Il est clair que $V$ est un sous-espace vectoriel de $ℱ(ℝ,ℝ)$.

On pose $f_k:ℝ\to ℝ$ définie par $f_k(x)=x^k{\mathrm{e}}^x$. La famille $ℬ=(f_0,\mathrm{\dots },f_n)$ est une base de $V$ et, donc $dimV=n+1$.

Pour $f(x)=P(x){\mathrm{e}}^x$ on a

$$\mathrm{D}(f)(x)=f^{\prime }(x)=\left(P(x)+P^{\prime }(x)\right){\mathrm{e}}^x$$

$\mathrm{D}$ est bien une application de $V$ vers $V$. De plus, la linéarité de $\mathrm{D}$ découle de la linéarité de la dérivation et l’on peut conclure $\mathrm{D}\in ℒ(V)$.

Puisque

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^k{\mathrm{e}}^x\right)=\left(x^k+k{x}^{k-1}\right){\mathrm{e}}^x$$

on a $\mathrm{D}(f_k)=f_k+k{f}_{k-1}$ donc

$${\mathrm{Mat}}_{ℬ}(\mathrm{D})=\left(\begin{array}{cccc}\hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill \hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \hfill \\ \hfill \hfill & \hfill \hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill n\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill \hfill & \hfill \hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right)\text{.}$$

Par suite,

$$\det (\mathrm{D})=1\times 1\times \mathrm{\cdots }\times 1=1\text{.}$$

La famille $(1,i)$ est une base du $ℝ$-espace vectoriel $ℂ$.
Pour $a,b\in ℂ$, l’application ${\phi }_{a,b}:z\mapsto az+b\overline{z}$ est $ℝ$-linéaire et sa matrice dans la base $(1,i)$ est

$$\left(\begin{array}{cc}\hfill \mathrm{Re}(a)+\mathrm{Re}(b)\hfill & \hfill \mathrm{Im}(b)-\mathrm{Im}(a)\hfill \\ \hfill \mathrm{Im}(a)+\mathrm{Im}(b)\hfill & \hfill \mathrm{Re}(a)-\mathrm{Re}(b)\hfill \end{array}\right)\text{.}$$

Pour $f$ endomorphisme du $ℝ$-espace vectoriel $ℂ$ de matrice

$$\left(\begin{array}{cc}\hfill \alpha \hfill & \hfill \gamma \hfill \\ \hfill \beta \hfill & \hfill \delta \hfill \end{array}\right)$$

dans la base $(1,\mathrm{i})$, on a $f={\phi }_{a,b}$ si, et seulement si,

$$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill \mathrm{Re}(a)+\mathrm{Re}(b)& =\alpha \hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill \mathrm{Im}(a)+\mathrm{Im}(b)& =\beta \hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill \mathrm{Im}(b)-\mathrm{Im}(a)& =\gamma \hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill \mathrm{Re}(a)-\mathrm{Re}(b)& =\delta \text{.}\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

Ce système possède une unique solution qui est

$$a=\frac{\alpha +\delta }{2}+\mathrm{i}\frac{\beta -\gamma }{2}\text{ et }b=\frac{\alpha -\delta }{2}+\mathrm{i}\frac{\beta +\gamma }{2}\text{.}$$

Le déterminant de $f$ vaut

$$\det (f)=\alpha \delta -\beta \gamma ={|a|}^2-{|b|}^2\text{.}$$

Notons $C_1,\mathrm{\dots },C_n$ les colonnes de $A$ et supposons

$${\lambda }_1{C}_1+\mathrm{\cdots }+{\lambda }_n{C}_n=0\text{.}$$

Si $m=\max (|{\lambda }_1|,\mathrm{\dots },|{\lambda }_n|)\ne 0$ alors, puisque pour tout $1\le i\le n$,

$$\sum _{j=1}^n{\lambda }_j{a}_{i,j}=0$$

on obtient

$$|{\lambda }_i|\le \frac{{\sum }_{j\ne i}|{\lambda }_j||a_{i,j}|}{|a_{i,i}|}\le m\frac{{\sum }_{j\ne i}|a_{i,j}|}{|a_{i,i}|}<m$$

ce qui est absurde compte tenu de la définition de $m$.
Par suite, la famille $(C_1,\mathrm{\dots },C_n)$ est libre et donc $A$ inversible.

Considérons l’application $f:x\in ℝ\mapsto \det (A+x{\mathrm{I}}_n)$.
La fonction $f$ est clairement polynomiale de monôme dominant $x^n$, elle est donc continue et de limite $+\mathrm{\infty }$ quand $x\to +\mathrm{\infty }$.
De plus, le résultat précédent s’applique à la matrice $A+x{\mathrm{I}}_n$ pour tout $x\ge 0$ et donc $f(x)\ne 0$ sur $[0;+\mathrm{\infty }[$.
Par continuité, la fonction $f$ ne peut prendre de valeurs $\le 0$ et donc

$$\forall x\ge 0,f(x)>0\text{.}$$

En particulier $\det (A)=f(0)>0$.