[<] Formes multilinéaires alternées [>] Déterminant d'une famille de vecteurs

 
Exercice 1  5170  

Calculer le déterminant de l’endomorphisme f de 3 défini par

f(x,y,z)=(y+z,x+z,x+y)pour tout (x,y,z)3.

Cet endomorphisme est-il inversible?

 
Exercice 2  4459  

Pour P polynôme de 2n+1[X], on pose

f(P)=(2n+1)XP-(X2-1)P.
  • (a)

    Vérifier que f définit un endomorphisme de 2n+1[X].

  • (b)

    Calculer le déterminant de f.

 
Exercice 3  1412   Correction  

Soit V={xexP(x)|Pn[X]}.

  • (a)

    Montrer que V est un sous-espace vectoriel de (,) dont on déterminera la dimension.

  • (b)

    Montrer que l’application D:ff est un endomorphisme de V dont on calculera le déterminant.

Solution

  • (a)

    Il est clair que V est un sous-espace vectoriel de (,).

    On pose fk: définie par fk(x)=xkex. La famille =(f0,,fn) est une base de V et, donc dimV=n+1.

  • (b)

    Pour f(x)=P(x)ex on a

    D(f)(x)=f(x)=(P(x)+P(x))ex.

    D est bien une application de V vers V. De plus, la linéarité de D découle de la linéarité de la dérivation et l’on peut conclure D(V).

    Puisque

    ddx(xkex)=(xk+kxk-1)ex

    on a D(fk)=fk+kfk-1 donc

    Mat(D)=(110n01).

    Par suite,

    det(D)=1×1××1=1.
 
Exercice 4  3071     CENTRALE (PC)Correction  

Soit f un endomorphisme du -espace vectoriel .

  • (a)

    Montrer qu’il existe d’uniques complexes a,b tels que

    z,f(z)=az+bz¯.
  • (b)

    Exprimer en fonction de a et b le déterminant de f.

Solution

  • (a)

    La famille (1,i) est une base du -espace vectoriel .
    Pour a,b, l’application φa,b:zaz+bz¯ est -linéaire et sa matrice dans la base (1,i) est

    (Re(a)+Re(b)Im(b)-Im(a)Im(a)+Im(b)Re(a)-Re(b)).

    Pour f endomorphisme du -espace vectoriel de matrice

    (αγβδ)

    dans la base (1,i), on a f=φa,b si, et seulement si,

    {Re(a)+Re(b)=αIm(a)+Im(b)=βIm(b)-Im(a)=γRe(a)-Re(b)=δ.

    Ce système possède une unique solution qui est

    a=α+δ2+iβ-γ2 et b=α-δ2+iβ+γ2.
  • (b)

    Le déterminant de f vaut

    det(f)=αδ-βγ=|a|2-|b|2.
 
Exercice 5  4461   

Soit An(𝕂). Calculer déterminant et trace de l’endomorphisme f de n(𝕂) défini par f(M)=AM.

 
Exercice 6  3641    Correction  

Soit A=(ai,j)n() vérifiant

i{1,,n},|ai,i|>ji|ai,j|.
  • (a)

    Montrer que A est inversible.

  • (b)

    On suppose en outre

    i{1,,n},ai,i>0.

    Montrer que det(A)>0.

Solution

  • (a)

    Notons C1,,Cn les colonnes de A et supposons

    λ1C1++λnCn=0.

    Si m=max(|λ1|,,|λn|)0 alors, puisque pour tout 1in,

    j=1nλjai,j=0

    on obtient

    |λi|ji|λj||ai,j||ai,i|mji|ai,j||ai,i|<m

    ce qui est absurde compte tenu de la définition de m.
    Par suite, la famille (C1,,Cn) est libre et donc A inversible.

  • (b)

    Considérons l’application f:xdet(A+xIn).
    La fonction f est clairement polynomiale de monôme dominant xn, elle est donc continue et de limite + quand x+.
    De plus, le résultat précédent s’applique à la matrice A+xIn pour tout x0 et donc f(x)0 sur [0;+[.
    Par continuité, la fonction f ne peut prendre de valeurs 0 et donc

    x0,f(x)>0.

    En particulier det(A)=f(0)>0.

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Édité le 08-11-2019

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