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Exercice 1  4447  

Décomposer les permutations suivantes en produit de cycles à supports disjoints et en déduire leur signature

  • (a)

    σ=(1234567853782416)

  • (b)

    σ=(1234567886374521)

  • (c)

    σ=(12n-1nnn-121).

 
Exercice 2  2226  Correction  

Déterminer la signature de:

  • (a)

    σ=(1234567835487621)

  • (b)

    σ=(1234567813274856)

Solution

On note I(σ) le nombre d’inversions de la permutation σ:

I(σ)=Card({1i<jn|σ(i)>σ(j)}).

On a ε(σ)=(-1)I(σ) et I(σ) se calcule en dénombrant, pour chaque de terme de la seconde ligne, le nombre de termes inférieurs qui le suit.

  • (a)

    I(σ)=2+3+2+4+3+2+1+0=17 donc ε(σ)=-1.

  • (b)

    I(σ)=0+1+0+3+0+2+0+0=6 donc ε(σ)=1.

 
Exercice 3  2228  Correction  

Soient n2 et τ une transposition de 𝒮n.

  • (a)

    Montrer que l’application στσ est une bijection de 𝒮n vers 𝒮n.

  • (b)

    En déduire le cardinal de l’ensemble 𝒜n formé des permutations de signature 1 élément de 𝒮n.

Solution

  • (a)

    L’application στσ est involutive, donc bijective.

  • (b)

    L’application στσ transforme 𝒜n en 𝒮n𝒜n donc Card(𝒜n)=Card(𝒮n)𝒜n. Or 𝒮n est la réunion disjointe de 𝒜n et de 𝒮n𝒜n donc

    Card(𝒜n)=12Card(𝒮n)=n!2.
 
Exercice 4  2227   Correction  

Soit n*. Déterminer la signature de la permutation suivante:

  • (a)

    σ=(12n-1nnn-121).

  • (b)

    σ=(123nn+1n+22n-12n1352n-1242n-22n).

Solution

On note I(σ) le nombre d’inversions de la permutation σ:

I(σ)=Card({1i<jn|σ(i)>σ(j)}).

On a ε(σ)=(-1)I(σ) et I(σ) se calcule en dénombrant, pour chaque de terme de la seconde ligne, le nombre de termes inférieurs qui le suit.

  • (a)

    I(σ)=(n-1)+(n-2)++1+0=n(n-1)2 donc

    ε(σ)=(-1)n(n-1)2.
  • (b)

    I(σ)=0+1+2++(n-1)+0++0=n(n-1)2 donc

    ε(σ)=(-1)n(n-1)2.
 
Exercice 5  2225  Correction  

Dans 𝒮n avec n2, on considère une permutation σ et un p-cycle:

c=(a1a2ap).

Observer que la permutation σcσ-1 est un p-cycle que l’on précisera.

Solution

Pour x=σ(ai), on a

(σcσ-1)(x)=σ(ai+1)

(en posant ap+1=a1).
Pour x{σ(a1),,σ(ap)}, on a

(σcσ-1)(x)=σσ-1(x)=x

car c(σ-1(x))=σ-1(x) puisque σ-1(x){a1,,ap}.
Ainsi,

σcσ-1=(σ(a1)σ(a2)σ(ap)).
 
Exercice 6  2230   Correction  

Soit n5.
Montrer que si (abc) et (abc) sont deux cycles d’ordre 3 de 𝒮n, alors il existe une permutation σ, paire, telle que

σ(abc)σ-1=(abc).

Solution

Notons que

σ(abc)σ-1=(σ(a)σ(b)σ(c)).

Soit σ:nn une permutation définie par:

σ(a)=a,σ(b)=b et σ(c)=c.

Si σ est paire alors le problème est résolu.
Si σ est impaire alors soit den{a,b,c} (possible car n5) et τ=(de). La permutation στ est paire et satisfait la relation voulue.

 
Exercice 7  2224  Correction  

Soient n un entier supérieur à 2, (i,j){1,2,,n}2 tel que ij et σ𝒮n.
Montrer que σ et τ=(ij) commutent si, et seulement si, {i,j} est stable par σ.

Solution

Si {i,j} est stable par σ alors {σ(i),σ(j)}={i,j}.
On a alors

x{i,j},(στ)(x)=σ(x)=(τσ)(x).

Pour x=i alors (στ)(i)=σ(j)=(τσ)(i) et pour x=j, (στ)(j)=σ(i)=(τσ)(j).
Par suite,

στ=τσ.

Inversement, si στ=τσ alors σ(i)=(στ)(j)=(τσ)(j)=τ(σ(j)).
Puisque τ(σ(j))σ(j) on a σ(j){i,j}.
De même, σ(i){i,j} et donc {i,j} stable par σ.

 
Exercice 8  2231   Correction  

Soient n2 et c la permutation circulaire c=(12n-1n). Déterminer toutes les permutations σ de 𝒮n qui commutent avec c.

Solution

Pour commencer, notons que, pour tout k{1,,n}, ck-1(1)=k et, par conséquent, on a aussi c-(k-1)(k)=1.

Soit σ une permutation commutant avec cn.

Posons k=σ(1){1,2,,n} et s=c-(k-1)σ de sorte que s(1)=1.

Comme σ et c commutent, s et c commutent aussi et l’on a, pour tout 2in,

s=c(i-1)sc-(i-1)

d’où

s(i)=c(i-1)sc-(i-1)(i)=c(i-1)s(1)=σ(i-1)(1)=i

car c-(i-1)(i)=1. Par conséquent, s=Id puis σ=ck.

Inversement, les permutations de la forme ck avec 1kn commutent avec c.

 
Exercice 9  121   Correction  

Soit H l’ensemble des σ𝒮n vérifiant σ(k)+σ(n+1-k)=n+1 pour tout k{1,,n}.
Montrer que H est un sous-groupe de (𝒮n,)

Solution

H𝒮n, IdH. Remarquons, pour tout k{1,,n}, σ(k)=n+1-σ(n+1-k).
Soient σ,σH,

(σσ)(k)=σ(σ(k))=n+1-σ(n+1-σ(k))=n+1-σσ(n+1-k)

donc σσH.
Soit σH. Posons =σ-1(k). On a

σ(n+1-)=n+1-σ()=n+1-k

donc σ-1(n+1-k)=n+1- puis

σ-1(k)+σ-1(n+1-k)=+(n+1-)=n+1.
 
Exercice 10  4196    

(Inégalités de réordonnement)

Soient a1,,an et b1,,bn des réels triés par ordre croissant:

a1a2anetb1b2bn.

Déterminer

minσ𝒮n(i=1naibσ(i))etmaxσ𝒮n(i=1naibσ(i)).

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Édité le 08-11-2019

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