[>] Formes multilinéaires alternées
Décomposer les permutations suivantes en produit de cycles à supports disjoints et en déduire leur signature
.
Déterminer la signature de:
Solution
On note le nombre d’inversions de la permutation :
On a et se calcule en dénombrant, pour chaque de terme de la seconde ligne, le nombre de termes inférieurs qui le suit.
donc .
donc .
Soient et une transposition de .
Montrer que l’application est une bijection de vers .
En déduire le cardinal de l’ensemble formé des permutations de signature 1 élément de .
Solution
L’application est involutive, donc bijective.
L’application transforme en donc . Or est la réunion disjointe de et de donc
Soit . Déterminer la signature de la permutation suivante:
.
.
Solution
On note le nombre d’inversions de la permutation :
On a et se calcule en dénombrant, pour chaque de terme de la seconde ligne, le nombre de termes inférieurs qui le suit.
donc
donc
Dans avec , on considère une permutation et un -cycle:
Observer que la permutation est un -cycle que l’on précisera.
Solution
Pour , on a
(en posant ).
Pour , on a
car puisque .
Ainsi,
Soit .
Montrer que si et sont deux cycles d’ordre 3 de , alors il existe une permutation , paire, telle que
Solution
Notons que
Soit une permutation définie par:
Si est paire alors le problème est résolu.
Si est impaire alors soit (possible car ) et . La permutation est paire et satisfait la relation voulue.
Soient un entier supérieur à , tel que et .
Montrer que et commutent si, et seulement si, est stable par .
Solution
Si est stable par alors .
On a alors
Pour alors et pour , .
Par suite,
Inversement, si alors .
Puisque on a .
De même, et donc stable par .
Soient et la permutation circulaire . Déterminer toutes les permutations de qui commutent avec .
Solution
Pour commencer, notons que, pour tout , et, par conséquent, on a aussi .
Soit une permutation commutant avec .
Posons et de sorte que .
Comme et commutent, et commutent aussi et l’on a, pour tout ,
d’où
car . Par conséquent, puis .
Inversement, les permutations de la forme avec commutent avec .
Soit tel que . Déterminer les morphismes du groupe vers .
Solution
Soient un tel morphisme et la transposition qui échange et . On a donc d’où ou . Soit une transposition quelconque de . Il existe une permutation telle que et alors . Sachant enfin que tout élément de est produit de transpositions on peut conclure:
Si alors . Si alors (morphisme signature).
Soit l’ensemble des vérifiant pour tout .
Montrer que est un sous-groupe de
Solution
, . Remarquons, pour tout , .
Soient ,
donc .
Soit . Posons . On a
donc puis
(Inégalités de réordonnement)
Soient et des réels triés par ordre croissant:
Déterminer
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Édité le 29-08-2023
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