[<] Calculs de déterminants tridiagonaux [>] Applications des déterminants
(Déterminant de Vandermonde)
Soient et . On souhaite exprimer
Pour et , on pose .
Établir que est une fonction polynomiale de degré inférieur à et préciser le coefficient de son terme de degré .
En déduire la relation
(1) |
Conclure
(2) |
Soient et des nombres complexes deux à deux distincts.
Pour , calculer
Soient et des nombres complexes. Calculer
Soient et des nombres complexes. Calculer pour
Solution
Considérons le polynôme
Celui-ci se développe sous la forme
avec et en particulier où les désignent les expressions symétriques élémentaires en .
En procédant à l’opération , les coefficients de la dernière colonne de la matrice sont transformés en
Ainsi,
En permutant de façon circulaire les dernières colonnes, on obtient
Sachant calculer un déterminant de Vandermonde, on obtient
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Édité le 29-08-2023
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