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Exercice 1  4454   

Soient n*, a,b et λ1,λ2,,λn. On souhaite calculer le déterminant de la matrice

Ma,b=(λ1aabλ2abbλn)n().

On introduit le polynôme P=(λ1-X)(λn-X) et la matrice J de n() dont tous les coefficients sont égaux à 1.

  • (a)

    Montrer que la fonction qui à un réel x associe det(Ma,b+xJ) est affine.

  • (b)

    En déduire une expression de det(Ma,b) lorsque ab en fonction de P.

 
Exercice 2  3806   Correction  

(Déterminant de Hurwitz)

Soient a,λ1,,λn. Calculer le déterminant de la matrice suivante

H=(a+λ1(a)(a)a+λn).

Solution

On décompose la première colonne en somme de deux colonnes

(a+λ1aa)=(λ100)+(aaa)=λ1E1+aC

avec E1 colonne élémentaire et C colonne constituée de 1.
On décompose de même chacune des colonnes. On peut écrire

det(H)=det(λ1E1+aC,,λnEn+aC).

On développe par multilinéarité et l’on simplifie sachant que le déterminant est nul lorsque la colonne C apparaît deux fois. On obtient

det(H)=det(λ1E1++λnEn)+i=1ndet(λ1E1,,aC,,λnEn)

et donc

det(H)=i=1nλi+ai=1nk=1,kinλk.
 
Exercice 3  4455   

Soient n*, a1,,an et λ1,,λn. Calculer le déterminant de la matrice

M=(a1+λ1a2ana1a2+λ2ana1an-1an+λn).
 
Exercice 4  3124   Correction  

Soient a1,,an,b1,,bn. Calculer le déterminant de la matrice de coefficient

ai,j={ai+bi si i=jbj sinon.

Solution

Notons Dn le déterminant recherché.
On décompose la première colonne en somme de deux colonnes

(a1+b1b1b1)=(a100)+(b1b1b1)=a1E1+b1C

avec E1 colonne élémentaire et C colonne constituée de 1.
On décompose de même chacune des colonnes. On peut écrire

Dn=det(a1E1+b1C,,anEn+bnC).

On développe par multilinéarité et l’on simplifie sachant que le déterminant est nul lorsque la colonne C apparaît deux fois. On obtient

Dn=det(a1E1++anEn)+i=1ndet(a1E1,,biC,,anEn)

et donc

Dn(a1,,an,b1,,bn)=i=1nai+i=1nbik=1,kinak.
 
Exercice 5  3578   Correction  

Soient un naturel n2 et (x1,,xn) une famille de n réels distincts de [0;π].
On pose

Pn=1i<jn(cos(xj)-cos(xi))

et l’on considère la matrice Mnn() de coefficient général

mi,j=cos((j-1)xi).
  • (a)

    Montrer que mi,j est un polynôme en cos(xi) et donner son coefficient dominant.

  • (b)

    Calculer det(Mn) en fonction de Pn.

Solution

  • (a)

    cos(0.xi) est un polynôme en cos(xi) de degré 0.
    cos(1.xi) est un polynôme en cos(xi) de degré 1.
    Par récurrence double, on montre que cos(jxi) est un polynôme en cos(xi) de degré j en exploitant la relation:

    cos((j+1)xi)+cos((j-1)xi)=2cos(xi)cos(jxi).

    On peut aussi par récurrence affirmer que le coefficient dominant de cos(jxi) est 2j-1 pour j1.
    On peut même être plus précis et affirmer que cos((j-1)xi) est une expression polynomiale de degré j-1 en cos(xi).

  • (b)

    det(Mn) est une expression polynomiale en cos(x1) de degré au plus n-1.
    Puisque cos(x2),,cos(xn) sont n-1 racines distinctes du polynôme correspondant, on peut écrire

    det(Mn)=λ(x2,,xn)j=2n(cos(xj)-cos(x1)).

    L’expression du coefficient λ(x2,,xn) est polynomiale en cos(x2) de degré au plus n-2 (car il y a déjà le facteur cos(x2)-cos(x1) dans le produit) et puisque cos(x3),,cos(xn) en sont des racines distinctes, on peut écrire

    λ(x2,,xn)=μ(x3,,xn)j=3n(cos(xj)-cos(x2)).

    En répétant la démarche, on obtient

    det(Mn)=αn1i<jn(cos(xj)-cos(xi))=αnP.

    Il reste à déterminer la valeur de αn
    Un calcul immédiat donne α2=1.
    En développant selon la dernière ligne

    det(Mn)=cos((n-1)xn)det(Mn-1)+

    où les points de suspensions contiennent une expression polynomiale en cos(xn) de degré <n-1.
    En identifiant les coefficients dominant des expressions polynomiale en cos(xn) dans cette égalité, on obtient

    αn=2n-2αn-1.

    Cette relation permet de conclure

    αn=2(n-1)(n-2)2.
 
Exercice 6  3577     CCP (MP)Correction  

Pour une famille de n réels distincts (xk) de [0;π], on pose

Pn=1i<jn(cos(xi)-cos(xj)).
  • (a)

    Combien le produit définissant Pn comporte-t-il de facteurs?

  • (b)

    Pour (i,j)1;42 écrire la matrice M4() de coefficient général

    mi,j=cos((j-1)xi).
  • (c)

    Montrer que mi,j est un polynôme en cos(xi).

  • (d)

    Calculer det(M) en fonction de P4 et montrer |det(M)|<24

Solution

  • (a)

    Il y autant de facteurs que de paires {i,j} c’est-à-dire

    (n2)=n(n-1)2.
  • (b)
    M=(1cos(x1)cos(2x1)cos(3x1)1cos(x2)cos(2x2)cos(3x2)1cos(x3)cos(2x3)cos(3x3)1cos(x4)cos(2x4)cos(3x4)).
  • (c)

    La propriété est immédiate pour j=1 ou j=2.
    Pour j=3, cos(2xi)=2cos2(xi)-1.
    Pour j=4, cos(3xi)=4cos3(xi)-3cos(xi).

  • (d)

    det(M) est une expression polynomiale en cos(x1) de degré au plus 3.
    Puisque cos(x2),cos(x3),cos(x4) sont 3 racines distinctes du polynôme correspondant, on peut écrire

    det(M)=λ(x2,x3,x4)j=24(cos(x1)-cos(xj)).

    L’expression du coefficient λ(x2,x3,x4) est polynomiale cos(x2) de degré au plus 2 (car il y a déjà le facteur cos(x1)-cos(x2) dans le produit) et puisque cos(x3),cos(x4) en sont des racines distinctes, on peut écrire

    λ(x2,x3,x4)=μ(x3,x4)j=34(cos(x2)-cos(xj)).

    En répétant la démarche, on obtient

    det(M)=α1i<j4(cos(xi)-cos(xj))=αP4.

    Il reste à déterminer la valeur de α.

    Une démarche analogue à la précédente aurait donnée

    |1cos(x1)cos(2x1)1cos(x2)cos(2x2)1cos(x3)cos(2x3)|=βP3

    et

    |1cos(x1)1cos(x2)|=γP2 avec γ=-1.

    En développant det(M) selon la dernière ligne et en considérant le coefficient dominant de det(M) vu comme polynôme en cos(x4), on obtient

    4βP3=(-1)3αP3

    et de façon analogue on a aussi

    2γP2=(-1)2βP2.

    On en déduit

    α=8.

    Puisque Card(𝒮4)=24, det(M) peut se voir comme la somme de 24 termes qui sont tous inférieurs à 1 en valeur absolue. On en déduit

    |det(M)|24.

    Certains des termes (par exemple 1×cos(x1)×cos(2x2)×cos(3x3)) étant strictement inférieurs à 1 en valeur absolue, on a aussi

    |det(M)|<24.
 
Exercice 7  4453    

Soient n2 et a1,,an,b1,,bn des réels.

Calculer le déterminant de M=((ai+bj)n-1)1i,jn.

 
Exercice 8  748      CCP (MP)

(Déterminant de Cauchy)

Soient n* et a1,,an b1,,bn des réels tels que ai+bj0 pour tous i et j de 1;n.

Calculer

det(1ai+bj)1i,jn

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Édité le 08-11-2019

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