[<] Déterminant d'une matrice carrée [>] Calculs de déterminants avancés
Calculer les déterminants des matrices suivantes:
Parmi celles-ci, lesquelles sont inversibles?
Calculer les déterminants d’ordre suivants:
.
Calculer sous forme factorisée les déterminants suivants:
.
Solution
En développant selon la première ligne,
En sommant les colonnes sur la première et en factorisant
En retirant la première ligne aux suivante et en développant sur la première colonne
En retranchant la première colonne aux suivantes puis en sommant les colonnes sur la première
En factorisant par 2 puis en retranchant la première colonne aux suivantes
Enfin en factorisant on se ramène à un déterminant de Vandermonde
Finalement,
En retranchant à chaque ligne la précédente (en commençant par la dernière)
En sommant toutes les colonnes sur la première et en factorisant
En retranchant la première ligne aux suivantes et en factorisant
donc
puis
En retirant la première colonne aux suivantes
Par la formule de factorisation
puis
Calculer
En déduire
Solution
En factorisant les colonnes
En retranchant à chaque ligne fois la précédente
et enfin en développant
En séparant la première colonne en deux
Puis en procédant à des combinaisons judicieuses sur les colonnes
Enfin, par permutation des colonnes dans le deuxième déterminant
Soient trois réels. Exprimer sous forme factorisée
Soient . Calculer .
En déduire en particulier et .
Solution
En retranchant à chaque colonne la précédente (en commençant par la première)
et donc
Pour ,
Pour ,
Soient et . Calculer
Montrer
Solution
En sommant toutes les colonnes sur la première
En retranchant à chaque ligne la précédente (en commençant par la fin)
On développe selon la première colonne et l’on se ramène à
avec et . La poursuite du calcul donne alors
d’où la formule proposée.
Soient et des réels. Calculer .
Soient et des réels tous non nuls. Calculer le déterminant de
Soit . Calculer le déterminant de la matrice de coefficient général le coefficient binomial
[<] Déterminant d'une matrice carrée [>] Calculs de déterminants avancés
Édité le 29-08-2023
Bootstrap 3
-
LaTeXML
-
Powered by MathJax