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Exercice 1  1433  Correction  

Soit a*. Calculer pour n*

Dn=|2aa(0)aa(0)a2a|.

Solution

En développant par rapport à la première colonne, puis par rapport à la première ligne dans le second déterminant on obtient pour n2

Dn=2aDn-1-a2Dn-2

(Dn) est une suite récurrente linéaire d’ordre 2 d’équation caractéristique r2-2ar+a2=0 de racines double a.

On a alors Dn=(λn+μ)an avec λ,μ𝕂.

Les conditions initiales D1=2a et D2=3a2 (ou D0=1 et D1=2a) donnent

Dn=(n+1)an.
 
Exercice 2  4225   

Soit x un nombre complexe. Calculer

Dn=|1+x2x(0)xx(0)x1+x2|[n].
 
Exercice 3  2584     CCP (MP)Correction  

Soit (a,b)2. Calculer pour n*

Dn=|a+bb(0)ab(0)aa+b|[n].

Solution

Par développement d’un déterminant tridiagonal,

Dn=(a+b)Dn-1-abDn-2.

La suite (Dn) est une suite récurrente linéaire d’ordre 2 d’équation caractéristique r2-(a+b)r+ab=0 de racines a et b.

Cas: ab. On peut écrire Dn=λan+μbn et compte tenu des valeurs initiales, on obtient

Dn=an+1-bn+1a-b.

Cas: a=b. On peut écrire Dn=(λn+μ)an et l’on parvient cette fois-ci à

Dn=(n+1)an.
 
Exercice 4  1436   

Soient a et b deux nombres réels non tous deux nuls. Calculer pour tout n1,

Dn=|a+bab(0)1ab(0)1a+b|[n].
 
Exercice 5  740   Correction  

Soit θ. Calculer pour n*

Dn=|2cos(θ)1(0)11(0)12cos(θ)|[n].

Solution

En développant par rapport à la première colonne, puis par rapport à la première ligne dans le second déterminant on obtient pour n2

Dn=2cos(θ)Dn-1-Dn-2

(Dn) est une suite récurrente linéaire d’ordre 2 d’équation caractéristique

r2-2cos(θ)r+1=0

de racines eiθ et e-iθ.

Cas: θ0[π]. On écrit Dn=λcos(nθ)+μsin(nθ). Les conditions D0=1 et D1=2cos(θ) donnent

{λ=1λcos(θ)+μsin(θ)=2cos(θ)

puis

{λ=1μ=1/tan(θ).

Ainsi,

Dn=sin((n+1)θ)sin(θ).

Cas: θ0[2π]. Dn=λn+μ. D0=1 et D1=2 donnent

Dn=n+1.

Cas: θπ[2π]. Dn=(λn+μ)(-1)n. D0=1 et D1=-2 donnent

Dn=(-1)n(n+1).
 
Exercice 6  741   Correction  

Calculer

Dn=|01(0)n02n-1n(0)10|[n+1]

Solution

En développant selon la première colonne, puis la première ligne et en recommençant: Dn=(-n)×1×(2-n)×3 etc.

Cas: n est pair. Le développement s’arrête sur le calcul de

|n-1010|=0.

Cas: n est impair. Le développement s’arrête par l’étape

|0n-20030n-10020n0010|=-3|n-20020n010|=-3(n-2)|0n1n|=3n(n-2).

En écrivant n=2p+1, on parvient à

Dn=(-1)p+1(1×3××(2p+1))2=(-1)p+1((2p+1)!2pp!)2.

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Édité le 08-11-2019

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