[<] Déterminant d'une matrice carrée [>] Calculs de déterminants avancés

 
Exercice 1  5169  
  • (a)

    Calculer les déterminants des matrices suivantes:

    A=(123456789),B=(11-11111-11-11-11111)etC=(111110-111-10111-11).
  • (b)

    Parmi celles-ci, lesquelles sont inversibles?

 
Exercice 2  4448  

Calculer les déterminants d’ordre n* suivants:

  • (a)

    An=|1nnnn2nnn3nnnnnn|

  • (b)

    Bn=|111112221233123n|

  • (c)

    Cn=|101111011100111|[n]

  • (d)

    Dn=|110001100111001|[n].

 
Exercice 3  1418  Correction  

Calculer sous forme factorisée les déterminants suivants:

  • (a)

    |0aba0cbc0|

  • (b)

    |abccabbca|

  • (c)

    |a+bb+cc+aa2+b2b2+c2c2+a2a3+b3b3+c3c3+a3|

  • (d)

    |aaaaabbbabccabcd|

  • (e)

    |accbcabccbacbcca|

  • (f)

    |111cos(a)cos(b)cos(c)sin(a)sin(b)sin(c)|.

Solution

  • (a)

    En développant selon la première ligne,

    |0aba0cbc0|=-a|acb0|+b|a0bc|=abc+abc=2abc.
  • (b)

    En sommant les colonnes sur la première et en factorisant

    |abccabbca|=(a+b+c)|1bc1ab1ca|.

    En retirant la première ligne aux suivante et en développant sur la première colonne

    |abccabbca|=(a+b+c)|a-bb-cc-aa-b|=(a+b+c)(a2+b2+c2-(ab+bc+ca)).
  • (c)

    En retranchant la première colonne aux suivantes puis en sommant les colonnes sur la première

    D =|a+bb+cc+aa2+b2b2+c2c2+a2a3+b3b3+c3c3+a3|
    =|a+bc-ac-ba2+b2c2-a2c2-b2a3+b3c3-a3c3-b3|=|2cc-ac-b2c2c2-a2c2-b22c3c3-a3c3-b3|.

    En factorisant par 2 puis en retranchant la première colonne aux suivantes

    D=2|c-a-bc2-a2-b2c3-a3-b3|.

    Enfin en factorisant on se ramène à un déterminant de Vandermonde

    D=2abc|111cabc2a2b2|=2abc|1110a-cb-c0a2-c2b2-c2|.

    Finalement,

    D=2abc(a-c)(b-c)|11a+cb+c|=2abc(a-c)(b-c)(b-a).
  • (d)

    En retranchant à chaque ligne la précédente (en commençant par la dernière)

    D=|aaaaabbbabccabcd|=|aaaa0b-ab-ab-a00c-bc-b000d-c|=a(b-a)(c-b)(d-c).
  • (e)

    En sommant toutes les colonnes sur la première et en factorisant

    D=|accbcabccbacbcca|=|a+b+2cccba+b+2cabca+b+2cbaca+b+2ccca|=(a+b+2c)|1ccb1abc1bac1cca|.

    En retranchant la première ligne aux suivantes et en factorisant

    D=(a+b+2c)|1ccb0a-cb-cc-b0b-ca-cc-b000a-b|

    donc

    D=(a+b+2c)(a-b)|a-cb-cb-ca-c|=(a+b+2c)(a-b)((a-c)2-(b-c)2)

    puis

    D=(a+b+2c)(a-b)2(a+b-2c).
  • (f)

    En retirant la première colonne aux suivantes

    D=|111cos(a)cos(b)cos(c)sin(a)sin(b)sin(c)|=|100cos(a)cos(b)-cos(a)cos(c)-cos(a)sin(a)sin(b)-sin(a)sin(c)-sin(a)|.

    Par la formule de factorisation

    cos(p)-cos(q)=-2sin(p+q2)sin(p-q2).
    D=-4sin(b-a2)sin(c-a2)|sin(b+a2)sin(c+a2)cos(b+a2)cos(c+a2)|

    puis

    D=-4sin(b-a2)sin(c-a2)sin(b-c2).
 
Exercice 4  3377    CCP (PC)Correction  
  • (a)

    Calculer

    |abca2b2c2a3b3c3|.
  • (b)

    En déduire

    |a+bb+cc+aa2+b2b2+c2c2+a2a3+b3b3+c3c3+a3|.

Solution

  • (a)

    En factorisant les colonnes

    |abca2b2c2a3b3c3|=abc|111abca2b2c2|.

    En retranchant à chaque ligne a fois la précédente

    |abca2b2c2a3b3c3|=abc|1110b-ac-a0b(b-a)c(c-a)|

    et enfin en développant

    |abca2b2c2a3b3c3|=abc(b-a)(c-a)(c-b).
  • (b)

    En séparant la première colonne en deux

    |a+bb+cc+aa2+b2b2+c2c2+a2a3+b3b3+c3c3+a3|=|ab+cc+aa2b2+c2c2+a2a3b3+c3c3+a3|+|bb+cc+ab2b2+c2c2+a2b3b3+c3c3+a3|.

    Puis en procédant à des combinaisons judicieuses sur les colonnes

    |a+bb+cc+aa2+b2b2+c2c2+a2a3+b3b3+c3c3+a3|=|abca2b2c2a3b3c3|+|bcab2c2a2b3c3a3|.

    Enfin, par permutation des colonnes dans le deuxième déterminant

    |a+bb+cc+aa2+b2b2+c2c2+a2a3+b3b3+c3c3+a3|=2|abca2b2c2a3b3c3|=2abc(b-a)(c-a)(c-b).
 
Exercice 5  4450  

Soient a,b,c trois réels. Exprimer sous forme factorisée

|abca2b2c2a4b4c4| puis |a+bb+cc+aa2+b2b2+c2c2+a2a4+b4b4+c4c4+a4|.
 
Exercice 6  1420  Correction  

Soient a1,a2,,an𝕂. Calculer

|a1a2ana2(a1)a1|.

Solution

|a1a2ana2(a1)a1|=|a1-a2*a1-a2(0)a1|=a1(a1-a2)n-1 via {C1C1-C2C2C2-C3Cn-1Cn-1-Cn.
 
Exercice 7  1421  Correction  

Soit n*. Calculer

|S1S1S1S1S1S2S2S2S1S2S3S3S1S2S3Sn|

où pour tout 1kn on a

Sk=i=1ki.

Solution

Via LnLn-Ln-1,Ln-1Ln-1-Ln-2,,L3L3-L2,L2L2-L1 (dans cet ordre)

|S1S1S1S1S1S2S2S2S1S2S3S3S1S2S3Sn|=|S1S1S12233(0)n|=n!
 
Exercice 8  1419  Correction  

Soient a1,,an. Calculer det(amax(i,j)).
En déduire en particulier det(max(i,j)) et det(min(i,j)).

Solution

det(amax(i,j))=|a1a2a3ana2a2a3ana3a3a3ananananan|.

En retranchant à chaque colonne la précédente (en commençant par la première)

det(amax(i,j))=|a1-a2a2-a3an-1-anan0a2-a3an-1-anan0an-1-anan(0)0an|

et donc

det(amax(i,j))=(a1-a2)(a2-a3)(an-1-an)an.

Pour ai=i,

det(amax(i,j))=(-1)n-1n.

Pour ai=n+1-i,

det(amin(i,j))=1.
 
Exercice 9  4451  

Soient n* et a,b𝕂. Calculer

|a(b)(b)a|[n].
 
Exercice 10  3366     CCP (MP)Correction  

Montrer

Dn=|1nn-12213n-11nnn-121|=(-1)n+1(n+1)nn-12.

Solution

En sommant toutes les colonnes sur la première

Dn=n(n+1)2|1nn-121132n1n-121|.

En retranchant à chaque ligne la précédente (en commençant par la fin)

Dn=n(n+1)2|1nn-1201-n11110111-n|.

On développe selon la première colonne et l’on se ramène à

Dn=n(n+1)2|a(b)(b)a|[n-1]

avec a=1-n et b=1. La poursuite du calcul donne alors

Dn=n(n+1)2(-1)n-1nn-2

d’où la formule proposée.

 
Exercice 11  4452  

Soient n* et a1,,an des réels. Calculer det(sin(ai+aj))1i,jn.

 
Exercice 12  4965     MINES (PSI)

Soient n2 et a1,,an des réels tous non nuls. Calculer le déterminant de

M=(aiaj+ajai)1i,jnn().
 
Exercice 13  4456   

Soit n. Calculer le déterminant de la matrice A=(ai,j)0i,jn de coefficient général le coefficient binomial

ai,j=(i+jj)pour tous i,j0;n.

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Édité le 08-11-2019

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