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Exercice 1  5122   

(Déterminant de Vandermonde)

Soient n* et a1,,an. On souhaite exprimer

Vn(a1,,an)=déf|1a1a12a1n-11a2a22a2n-11anan2ann-1|[n].

Pour n2 et x, on pose Pn(x)=Vn(a1,,an-1,x).

  • (a)

    Établir que Pn est une fonction polynomiale de degré inférieur à n-1 et préciser le coefficient de son terme de degré n-1.

  • (b)

    En déduire la relation

    Vn(a1,,an)=Vn-1(a1,,an-1)i=1n-1(an-ai) (1)
  • (c)

    Conclure

    Vn(a1,,an)=1i<jn(aj-ai). (2)
 
Exercice 2  4224   

Soient n2 et λ1,,λn des nombres complexes deux à deux distincts.

Pour x, calculer

Dn(x)=|1λ1λ12λ1n-2P1(x)1λ2λ22λ2n-2P2(x)1λnλn2λnn-2Pn(x)|[n] avec Pi(x)=1knki(x-λk).
 
Exercice 3  2384    

Soient n* et a1,,an des nombres complexes. Calculer

Dn=|1a1a12a1n-2a1n1a2a22a2n-2a2n1anan2ann-2ann|[n].
 
Exercice 4  2385      CENTRALE (MP)Correction  

Soient n* et a1,,an des nombres complexes. Calculer pour k=1,,n-1

Dk=|1a1a1k-1a1k+1a1n1a2a2k-1a2k+1a2n1anank-1ank+1ann|.

Solution

Considérons le polynôme

P(X)=(X-a1)(X-a2)(X-an).

Celui-ci se développe sous la forme

P(X)=Xn+αn-1Xn-1++α0

avec α0,,αn-1𝕂 et en particulier αk=(-1)n-kσn-k où les σ1,,σn désignent les expressions symétriques élémentaires en a1,,an.
En procédant à l’opération CnCn+j=0k-1αjCj+1+j=nn-1αjCj, les coefficients de la dernière colonne de la matrice sont transformés en

P(ai)-αkaik=-αkaik car P(ai)=0.

Ainsi,

Dk=(-1)n+1-kσn-k|1a1a1k-1a1k+1a1n-1a1k1a2a2k-1a2k+1a2n-1a2k1anank-1ank+1ann-1ank|.

En permutant de façon circulaire les n-k dernières colonnes, on obtient

Dk=σn-k|1a1a1k-1a1ka1k+1a1n-11a2a2k-1a2ka2k+1a2n-11anank-1ankank+1ann-1|.

Sachant calculer un déterminant de Vandermonde, on obtient

Dk=σn-k1i<jn(aj-ai).

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Édité le 08-11-2019

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