Exercice 1 1433 Correction

Soit $a \in ℂ^{*}$ . Calculer pour $n \in ℕ^{*}$

D_{n} = | \begin{matrix} 2 a & a & (0) \\ a & ⋱ & ⋱ \\ ⋱ & ⋱ & a \\ (0) & a & 2 a \end{matrix} | .

Solution

En développant par rapport à la première colonne, puis par rapport à la première ligne dans le second déterminant on obtient pour $n \geq 2$

D_{n} = 2 a D_{n - 1} - a^{2} D_{n - 2}

$(D_{n})$ est une suite récurrente linéaire d’ordre $2$ d’équation caractéristique $r^{2} - 2 a r + a^{2} = 0$ de racines double $a$ .

On a alors $D_{n} = (λ n + μ) a^{n}$ avec $λ, μ \in 𝕂$ .

Les conditions initiales $D_{1} = 2 a$ et $D_{2} = 3 a^{2}$ (ou $D_{0} = 1$ et $D_{1} = 2 a$ ) donnent

D_{n} = (n + 1) a^{n} .

Exercice 2 4225

Soit $x$ un nombre complexe. Calculer

D_{n} = {| \begin{matrix} 1 + x^{2} & x & (0) \\ x & ⋱ & ⋱ \\ ⋱ & ⋱ & x \\ (0) & x & 1 + x^{2} \end{matrix} |}_{[n]} .

Exercice 3 2584 CCINP (MP)Correction

Soit $(a, b) \in ℝ^{2}$ . Calculer pour $n \in ℕ^{*}$

D_{n} = {| \begin{matrix} a + b & b & (0) \\ a & ⋱ & ⋱ \\ ⋱ & ⋱ & b \\ (0) & a & a + b \end{matrix} |}_{[n]} .

Solution

Par développement d’un déterminant tridiagonal,

D_{n} = (a + b) D_{n - 1} - a b D_{n - 2} .

La suite $(D_{n})$ est une suite récurrente linéaire d’ordre $2$ d’équation caractéristique $r^{2} - (a + b) r + a b = 0$ de racines $a$ et $b$ .

Cas: $a \neq b$ . On peut écrire $D_{n} = λ a^{n} + μ b^{n}$ et compte tenu des valeurs initiales, on obtient

D_{n} = \frac{a^{n + 1} - b^{n + 1}}{a - b} .

Cas: $a = b$ . On peut écrire $D_{n} = (λ n + μ) a^{n}$ et l’on parvient cette fois-ci à

D_{n} = (n + 1) a^{n} .

Exercice 4 1436

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels non tous deux nuls. Calculer pour tout $n \geq 1$ ,

D_{n} = {| \begin{matrix} a + b & a b & (0) \\ 1 & ⋱ & ⋱ \\ ⋱ & ⋱ & a b \\ (0) & 1 & a + b \end{matrix} |}_{[n]} .

Exercice 5 740 Correction

Soit $θ \in ℝ$ . Calculer pour $n \in ℕ^{*}$

D_{n} = {| \begin{matrix} 2 \cos (θ) & 1 & (0) \\ 1 & ⋱ & ⋱ \\ ⋱ & ⋱ & 1 \\ (0) & 1 & 2 \cos (θ) \end{matrix} |}_{[n]} .

Solution

En développant par rapport à la première colonne, puis par rapport à la première ligne dans le second déterminant on obtient pour $n \geq 2$

D_{n} = 2 \cos (θ) D_{n - 1} - D_{n - 2}

$(D_{n})$ est une suite récurrente linéaire d’ordre $2$ d’équation caractéristique

r^{2} - 2 \cos (θ) r + 1 = 0

de racines $e^{i θ}$ et $e^{- i θ}$ .

Cas: $θ ≢ 0 [π]$ . On écrit $D_{n} = λ \cos (n θ) + μ \sin (n θ)$ . Les conditions $D_{0} = 1$ et $D_{1} = 2 \cos (θ)$ donnent

{\begin{matrix} λ & = 1 \\ λ \cos (θ) + μ \sin (θ) & = 2 \cos (θ) \end{matrix}

puis

{\begin{matrix} λ & = 1 \\ μ & = 1 / \tan (θ) . \end{matrix}

Ainsi,

D_{n} = \frac{\sin ((n + 1) θ)}{\sin (θ)} .

Cas: $θ \equiv 0 [2 π]$ . $D_{n} = λ n + μ$ . $D_{0} = 1$ et $D_{1} = 2$ donnent

D_{n} = n + 1 .

Cas: $θ \equiv π [2 π]$ . $D_{n} = (λ n + μ) {(- 1)}^{n}$ . $D_{0} = 1$ et $D_{1} = - 2$ donnent

D_{n} = {(- 1)}^{n} (n + 1) .

Exercice 6 741 Correction

Calculer

D_{n} = {| \begin{matrix} 0 & 1 & (0) \\ n & 0 & 2 \\ n - 1 & ⋱ & ⋱ \\ ⋱ & ⋱ & n \\ (0) & 1 & 0 \end{matrix} |}_{[n + 1]} .

Solution

En développant selon la première colonne, puis la première ligne et en recommençant: $D_{n} = (- n) \times 1 \times (2 - n) \times 3$ etc.

Cas: $n$ est pair. Le développement s’arrête sur le calcul de

| \begin{matrix} n - 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} | = 0 .

Cas: $n$ est impair. Le développement s’arrête par l’étape

| \begin{matrix} 0 & n - 2 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & n - 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & n \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} | = - 3 | \begin{matrix} n - 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & n \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} | = - 3 (n - 2) | \begin{matrix} 0 & n \\ 1 & n \end{matrix} | = 3 n (n - 2) .

En écrivant $n = 2 p + 1$ , on parvient à

D_{n} = {(- 1)}^{p + 1} {(1 \times 3 \times \dots \times (2 p + 1))}^{2} = {(- 1)}^{p + 1} {(\frac{(2 p + 1)!}{2^{p} p!})}^{2} .

Édité le 29-08-2023

Calculs de déterminants tridiagonaux