Exercice 1 4454

Soient $n \in ℕ^{*}$ , $a, b \in ℝ$ et $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n} \in ℝ$ . On souhaite calculer le déterminant de la matrice

M_{a, b} = (\begin{matrix} λ_{1} & a & \dots & a \\ b & λ_{2} & ⋱ & ⋮ \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & a \\ b & \dots & b & λ_{n} \end{matrix}) \in ℳ_{n} (ℝ) .

On introduit le polynôme $P = (λ_{1} - X) \dots (λ_{n} - X)$ et la matrice $J$ de $ℳ_{n} (ℝ)$ dont tous les coefficients sont égaux à $1$ .

(a)

Montrer que la fonction qui à un réel $x$ associe $\det (M_{a, b} + x J)$ est affine.
(b)

En déduire une expression de $\det (M_{a, b})$ lorsque $a \neq b$ en fonction de $P$ .

Exercice 2 3806 Correction

(Déterminant de Hurwitz)

Soient $a, λ_{1}, \dots, λ_{n} \in ℂ$ . Calculer le déterminant de la matrice suivante

H = (\begin{matrix} a + λ_{1} & (a) \\ ⋱ \\ (a) & a + λ_{n} \end{matrix}) .

Solution

On décompose la première colonne en somme de deux colonnes

(\begin{matrix} a + λ_{1} \\ a \\ ⋮ \\ a \end{matrix}) = (\begin{matrix} λ_{1} \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} a \\ a \\ ⋮ \\ a \end{matrix}) = λ_{1} E_{1} + a C

avec $E_{1}$ colonne élémentaire et $C$ colonne constituée de 1.
On décompose de même chacune des colonnes. On peut écrire

\det (H) = \det (λ_{1} E_{1} + a C | \dots | λ_{n} E_{n} + a C) .

On développe par multilinéarité et l’on simplifie sachant que le déterminant est nul lorsque la colonne $C$ apparaît deux fois. On obtient

\det (H) = \det (λ_{1} E_{1} + \dots + λ_{n} E_{n}) + \sum_{i = 1}^{n} \det (λ_{1} E_{1} | \dots, a C ∣ \dots | λ_{n} E_{n})

\det (λ_{1} E_{1} | \dots, a C ∣ \dots | λ_{n} E_{n}) = a \prod_{1 \leq k \neq i \leq n} λ_{k} \det (E_{1} | \dots | C | \dots | E_{n})

et, en écrivant $C = E_{1} + \dots + E_{n}$ ,

\det (E_{1} | \dots | C | \dots | E_{n}) = \det (E_{1} | \dots | E_{i} | \dots | E_{n}) + 0 = 1

Finalement,

\det (H) = \prod_{i = 1}^{n} λ_{i} + a \sum_{i = 1}^{n} \prod_{1 \leq k \neq i \leq n} λ_{k} .

Exercice 3 4455

Soient $n \in ℕ^{*}$ , $a_{1}, \dots, a_{n} \in ℂ$ et $λ_{1}, \dots, λ_{n} \in ℂ$ . Calculer le déterminant de la matrice

M = (\begin{matrix} a_{1} + λ_{1} & a_{2} & \dots & a_{n} \\ a_{1} & a_{2} + λ_{2} & ⋱ & ⋮ \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & a_{n} \\ a_{1} & \dots & a_{n - 1} & a_{n} + λ_{n} \end{matrix}) .

Exercice 4 3124 Correction

Soient $a_{1}, \dots, a_{n}, b_{1}, \dots, b_{n} \in ℂ$ . Calculer le déterminant de la matrice de coefficient

a_{i, j} = {\begin{matrix} a_{i} + b_{i} & si i = j \\ b_{j} & sinon. \end{matrix}

Solution

Notons $D_{n}$ le déterminant recherché.
On décompose la première colonne en somme de deux colonnes

(\begin{matrix} a_{1} + b_{1} \\ b_{1} \\ ⋮ \\ b_{1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{1} \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{1} \\ ⋮ \\ b_{1} \end{matrix}) = a_{1} E_{1} + b_{1} C

avec $E_{1}$ colonne élémentaire et $C$ colonne constituée de 1.
On décompose de même chacune des colonnes. On peut écrire

D_{n} = \det (a_{1} E_{1} + b_{1} C, \dots, a_{n} E_{n} + b_{n} C) .

On développe par multilinéarité et l’on simplifie sachant que le déterminant est nul lorsque la colonne $C$ apparaît deux fois. On obtient

D_{n} = \det (a_{1} E_{1} + \dots + a_{n} E_{n}) + \sum_{i = 1}^{n} \det (a_{1} E_{1}, \dots, b_{i} C, \dots, a_{n} E_{n})

et donc

D_{n} (a_{1}, \dots, a_{n}, b_{1}, \dots, b_{n}) = \prod_{i = 1}^{n} a_{i} + \sum_{i = 1}^{n} b_{i} \prod_{k = 1, k \neq i}^{n} a_{k} .

Exercice 5 5982 CCINP (MP)Correction

Soit $P = X^{n} - X + 1$ avec $n \geq 2$ .

(a)

Montrer que $P$ admet $n$ racines $z_{1}, \dots, z_{n}$ distinctes dans $ℂ$ .
(b)

Calculer $z_{1} \times \dots \times z_{n}$ et $\frac{1}{z_{1}} + \dots + \frac{1}{z_{n}}$ .
(c)

Calculer le déterminant de la matrice $A = (a_{i, j}) \in ℳ_{n} (ℂ)$ donnée par

$a_{i, j} = {\begin{matrix} 1 + z_{i} & si i = j \\ 1 & sinon. \end{matrix}$

Solution

(a)

Par le théorème de d’Alembert-Gauss, le polynôme complexe $P$ possède $n = \deg (P)$ racines complexes comptées avec multiplicité. Les racines multiples de $P$ sont les racines communes à $P$ et $P^{'} = n X^{n - 1} - 1$ . Si $ω$ est une telle racine alors

$ω^{n} - ω + 1 = 0 et n ω^{n - 1} - 1 = 0$

de sorte que

$ω^{n} = ω - 1 et ω^{n} = \frac{ω}{n}$

donc

$ω = \frac{n}{n - 1} .$

On observeEque $ω$ est réel et vérifie $ω > 1$ donc $ω^{n} > ω$ , la relation $ω^{n} - ω + 1 = 0$ est impossible. Le polynôme $P$ ne possède pas de racines multiples: ses racines sont toutes distinctes.
(b)

En vertu des relations entre coefficients et les racines d’un polynôme scindé,

$z_{1} \times \dots \times z_{n} = {(- 1)}^{n} et \sum_{i = 1}^{n} z_{1} \times \dots \times \hat{z_{i}} \times \dots \times z_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \times (- 1) = {(- 1)}^{n}$

donc, par réduction au même dénominateur,

$\frac{1}{z_{1}} + \dots + \frac{1}{z_{n}} = 1$
(c)

Notons $E_{1}, \dots, E_{n}$ les colonnes élémentaires de $ℳ_{n, 1} (ℂ)$ et $U = E_{1} + \dots + E_{n}$ la colonne de hauteur $n$ dont tous les coefficients sont égaux à $1$ . On peut écrire

$\det (M) = \det (U + z_{1} E_{1} | \dots | U + z_{n} E_{n}) .$

Par multilinéarité du déterminant en les colonnes, on peut développer le déterminant qui précède en simplifiant tous les déterminants où la colonne $U$ apparaît au moins deux fois,

$\det (M)$ $= \sum_{i = 1}^{N} \det (z_{1} E_{1} | \dots | U | \dots | z_{n} E_{n}) + \det (z_{1} E_{1} | \dots | z_{n} E_{n})$

$= \sum_{i = 1}^{N} z_{1} \times \dots \times \hat{z_{i}} \times \dots \times z_{n} + z_{1} \times \dots \times z_{n} .$

On a donc

$\det (M) = 2 {(- 1)}^{n} .$

Exercice 6 5706 Correction

Soient $A, B \in ℳ_{3} (ℝ)$ vérifiant

\det (A) = \det (B) = \det (A + B) = \det (A - B) = 0 .

Établir

\forall (x, y) \in ℝ^{2}, \det (x A + y B) = 0 .

Solution

Considérons l’application

φ : {\begin{matrix} ℝ & \to & ℝ \\ t & \mapsto & \det (A + t B) . \end{matrix}

Par la formule définissant le déterminant appliquée aux matrices de taille $3$ , on peut affirmer que $φ$ est une fonction polynomiale de degré au plus $3$ . Aussi, le coefficient de $t^{3}$ dans $φ (t)$ vaut $\det (B) = 0$ . On en déduit que la fonction $φ$ est polynomiale de degré au plus $2$ . Au surplus, $φ (0) = φ (1) = φ (- 1) = 0$ et donc $φ$ possède au moins trois racines ce qui assure que $φ$ est la fonction identiquement nulle. Ainsi,

\forall t \in ℝ, \det (A + t B) = 0 .

Pour $x \in ℝ^{*}$ et $y \in ℝ$ ,

\det (x A + y B) = x^{3} φ (y / x) = 0 .

Aussi, pour $x = 0$ ,

\det (x A + y B) = \det (y B) = y^{3} \det (B) = 0 .

Finalement,

\forall (x, y) \in ℝ^{2}, \det (x A + y B) = 0 .

Exercice 7 3578 Correction

Soient un naturel $n \geq 2$ et $(x_{1}, \dots, x_{n})$ une famille de $n$ réels distincts de $[0; π]$ .
On pose

P_{n} = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (\cos (x_{j}) - \cos (x_{i}))

et l’on considère la matrice $M_{n} \in ℳ_{n} (ℝ)$ de coefficient général

m_{i, j} = \cos ((j - 1) x_{i}) .

(a)

Montrer que $m_{i, j}$ est un polynôme en $\cos (x_{i})$ et donner son coefficient dominant.
(b)

Calculer $\det (M_{n})$ en fonction de $P_{n}$ .

Solution

(a)

$\cos (0 . x_{i})$ est un polynôme en $\cos (x_{i})$ de degré 0.
$\cos (1 . x_{i})$ est un polynôme en $\cos (x_{i})$ de degré 1.
Par récurrence double, on montre que $\cos (j x_{i})$ est un polynôme en $\cos (x_{i})$ de degré $j$ en exploitant la relation:

$\cos ((j + 1) x_{i}) + \cos ((j - 1) x_{i}) = 2 \cos (x_{i}) \cos (j x_{i}) .$

On peut aussi par récurrence affirmer que le coefficient dominant de $\cos (j x_{i})$ est $2^{j - 1}$ pour $j \geq 1$ .
On peut même être plus précis et affirmer que $\cos ((j - 1) x_{i})$ est une expression polynomiale de degré $j - 1$ en $\cos (x_{i})$ .
(b)

$\det (M_{n})$ est une expression polynomiale en $\cos (x_{1})$ de degré au plus $n - 1$ .
Puisque $\cos (x_{2}), \dots, \cos (x_{n})$ sont $n - 1$ racines distinctes du polynôme correspondant, on peut écrire

$\det (M_{n}) = λ (x_{2}, \dots, x_{n}) \prod_{j = 2}^{n} (\cos (x_{j}) - \cos (x_{1})) .$

L’expression du coefficient $λ (x_{2}, \dots, x_{n})$ est polynomiale en $\cos (x_{2})$ de degré au plus $n - 2$ (car il y a déjà le facteur $\cos (x_{2}) - \cos (x_{1})$ dans le produit) et puisque $\cos (x_{3}), \dots, \cos (x_{n})$ en sont des racines distinctes, on peut écrire

$λ (x_{2}, \dots, x_{n}) = μ (x_{3}, \dots, x_{n}) \prod_{j = 3}^{n} (\cos (x_{j}) - \cos (x_{2})) .$

En répétant la démarche, on obtient

$\det (M_{n}) = α_{n} \prod_{1 \leq i < j \leq n} (\cos (x_{j}) - \cos (x_{i})) = α_{n} P .$

Il reste à déterminer la valeur de $α_{n}$ …
Un calcul immédiat donne $α_{2} = 1$ .
En développant selon la dernière ligne

$\det (M_{n}) = \cos ((n - 1) x_{n}) \det (M_{n - 1}) + \dots$

où les points de suspensions contiennent une expression polynomiale en $\cos (x_{n})$ de degré $< n - 1$ .
En identifiant les coefficients dominant des expressions polynomiale en $\cos (x_{n})$ dans cette égalité, on obtient

$α_{n} = 2^{n - 2} α_{n - 1} .$

Cette relation permet de conclure

$α_{n} = 2^{\frac{(n - 1) (n - 2)}{2}} .$

Exercice 8 3577 CCINP (MP)Correction

Pour une famille de $n$ réels distincts $(x_{k})$ de $[0; π]$ , on pose

P_{n} = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (\cos (x_{i}) - \cos (x_{j})) .

(a)

Combien le produit définissant $P_{n}$ comporte-t-il de facteurs?
(b)

Pour $(i, j) \in {⟦ 1; 4 ⟧}^{2}$ écrire la matrice $M \in ℳ_{4} (ℝ)$ de coefficient général

$m_{i, j} = \cos ((j - 1) x_{i}) .$
(c)

Montrer que $m_{i, j}$ est un polynôme en $\cos (x_{i})$ .
(d)

Calculer $\det (M)$ en fonction de $P_{4}$ et montrer $| \det (M) | < 24$

Solution

(a)

Il y autant de facteurs que de paires ${i, j}$ c’est-à-dire

$(\binom{n}{2}) = \frac{n (n - 1)}{2} .$
(b)

$M = (\begin{matrix} 1 & \cos (x_{1}) & \cos (2 x_{1}) & \cos (3 x_{1}) \\ 1 & \cos (x_{2}) & \cos (2 x_{2}) & \cos (3 x_{2}) \\ 1 & \cos (x_{3}) & \cos (2 x_{3}) & \cos (3 x_{3}) \\ 1 & \cos (x_{4}) & \cos (2 x_{4}) & \cos (3 x_{4}) \end{matrix}) .$
(c)

La propriété est immédiate pour $j = 1$ ou $j = 2$ .
Pour $j = 3$ , $\cos (2 x_{i}) = 2 \cos^{2} (x_{i}) - 1$ .
Pour $j = 4$ , $\cos (3 x_{i}) = 4 \cos^{3} (x_{i}) - 3 \cos (x_{i})$ .
(d)

$\det (M)$ est une expression polynomiale en $\cos (x_{1})$ de degré au plus 3.
Puisque $\cos (x_{2}), \cos (x_{3}), \cos (x_{4})$ sont 3 racines distinctes du polynôme correspondant, on peut écrire

$\det (M) = λ (x_{2}, x_{3}, x_{4}) \prod_{j = 2}^{4} (\cos (x_{1}) - \cos (x_{j})) .$

L’expression du coefficient $λ (x_{2}, x_{3}, x_{4})$ est polynomiale $\cos (x_{2})$ de degré au plus $2$ (car il y a déjà le facteur $\cos (x_{1}) - \cos (x_{2})$ dans le produit) et puisque $\cos (x_{3}), \cos (x_{4})$ en sont des racines distinctes, on peut écrire

$λ (x_{2}, x_{3}, x_{4}) = μ (x_{3}, x_{4}) \prod_{j = 3}^{4} (\cos (x_{2}) - \cos (x_{j})) .$

En répétant la démarche, on obtient

$\det (M) = α \prod_{1 \leq i < j \leq 4} (\cos (x_{i}) - \cos (x_{j})) = α P_{4} .$

Il reste à déterminer la valeur de $α$ .

Une démarche analogue à la précédente aurait donnée

$| \begin{matrix} 1 & \cos (x_{1}) & \cos (2 x_{1}) \\ 1 & \cos (x_{2}) & \cos (2 x_{2}) \\ 1 & \cos (x_{3}) & \cos (2 x_{3}) \end{matrix} | = β P_{3}$

et

$| \begin{matrix} 1 & \cos (x_{1}) \\ 1 & \cos (x_{2}) \end{matrix} | = γ P_{2} avec γ = - 1 .$

En développant $\det (M)$ selon la dernière ligne et en considérant le coefficient dominant de $\det (M)$ vu comme polynôme en $\cos (x_{4})$ , on obtient

$4 β P_{3} = {(- 1)}^{3} α P_{3}$

et de façon analogue on a aussi

$2 γ P_{2} = {(- 1)}^{2} β P_{2} .$

On en déduit

$α = 8 .$

Puisque $Card (𝒮_{4}) = 24$ , $\det (M)$ peut se voir comme la somme de 24 termes qui sont tous inférieurs à 1 en valeur absolue. On en déduit

$| \det (M) | \leq 24 .$

Certains des termes (par exemple $1 \times \cos (x_{1}) \times \cos (2 x_{2}) \times \cos (3 x_{3})$ ) étant strictement inférieurs à 1 en valeur absolue, on a aussi

$| \det (M) | < 24 .$

Exercice 9 4453

Soient $n \geq 2$ et $a_{1}, \dots, a_{n}, b_{1}, \dots, b_{n}$ des réels.

Calculer le déterminant de $M = {({(a_{i} + b_{j})}^{n - 1})}_{1 \leq i, j \leq n}$ .

Exercice 10 748 CCINP (MP)

(Déterminant de Cauchy)

Soient $n \in ℕ^{*}$ et $a_{1}, \dots, a_{n}, b_{1}, \dots, b_{n}$ des réels tels que $a_{i} + b_{j} \neq 0$ pour tous $i$ et $j$ de $⟦ 1; n ⟧$ .

Calculer

\det {(\frac{1}{a_{i} + b_{j}})}_{1 \leq i, j \leq n} .

[<] Calculs de déterminants élémentaires [>] Calculs de déterminants par une relation de récurrence

Édité le 09-06-2025

	$\det (M)$	$= \sum_{i = 1}^{N} \det (z_{1} E_{1} \| \dots \| U \| \dots \| z_{n} E_{n}) + \det (z_{1} E_{1} \| \dots \| z_{n} E_{n})$
		$= \sum_{i = 1}^{N} z_{1} \times \dots \times \hat{z_{i}} \times \dots \times z_{n} + z_{1} \times \dots \times z_{n} .$

Calculs de déterminants avancés