Exercice 1 5169

(a)

Calculer les déterminants des matrices suivantes:

$A = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}), B = (\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix}) et C = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 & 1 \end{matrix}) .$
(b)

Parmi celles-ci, lesquelles sont inversibles?

Exercice 2 4448

Calculer les déterminants d’ordre $n \in ℕ^{*}$ suivants:

(a)

$A_{n} = | \begin{matrix} 1 & n & n & \dots & n \\ n & 2 & n & ⋱ & ⋮ \\ n & n & 3 & ⋱ & n \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & n \\ n & \dots & n & n & n \end{matrix} |$
(b)

$B_{n} = | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 2 & 2 & \dots & 2 \\ 1 & 2 & 3 & \dots & 3 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 1 & 2 & 3 & \dots & n \end{matrix} |$
(c)

$C_{n} = {| \begin{matrix} 1 & 0 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 1 & 0 & ⋱ & ⋮ \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & 1 \\ 1 & ⋱ & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 1 & 1 \end{matrix} |}_{[n]}$
(d)

$D_{n} = {| \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & 1 & ⋱ & ⋮ \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & 0 \\ 0 & ⋱ & 1 & 1 \\ 1 & 0 & \dots & 0 & 1 \end{matrix} |}_{[n]}$ .

Exercice 3 1418 Correction

Calculer sous forme factorisée les déterminants suivants:

(a)

$| \begin{matrix} 0 & a & b \\ a & 0 & c \\ b & c & 0 \end{matrix} |$
(b)

$| \begin{matrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{matrix} |$
(c)

$| \begin{matrix} a + b & b + c & c + a \\ a^{2} + b^{2} & b^{2} + c^{2} & c^{2} + a^{2} \\ a^{3} + b^{3} & b^{3} + c^{3} & c^{3} + a^{3} \end{matrix} |$
(d)

$| \begin{matrix} a & a & a & a \\ a & b & b & b \\ a & b & c & c \\ a & b & c & d \end{matrix} |$
(e)

$| \begin{matrix} a & c & c & b \\ c & a & b & c \\ c & b & a & c \\ b & c & c & a \end{matrix} |$
(f)

$| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ \cos (a) & \cos (b) & \cos (c) \\ \sin (a) & \sin (b) & \sin (c) \end{matrix} |$ .

Solution

(a)

En développant selon la première ligne,

$| \begin{matrix} 0 & a & b \\ a & 0 & c \\ b & c & 0 \end{matrix} | = - a | \begin{matrix} a & c \\ b & 0 \end{matrix} | + b | \begin{matrix} a & 0 \\ b & c \end{matrix} | = a b c + a b c = 2 a b c .$
(b)

En sommant les colonnes sur la première et en factorisant

$| \begin{matrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{matrix} | = (a + b + c) | \begin{matrix} 1 & b & c \\ 1 & a & b \\ 1 & c & a \end{matrix} | .$

En retirant la première ligne aux suivante et en développant sur la première colonne

$| \begin{matrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{matrix} | = (a + b + c) | \begin{matrix} a - b & b - c \\ c - a & a - b \end{matrix} | = (a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - (a b + b c + c a)) .$
(c)

En retranchant la première colonne aux suivantes puis en sommant les colonnes sur la première

$D$ $= | \begin{matrix} a + b & b + c & c + a \\ a^{2} + b^{2} & b^{2} + c^{2} & c^{2} + a^{2} \\ a^{3} + b^{3} & b^{3} + c^{3} & c^{3} + a^{3} \end{matrix} |$

$= | \begin{matrix} a + b & c - a & c - b \\ a^{2} + b^{2} & c^{2} - a^{2} & c^{2} - b^{2} \\ a^{3} + b^{3} & c^{3} - a^{3} & c^{3} - b^{3} \end{matrix} | = | \begin{matrix} 2 c & c - a & c - b \\ 2 c^{2} & c^{2} - a^{2} & c^{2} - b^{2} \\ 2 c^{3} & c^{3} - a^{3} & c^{3} - b^{3} \end{matrix} | .$

En factorisant par 2 puis en retranchant la première colonne aux suivantes

$D = 2 | \begin{matrix} c & - a & - b \\ c^{2} & - a^{2} & - b^{2} \\ c^{3} & - a^{3} & - b^{3} \end{matrix} | .$

Enfin en factorisant on se ramène à un déterminant de Vandermonde

$D = 2 a b c | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ c & a & b \\ c^{2} & a^{2} & b^{2} \end{matrix} | = 2 a b c | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & a - c & b - c \\ 0 & a^{2} - c^{2} & b^{2} - c^{2} \end{matrix} | .$

Finalement,

$D = 2 a b c (a - c) (b - c) | \begin{matrix} 1 & 1 \\ a + c & b + c \end{matrix} | = 2 a b c (a - c) (b - c) (b - a) .$
(d)

En retranchant à chaque ligne la précédente (en commençant par la dernière)

$D = | \begin{matrix} a & a & a & a \\ a & b & b & b \\ a & b & c & c \\ a & b & c & d \end{matrix} | = | \begin{matrix} a & a & a & a \\ 0 & b - a & b - a & b - a \\ 0 & 0 & c - b & c - b \\ 0 & 0 & 0 & d - c \end{matrix} | = a (b - a) (c - b) (d - c) .$
(e)

En sommant toutes les colonnes sur la première et en factorisant

$D = | \begin{matrix} a & c & c & b \\ c & a & b & c \\ c & b & a & c \\ b & c & c & a \end{matrix} | = | \begin{matrix} a + b + 2 c & c & c & b \\ a + b + 2 c & a & b & c \\ a + b + 2 c & b & a & c \\ a + b + 2 c & c & c & a \end{matrix} | = (a + b + 2 c) | \begin{matrix} 1 & c & c & b \\ 1 & a & b & c \\ 1 & b & a & c \\ 1 & c & c & a \end{matrix} | .$

En retranchant la première ligne aux suivantes et en factorisant

$D = (a + b + 2 c) | \begin{matrix} 1 & c & c & b \\ 0 & a - c & b - c & c - b \\ 0 & b - c & a - c & c - b \\ 0 & 0 & 0 & a - b \end{matrix} |$

donc

$D = (a + b + 2 c) (a - b) | \begin{matrix} a - c & b - c \\ b - c & a - c \end{matrix} | = (a + b + 2 c) (a - b) ({(a - c)}^{2} - {(b - c)}^{2})$

puis

$D = (a + b + 2 c) {(a - b)}^{2} (a + b - 2 c) .$
(f)

En retirant la première colonne aux suivantes

$D = | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ \cos (a) & \cos (b) & \cos (c) \\ \sin (a) & \sin (b) & \sin (c) \end{matrix} | = | \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ \cos (a) & \cos (b) - \cos (a) & \cos (c) - \cos (a) \\ \sin (a) & \sin (b) - \sin (a) & \sin (c) - \sin (a) \end{matrix} | .$

Par la formule de factorisation

$\cos (p) - \cos (q) = - 2 \sin (\frac{p + q}{2}) \sin (\frac{p - q}{2}) .$

$D = - 4 \sin (\frac{b - a}{2}) \sin (\frac{c - a}{2}) | \begin{matrix} \sin (\frac{b + a}{2}) & \sin (\frac{c + a}{2}) \\ \cos (\frac{b + a}{2}) & \cos (\frac{c + a}{2}) \end{matrix} |$

puis

$D = - 4 \sin (\frac{b - a}{2}) \sin (\frac{c - a}{2}) \sin (\frac{b - c}{2}) .$

Exercice 4 3377 CCP (PC)Correction

(a)

Calculer

$| \begin{matrix} a & b & c \\ a^{2} & b^{2} & c^{2} \\ a^{3} & b^{3} & c^{3} \end{matrix} | .$
(b)

En déduire

$| \begin{matrix} a + b & b + c & c + a \\ a^{2} + b^{2} & b^{2} + c^{2} & c^{2} + a^{2} \\ a^{3} + b^{3} & b^{3} + c^{3} & c^{3} + a^{3} \end{matrix} | .$

Solution

(a)

En factorisant les colonnes

$| \begin{matrix} a & b & c \\ a^{2} & b^{2} & c^{2} \\ a^{3} & b^{3} & c^{3} \end{matrix} | = a b c | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^{2} & b^{2} & c^{2} \end{matrix} | .$

En retranchant à chaque ligne $a$ fois la précédente

$| \begin{matrix} a & b & c \\ a^{2} & b^{2} & c^{2} \\ a^{3} & b^{3} & c^{3} \end{matrix} | = a b c | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & b - a & c - a \\ 0 & b (b - a) & c (c - a) \end{matrix} |$

et enfin en développant

$| \begin{matrix} a & b & c \\ a^{2} & b^{2} & c^{2} \\ a^{3} & b^{3} & c^{3} \end{matrix} | = a b c (b - a) (c - a) (c - b) .$
(b)

En séparant la première colonne en deux

$| \begin{matrix} a + b & b + c & c + a \\ a^{2} + b^{2} & b^{2} + c^{2} & c^{2} + a^{2} \\ a^{3} + b^{3} & b^{3} + c^{3} & c^{3} + a^{3} \end{matrix} | = | \begin{matrix} a & b + c & c + a \\ a^{2} & b^{2} + c^{2} & c^{2} + a^{2} \\ a^{3} & b^{3} + c^{3} & c^{3} + a^{3} \end{matrix} | + | \begin{matrix} b & b + c & c + a \\ b^{2} & b^{2} + c^{2} & c^{2} + a^{2} \\ b^{3} & b^{3} + c^{3} & c^{3} + a^{3} \end{matrix} | .$

Puis en procédant à des combinaisons judicieuses sur les colonnes

$| \begin{matrix} a + b & b + c & c + a \\ a^{2} + b^{2} & b^{2} + c^{2} & c^{2} + a^{2} \\ a^{3} + b^{3} & b^{3} + c^{3} & c^{3} + a^{3} \end{matrix} | = | \begin{matrix} a & b & c \\ a^{2} & b^{2} & c^{2} \\ a^{3} & b^{3} & c^{3} \end{matrix} | + | \begin{matrix} b & c & a \\ b^{2} & c^{2} & a^{2} \\ b^{3} & c^{3} & a^{3} \end{matrix} | .$

Enfin, par permutation des colonnes dans le deuxième déterminant

$| \begin{matrix} a + b & b + c & c + a \\ a^{2} + b^{2} & b^{2} + c^{2} & c^{2} + a^{2} \\ a^{3} + b^{3} & b^{3} + c^{3} & c^{3} + a^{3} \end{matrix} | = 2 | \begin{matrix} a & b & c \\ a^{2} & b^{2} & c^{2} \\ a^{3} & b^{3} & c^{3} \end{matrix} | = 2 a b c (b - a) (c - a) (c - b) .$

Exercice 5 4450

Soient $a, b, c$ trois réels. Exprimer sous forme factorisée

| \begin{matrix} a & b & c \\ a^{2} & b^{2} & c^{2} \\ a^{4} & b^{4} & c^{4} \end{matrix} | puis | \begin{matrix} a + b & b + c & c + a \\ a^{2} + b^{2} & b^{2} + c^{2} & c^{2} + a^{2} \\ a^{4} + b^{4} & b^{4} + c^{4} & c^{4} + a^{4} \end{matrix} | .

Exercice 6 1420 Correction

Soient $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} \in 𝕂$ . Calculer

| \begin{matrix} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{n} \\ ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ ⋱ & a_{2} \\ (a_{1}) & a_{1} \end{matrix} | .

Solution

| \begin{matrix} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{n} \\ ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ ⋱ & a_{2} \\ (a_{1}) & a_{1} \end{matrix} | = | \begin{matrix} a_{1} - a_{2} & * \\ ⋱ \\ a_{1} - a_{2} \\ (0) & a_{1} \end{matrix} | = a_{1} {(a_{1} - a_{2})}^{n - 1} via {\begin{matrix} C_{1} & \leftarrow C_{1} - C_{2} \\ C_{2} & \leftarrow C_{2} - C_{3} \\ ⋮ \\ C_{n - 1} & \leftarrow C_{n - 1} - C_{n} . \end{matrix}

Exercice 7 1421 Correction

Soit $n \in ℕ^{*}$ . Calculer

| \begin{matrix} S_{1} & S_{1} & S_{1} & \dots & S_{1} \\ S_{1} & S_{2} & S_{2} & \dots & S_{2} \\ S_{1} & S_{2} & S_{3} & \dots & S_{3} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ S_{1} & S_{2} & S_{3} & \dots & S_{n} \end{matrix} |

où pour tout $1 \leq k \leq n$ on a

S_{k} = \sum_{i = 1}^{k} i .

Solution

Via $L_{n} \leftarrow L_{n} - L_{n - 1}, L_{n - 1} \leftarrow L_{n - 1} - L_{n - 2}, \dots, L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{2}, L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1}$ (dans cet ordre)

| \begin{matrix} S_{1} & S_{1} & S_{1} & \dots & S_{1} \\ S_{1} & S_{2} & S_{2} & \dots & S_{2} \\ S_{1} & S_{2} & S_{3} & \dots & S_{3} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ S_{1} & S_{2} & S_{3} & \dots & S_{n} \end{matrix} | = | \begin{matrix} S_{1} & S_{1} & \dots & \dots & S_{1} \\ 2 & \dots & \dots & 2 \\ 3 & \dots & 3 \\ (0) & ⋱ & ⋮ \\ n \end{matrix} | = n!

Exercice 8 1419 Correction

Soient $a_{1}, \dots, a_{n} \in ℂ$ . Calculer $\det (a_{\max (i, j)})$ .
En déduire en particulier $\det (\max (i, j))$ et $\det (\min (i, j))$ .

Solution

\det (a_{\max (i, j)}) = | \begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} & \dots & a_{n} \\ a_{2} & a_{2} & a_{3} & \dots & a_{n} \\ a_{3} & a_{3} & a_{3} & \dots & a_{n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n} & a_{n} & a_{n} & \dots & a_{n} \end{matrix} | .

En retranchant à chaque colonne la précédente (en commençant par la première)

\det (a_{\max (i, j)}) = | \begin{matrix} a_{1} - a_{2} & a_{2} - a_{3} & \dots & a_{n - 1} - a_{n} & a_{n} \\ 0 & a_{2} - a_{3} & a_{n - 1} - a_{n} & a_{n} \\ 0 & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ ⋱ & a_{n - 1} - a_{n} & a_{n} \\ (0) & 0 & a_{n} \end{matrix} |

et donc

\det (a_{\max (i, j)}) = (a_{1} - a_{2}) (a_{2} - a_{3}) \dots (a_{n - 1} - a_{n}) a_{n} .

Pour $a_{i} = i$ ,

\det (a_{\max (i, j)}) = {(- 1)}^{n - 1} n .

Pour $a_{i} = n + 1 - i$ ,

\det (a_{\min (i, j)}) = 1 .

Exercice 9 4451

Soient $n \in ℕ^{*}$ et $a, b \in 𝕂$ . Calculer

{| \begin{matrix} a & (b) \\ ⋱ \\ (b) & a \end{matrix} |}_{[n]} .

Exercice 10 3366 CCP (MP)Correction

Montrer

D_{n} = | \begin{matrix} 1 & n & n - 1 & \dots & 2 \\ 2 & 1 & ⋱ & 3 \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ n - 1 & ⋱ & 1 & n \\ n & n - 1 & \dots & 2 & 1 \end{matrix} | = {(- 1)}^{n + 1} \frac{(n + 1) n^{n - 1}}{2} .

Solution

En sommant toutes les colonnes sur la première

D_{n} = \frac{n (n + 1)}{2} | \begin{matrix} 1 & n & n - 1 & \dots & 2 \\ 1 & 1 & ⋱ & 3 \\ ⋮ & 2 & ⋱ & ⋮ \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋱ & n \\ 1 & n - 1 & \dots & 2 & 1 \end{matrix} | .

En retranchant à chaque ligne la précédente (en commençant par la fin)

D_{n} = \frac{n (n + 1)}{2} | \begin{matrix} 1 & n & n - 1 & \dots & 2 \\ 0 & 1 - n & 1 & \dots & 1 \\ ⋮ & 1 & ⋱ & ⋮ \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋱ & 1 \\ 0 & 1 & \dots & 1 & 1 - n \end{matrix} | .

On développe selon la première colonne et l’on se ramène à

D_{n} = \frac{n (n + 1)}{2} {| \begin{matrix} a & (b) \\ ⋱ \\ (b) & a \end{matrix} |}_{[n - 1]}

avec $a = 1 - n$ et $b = 1$ . La poursuite du calcul donne alors

D_{n} = \frac{n (n + 1)}{2} {(- 1)}^{n - 1} n^{n - 2}

d’où la formule proposée.

Exercice 11 4452

Soient $n \in ℕ^{*}$ et $a_{1}, \dots, a_{n}$ des réels. Calculer $\det {(\sin (a_{i} + a_{j}))}_{1 \leq i, j \leq n}$ .

Exercice 12 4965 MINES (PSI)

Soient $n \geq 2$ et $a_{1}, \dots, a_{n}$ des réels tous non nuls. Calculer le déterminant de

M = {(\frac{a_{i}}{a_{j}} + \frac{a_{j}}{a_{i}})}_{1 \leq i, j \leq n} \in ℳ_{n} (ℝ) .

Exercice 13 4456

Soit $n \in ℕ$ . Calculer le déterminant de la matrice $A = {(a_{i, j})}_{0 \leq i, j \leq n}$ de coefficient général le coefficient binomial

a_{i, j} = (\binom{i + j}{j}) pour tous i, j \in ⟦ 0; n ⟧ .

	$D$	$= \| \begin{matrix} a + b & b + c & c + a \\ a^{2} + b^{2} & b^{2} + c^{2} & c^{2} + a^{2} \\ a^{3} + b^{3} & b^{3} + c^{3} & c^{3} + a^{3} \end{matrix} \|$
		$= \| \begin{matrix} a + b & c - a & c - b \\ a^{2} + b^{2} & c^{2} - a^{2} & c^{2} - b^{2} \\ a^{3} + b^{3} & c^{3} - a^{3} & c^{3} - b^{3} \end{matrix} \| = \| \begin{matrix} 2 c & c - a & c - b \\ 2 c^{2} & c^{2} - a^{2} & c^{2} - b^{2} \\ 2 c^{3} & c^{3} - a^{3} & c^{3} - b^{3} \end{matrix} \| .$

Calculs de déterminants élémentaires