivie de et donne
En développant selon la première colonne,
On en déduit la factorisation
Soient un -espace vectoriel de dimension 3 et une base de .
Soit l’endomorphisme de dont la matrice dans est
Pour quelles valeurs de , a-t-on ?
Déterminer une base de telle que
Solution
Après calculs
On a donc
Après résolution de l’équation pour ou , on obtient
convenables.
Soient , et .
Montrer qu’il existe tel que:
Solution
Notons et . On sait
La fonction est continue (car polynomiale) et ne s’annule pas en (car ). Par continuité, cette fonction ne s’annule pas sur un certain voisinage de (et cela résout le problème posé).
Soient une matrice inversible et deux colonnes de .
Établir
Soient et deux familles de vecteurs d’un espace vectoriel réel de dimension finie . Montrer que si l’une au moins de ces familles est libre alors la famille est libre pour une infinité de valeurs de .
Solution
Cas: La famille est libre.
La famille est base de l’espace qu’elle engendre. Introduisons un sous-espace vectoriel supplémentaire de dans et considérons la projection sur parallèlement à . Par cette projection, la famille devient avec pour allant de à . Si cette dernière est libre, la famille initiale l’est aussi.
Étudions alors la liberté de la famille . Il s’agit d’une famille de vecteurs de et celle-ci est libre si, et seulement si, son déterminant dans la base est non nul. Or, pour ,
est une expression polynomiale en et celle-ci n’est pas constamment nulle car
La fonction polynomiale n’admet donc qu’un nombre fini de racines et la famille est libre pour toutes les autres valeurs de . La famille est alors libre pour au moins ces valeurs de .
Cas: La famille est libre.
Pour , la liberté de la famille équivaut à celle de la famille de vecteurs colinéaires . Cela ramène à la situation résolue précédemment et permet de conclure.
Quels sont les endomorphismes de tels que ?
Solution
Soit solution. La matrice de relative à la base canonique est à coefficients entiers. De plus, est un automorphisme car les vecteurs de la base canonique sont des valeurs prises par et comme , la matrice de relative à la base canonique est à coefficients entiers. Inversement, si est un automorphisme telle que et soient représentés par des matrices à coefficients entiers dans la base canonique, il est immédiat que et que donc que et finalement . Notons que les endomorphismes solutions peuvent aussi se décrire comme étant les endomorphismes canoniquement représentés par une matrice à coefficients entiers et qui sont de déterminant égal à 1 ou .
Soit une matrice de colonnes (avec ).
Étudier la bijectivité de l’application
Solution
Par linéarité du déterminant en la famille des colonnes, on peut affirmer que l’application est linéaire.
Soit . Pour , on remarque
et donc
avec le -ième vecteur de la base canonique de .
Si la matrice est inversible, l’application prend pour valeurs les éléments d’une base de . L’application linéaire est donc surjective et c’est donc un automorphisme de l’espace .
Si la matrice n’est pas inversible et si elle est possède une colonne non nulle, on peut affirmer que le noyau de n’est pas réduit à et l’application n’est donc pas bijective.
Si la matrice est nulle, l’endomorphisme est identiquement nul11 1 Plus généralement, c’est le cas lorsque . et donc pas bijectif.
Soient un intervalle non vide de et une famille de fonctions de vers .
Montrer que la famille est libre si, et seulement si, il existe dans tels que le déterminant de la matrice est non nul.
Soient et des parties de distinctes deux à deux. On suppose que les parties s’intersectent deux à deux en des singletons et l’on forme la matrice déterminée par
Montrer que la matrice est inversible et en déduire que la réunion des est égale à .
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Édité le 29-08-2023
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