Exercice 1 2301 Correction

Soit $a \in ℝ_{+}^{*}$ . On définit une suite $(u_{n})$ par

u_{0} = a et u_{n + 1} = \sqrt{\sum_{k = 0}^{n} u_{k}} pour tout n \in ℕ .

(a)

Déterminer la limite de $(u_{n})$ .
(b)

Déterminer la limite de $u_{n + 1} - u_{n}$ .

Solution

(a)

Pour $n \geq 1$ ,

$u_{n + 1} - u_{n} = \sqrt{\sum_{k = 0}^{n} u_{k}} - \sqrt{\sum_{k = 0}^{n - 1} u_{k}} = \frac{u_{n}}{\sqrt{\sum_{k = 0}^{n} u_{k}} + \sqrt{\sum_{k = 0}^{n - 1} u_{k}}} \geq 0$

donc ${(u_{n})}_{n \geq 1}$ est croissante.
Supposons $u_{n} \to ℓ \in ℝ$ . On a $ℓ \geq u_{1} = \sqrt{a} > 0$
En passant la relation précédente à la limite: $0 = \frac{ℓ}{ℓ + ℓ} = \frac{1}{2}$ . C’est absurde.

Par suite, $u_{n} \to + \infty$ .
(b)

$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{u_{n}}{u_{n + 1} + u_{n}}$

donc

$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} - 1 = \frac{1}{u_{n + 1} + u_{n}} \to_{n \to + \infty}^{} 0 .$

Par suite,

$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{u_{n + 1} / u_{n} + 1} \to_{n \to + \infty}^{} \frac{1}{2} .$

Exercice 2 2311 Correction

Déterminer le terme général de la suite $(u_{n})$ définie par:

u_{0} = a > 0, u_{1} = b > 0 et u_{n + 2} u_{n} = u_{n + 1}^{2} pour tout n \in ℕ .

À quelle condition $(u_{n})$ converge?

Solution

Par récurrence, on montre que $u_{n}$ existe et $u_{n} > 0$ . La relation de récurrence donne alors

\frac{u_{n + 2}}{u_{n + 1}} = \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} .

La suite $(u_{n + 1} / u_{n})$ est constante égale à $u_{1} / u_{0} = b / a$ . La suite $(u_{n})$ est donc géométrique de raison $b / a$ et finalement

u_{n} = a {(\frac{b}{a})}^{n} .

La suite $(u_{n})$ converge si, et seulement si, $b \leq a$ .

Exercice 3 338

Soit $(u_{n})$ une suite de réels positifs telle que

u_{n + 2} \leq \frac{1}{2} (u_{n} + u_{n + 1}) pour tout n \in ℕ .

Montrer que la suite $(u_{n})$ converge.

On pourra étudier la monotonie de la suite $(v_{n})$ avec $v_{n} = \max (u_{n + 1}, u_{n})$ .

[<] Couple de suites récurrentes

Édité le 29-08-2023

Suites récurrentes multiples