[<] Couple de suites récurrentes

 
Exercice 1  2301   Correction  

Soit a+*. On définit une suite (un) par

u0=aetun+1=k=0nukpour tout n.
  • (a)

    Déterminer la limite de (un).

  • (b)

    Déterminer la limite de un+1-un.

Solution

  • (a)

    Pour n1,

    un+1-un=k=0nuk-k=0n-1uk=unk=0nuk+k=0n-1uk0

    donc (un)n1 est croissante.
    Supposons un. On a u1=a>0
    En passant la relation précédente à la limite: 0=+=12. C’est absurde.

    Par suite, un+.

  • (b)
    un+1-un=unun+1+un

    donc

    un+1un-1=1un+1+unn+0.

    Par suite,

    un+1-un=1un+1/un+1n+12.
 
Exercice 2  2311   Correction  

Déterminer le terme général de la suite (un) définie par:

u0=a>0,u1=b>0etun+2un=un+12pour tout n.

À quelle condition (un) converge?

Solution

Par récurrence, on montre que un existe et un>0. La relation de récurrence donne alors

un+2un+1=un+1un.

La suite (un+1/un) est constante égale à u1/u0=b/a. La suite (un) est donc géométrique de raison b/a et finalement

un=a(ba)n.

La suite (un) converge si, et seulement si, ba.

 
Exercice 3  338   

Soit (un) une suite de réels positifs telle que

un+212(un+un+1)pour tout n.

Montrer que la suite (un) converge.

On pourra étudier la monotonie de la suite (vn) avec vn=max(un+1,un).

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Édité le 08-11-2019

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