Exercice 1 4447

Décomposer les permutations suivantes en produit de cycles à supports disjoints et en déduire leur signature

(a)

$σ = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 5 & 3 & 7 & 8 & 2 & 4 & 1 & 6 \end{matrix})$
(b)

$σ = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 8 & 6 & 3 & 7 & 4 & 5 & 2 & 1 \end{matrix})$
(c)

$σ = (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & n - 1 & n \\ n & n - 1 & \dots & 2 & 1 \end{matrix})$ .

Exercice 2 2226 Correction

Déterminer la signature de:

(a)

$σ = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 3 & 5 & 4 & 8 & 7 & 6 & 2 & 1 \end{matrix})$
(b)

$σ = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 1 & 3 & 2 & 7 & 4 & 8 & 5 & 6 \end{matrix})$

Solution

On note $I (σ)$ le nombre d’inversions de la permutation $σ$ :

I (σ) = Card ({1 \leq i < j \leq n | σ (i) > σ (j)}) .

On a $ε (σ) = {(- 1)}^{I (σ)}$ et $I (σ)$ se calcule en dénombrant, pour chaque de terme de la seconde ligne, le nombre de termes inférieurs qui le suit.

(a)

$I (σ) = 2 + 3 + 2 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 17$ donc $ε (σ) = - 1$ .
(b)

$I (σ) = 0 + 1 + 0 + 3 + 0 + 2 + 0 + 0 = 6$ donc $ε (σ) = 1$ .

Exercice 3 2228 Correction

Soient $n \geq 2$ et $τ$ une transposition de $𝒮_{n}$ .

(a)

Montrer que l’application $σ \mapsto τ \circ σ$ est une bijection de $𝒮_{n}$ vers $𝒮_{n}$ .
(b)

En déduire le cardinal de l’ensemble $𝒜_{n}$ formé des permutations de signature 1 élément de $𝒮_{n}$ .

Solution

(a)

L’application $σ \mapsto τ \circ σ$ est involutive, donc bijective.
(b)

L’application $σ \mapsto τ \circ σ$ transforme $𝒜_{n}$ en $𝒮_{n} ∖ 𝒜_{n}$ donc $Card (𝒜_{n}) = Card (𝒮_{n}) ∖ 𝒜_{n}$ . Or $𝒮_{n}$ est la réunion disjointe de $𝒜_{n}$ et de $𝒮_{n} ∖ 𝒜_{n}$ donc

$Card (𝒜_{n}) = \frac{1}{2} Card (𝒮_{n}) = \frac{n!}{2} .$

Exercice 4 2227 Correction

Soit $n \in ℕ^{*}$ . Déterminer la signature de la permutation suivante:

(a)

$σ = (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & n - 1 & n \\ n & n - 1 & \dots & 2 & 1 \end{matrix})$ .
(b)

$σ = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & \dots & n & n + 1 & n + 2 & \dots & 2 n - 1 & 2 n \\ 1 & 3 & 5 & \dots & 2 n - 1 & 2 & 4 & \dots & 2 n - 2 & 2 n \end{matrix})$ .

Solution

On note $I (σ)$ le nombre d’inversions de la permutation $σ$ :

I (σ) = Card ({1 \leq i < j \leq n | σ (i) > σ (j)}) .

On a $ε (σ) = {(- 1)}^{I (σ)}$ et $I (σ)$ se calcule en dénombrant, pour chaque de terme de la seconde ligne, le nombre de termes inférieurs qui le suit.

(a)

$I (σ) = (n - 1) + (n - 2) + \dots + 1 + 0 = \frac{n (n - 1)}{2}$ donc

$ε (σ) = {(- 1)}^{\frac{n (n - 1)}{2}} .$
(b)

$I (σ) = 0 + 1 + 2 + \dots + (n - 1) + 0 + \dots + 0 = \frac{n (n - 1)}{2}$ donc

$ε (σ) = {(- 1)}^{\frac{n (n - 1)}{2}} .$

Exercice 5 2225 Correction

Dans $𝒮_{n}$ avec $n \geq 2$ , on considère une permutation $σ$ et un $p$ -cycle:

c = (\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{p} \end{matrix}) .

Observer que la permutation $σ \circ c \circ σ^{- 1}$ est un $p$ -cycle que l’on précisera.

Solution

Pour $x = σ (a_{i})$ , on a

(σ \circ c \circ σ^{- 1}) (x) = σ (a_{i + 1})

(en posant $a_{p + 1} = a_{1}$ ).
Pour $x \notin {σ (a_{1}), \dots, σ (a_{p})}$ , on a

(σ \circ c \circ σ^{- 1}) (x) = σ \circ σ^{- 1} (x) = x

car $c (σ^{- 1} (x)) = σ^{- 1} (x)$ puisque $σ^{- 1} (x) \notin {a_{1}, \dots, a_{p}}$ .
Ainsi,

σ \circ c \circ σ^{- 1} = (\begin{matrix} σ (a_{1}) & σ (a_{2}) & \dots & σ (a_{p}) \end{matrix}) .

Exercice 6 2230 Correction

Soit $n \geq 5$ .
Montrer que si $(\begin{matrix} a & b & c \end{matrix})$ et $(\begin{matrix} a^{'} & b^{'} & c^{'} \end{matrix})$ sont deux cycles d’ordre 3 de $𝒮_{n}$ , alors il existe une permutation $σ$ , paire, telle que

σ \circ (\begin{matrix} a & b & c \end{matrix}) \circ σ^{- 1} = (\begin{matrix} a^{'} & b^{'} & c^{'} \end{matrix}) .

Solution

Notons que

σ \circ (\begin{matrix} a & b & c \end{matrix}) \circ σ^{- 1} = (\begin{matrix} σ (a) & σ (b) & σ (c) \end{matrix}) .

Soit $σ : ℕ_{n} \to ℕ_{n}$ une permutation définie par:

σ (a) = a^{'}, σ (b) = b^{'} et σ (c) = c^{'} .

Si $σ$ est paire alors le problème est résolu.
Si $σ$ est impaire alors soit $d \neq e \in ℕ_{n} ∖ {a, b, c}$ (possible car $n \geq 5$ ) et $τ = (\begin{matrix} d & e \end{matrix})$ . La permutation $σ \circ τ$ est paire et satisfait la relation voulue.

Exercice 7 2224 Correction

Soient $n$ un entier supérieur à $2$ , $(i, j) \in {1,2, \dots, n}^{2}$ tel que $i \neq j$ et $σ \in 𝒮_{n}$ .
Montrer que $σ$ et $τ = (\begin{matrix} i & j \end{matrix})$ commutent si, et seulement si, ${i, j}$ est stable par $σ$ .

Solution

Si ${i, j}$ est stable par $σ$ alors ${σ (i), σ (j)} = {i, j}$ .
On a alors

\forall x \notin {i, j}, (σ \circ τ) (x) = σ (x) = (τ \circ σ) (x) .

Pour $x = i$ alors $(σ \circ τ) (i) = σ (j) = (τ \circ σ) (i)$ et pour $x = j$ , $(σ \circ τ) (j) = σ (i) = (τ \circ σ) (j)$ .
Par suite,

σ \circ τ = τ \circ σ .

Inversement, si $σ \circ τ = τ \circ σ$ alors $σ (i) = (σ \circ τ) (j) = (τ \circ σ) (j) = τ (σ (j))$ .
Puisque $τ (σ (j)) \neq σ (j)$ on a $σ (j) \in {i, j}$ .
De même, $σ (i) \in {i, j}$ et donc ${i, j}$ stable par $σ$ .

Exercice 8 2231 Correction

Soient $n \geq 2$ et $c$ la permutation circulaire $c = (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & n - 1 & n \end{matrix})$ . Déterminer toutes les permutations $σ$ de $𝒮_{n}$ qui commutent avec $c$ .

Solution

Pour commencer, notons que, pour tout $k \in {1, \dots, n}$ , $c^{k - 1} (1) = k$ et, par conséquent, on a aussi $c^{- (k - 1)} (k) = 1$ .

Soit $σ$ une permutation commutant avec $c_{n}$ .

Posons $k = σ (1) \in {1,2, \dots, n}$ et $s = c^{- (k - 1)} \circ σ$ de sorte que $s (1) = 1$ .

Comme $σ$ et $c$ commutent, $s$ et $c$ commutent aussi et l’on a, pour tout $2 \leq i \leq n$ ,

s = c^{(i - 1)} \circ s \circ c^{- (i - 1)}

d’où

s (i) = c^{(i - 1)} \circ s \circ c^{- (i - 1)} (i) = c^{(i - 1)} \circ s (1) = σ^{(i - 1)} (1) = i

car $c^{- (i - 1)} (i) = 1$ . Par conséquent, $s = Id$ puis $σ = c^{k}$ .

Inversement, les permutations de la forme $c^{k}$ avec $1 \leq k \leq n$ commutent avec $c$ .

Exercice 9 119 Correction

Soit $n \in ℕ$ tel que $n \geq 2$ . Déterminer les morphismes du groupe $(𝒮_{n}, \circ)$ vers $(ℂ^{*}, \times)$ .

Solution

Soient $φ$ un tel morphisme et $τ$ la transposition qui échange $1$ et $2$ . On a $τ^{2} = Id$ donc $φ {(τ)}^{2} = 1$ d’où $φ (τ) = 1$ ou $- 1$ . Soit $τ^{'} = (\begin{matrix} i & j \end{matrix})$ une transposition quelconque de $𝒮_{n}$ . Il existe une permutation $σ \in 𝒮_{n}$ telle que $τ^{'} = σ \circ τ \circ σ^{- 1}$ et alors $φ (τ^{'}) = φ (τ)$ . Sachant enfin que tout élément de $𝒮_{n}$ est produit de transpositions on peut conclure:
Si $φ (τ) = 1$ alors $φ : σ \mapsto 1$ . Si $φ (τ) = - 1$ alors $φ = ε$ (morphisme signature).

Exercice 10 121 Correction

Soit $H$ l’ensemble des $σ \in 𝒮_{n}$ vérifiant $σ (k) + σ (n + 1 - k) = n + 1$ pour tout $k \in {1, \dots, n}$ .
Montrer que $H$ est un sous-groupe de $(𝒮_{n}, \circ)$

Solution

$H \subset 𝒮_{n}$ , $Id \in H$ . Remarquons, pour tout $k \in {1, \dots, n}$ , $σ (k) = n + 1 - σ (n + 1 - k)$ .
Soient $σ, σ^{'} \in H$ ,

(σ^{'} \circ σ) (k) = σ^{'} (σ (k)) = n + 1 - σ^{'} (n + 1 - σ (k)) = n + 1 - σ^{'} \circ σ (n + 1 - k)

donc $σ^{'} \circ σ \in H$ .
Soit $σ \in H$ . Posons $ℓ = σ^{- 1} (k)$ . On a

σ (n + 1 - ℓ) = n + 1 - σ (ℓ) = n + 1 - k

donc $σ^{- 1} (n + 1 - k) = n + 1 - ℓ$ puis

σ^{- 1} (k) + σ^{- 1} (n + 1 - k) = ℓ + (n + 1 - ℓ) = n + 1 .

Exercice 11 4196

(Inégalités de réarrangement)

Soient $a_{1}, \dots, a_{n}$ et $b_{1}, \dots, b_{n}$ des réels triés par ordre croissant:

a_{1} ⩽ a_{2} ⩽ \dots ⩽ a_{n} et b_{1} ⩽ b_{2} ⩽ \dots ⩽ b_{n} .

Déterminer

\min_{σ \in 𝒮_{n}} (\sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{σ (i)}) et \max_{σ \in 𝒮_{n}} (\sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{σ (i)}) .

Exercice 12 6127 Correction

(Inégalité de réarrangement multiplicative)

Soit $a_{1} ⩽ a_{2} ⩽ \dots ⩽ a_{n}$ et $b_{1} ⩽ b_{2} ⩽ \dots ⩽ b_{n}$ des réels positifs.

Déterminer

\min_{σ \in 𝒮_{n}} (\prod_{i = 1}^{n} (a_{i} + b_{σ (i)})) .

Solution

Pour $n = 2$ , on remarque

(a_{1} + b_{1}) (a_{2} + b_{2}) ⩽ (a_{1} + b_{2}) (a_{2} + b_{1})

car

(a_{1} + b_{2}) (a_{2} + b_{1}) - (a_{1} + b_{1}) (a_{2} + b_{2}) = (a_{1} - a_{2}) (b_{1} - b_{2}) ⩾ 0 .

Montrons par récurrence sur $n \in ℕ^{*}$ ,

\forall σ \in 𝒮_{n}, (\prod_{i = 1}^{n} (a_{i} + b_{σ (i)})) ⩾ (\prod_{i = 1}^{n} (a_{i} + b_{i})) .

La propriété est immédiate pour $n = 1$ .

Supposons la propriété vraie au rang $n - 1 \in ℕ^{*}$ .

Soient $a_{1} ⩽ a_{2} ⩽ \dots ⩽ a_{n}$ et $b_{1} ⩽ b_{2} ⩽ \dots ⩽ b_{n}$ des réels positifs et $σ$ une permutation des entiers allant de $1$ à $n$ .

Cas: $σ (n) = n$ . L’application $σ$ définit par restriction une permutation des entiers allant de $1$ à $n - 1$ . L’hypothèse de récurrence donne

\prod_{i = 1}^{n - 1} (a_{i} + b_{σ (i)}) ⩾ \prod_{i = 1}^{n - 1} (a_{i} + b_{i}) .

En multipliant par le réel positif $(a_{n} + b_{n})$ de part et d’autre, on obtient

\prod_{i = 1}^{n} (a_{i} + b_{σ (i)}) ⩾ \prod_{i = 1}^{n} (a_{i} + b_{i}) .

Cas: $σ (n) \neq n$ . Introduisons l’indice $k$ tel que $σ (k) = n$ et isolons dans le produit les facteurs d’indices $k$ et $n$

\prod_{i = 1}^{n} (a_{i} + b_{σ (i)}) = (\prod_{i \neq k, n} (a_{i} + b_{σ (i)})) (a_{k} + b_{n}) (a_{n} + b_{σ (n)}) .

Puisque $a_{k} ⩽ a_{n}$ et $b_{σ (n) ⩽ b_{n}}$ , l’étude initiale donne

(a_{k} + b_{n}) (a_{n} + b_{σ (n)}) ⩾ (a_{k} + b_{σ (n)}) (a_{n} + b_{n})

et donc

\prod_{i = 1}^{n} (a_{i} + b_{σ (i)}) ⩾ \prod_{i = 1}^{n} (a_{i} + b_{φ (i)})

avec $φ$ la permutation de $⟦ 1; n ⟧$ définie par $φ = (\begin{matrix} n & σ (n) \end{matrix}) \circ σ$ où $(\begin{matrix} n & σ (n) \end{matrix})$ désigne la transposition échangeant $σ (n)$ et $n$ . Puisque $φ (n) = n$ , on revient au cas précédent et l’on peut conclure

\prod_{i = 1}^{n} (a_{i} + b_{σ (i)}) ⩾ \prod_{i = 1}^{n} (a_{i} + b_{i}) .

La récurrence est établie.

On conclut

\min_{σ \in 𝒮_{n}} (\prod_{i = 1}^{n} (a_{i} + b_{σ (i)})) = \prod_{i = 1}^{n} (a_{i} + b_{i}) .

En adaptant la preuve, on établit aussi

\max_{σ \in 𝒮_{n}} (\prod_{i = 1}^{n} (a_{i} + b_{σ (i)})) = \prod_{i = 1}^{n} (a_{i} + b_{n + 1 - i}) .

[>] Formes multilinéaires alternées

Édité le 27-03-2026

Groupe symétrique