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Exercice 1  2271  Correction  

Pour θ]0;π/2[, on pose pour tout n

un=2nsin(θ2n)etvn=2ntan(θ2n).

Montrer que les suites (un) et (vn) sont adjacentes. Quelle est leur limite commune?

Solution

Via sin(2a)=2sin(a)cos(a), on obtient

un=2n+1sin(θ2n+1)cos(θ2n+1)un+1.

Via tan(2a)=2tan(a)1-tan2(a), on obtient

vn=2n+1tan(θ/2n+1)1-tan2(θ/2n+1)vn+1

sin(x)x0x et tan(x)x0x donc unθ et vnθ d’où vn-un0.
Les suites (un) et (vn) sont adjacentes de limite commune égale à θ.

 
Exercice 2  4931  

(Approximation décimale d’un réel)

Soit x un réel. On étudie les suites (an)n et (bn)n déterminées par

an=10nx10netbn=10nx+110n.

Montrer que celles-ci forment un couple de suites adjacentes convergeant vers x.

 
Exercice 3  2272  Correction  

Pour tout n*, on pose

Sn=k=1n1k2etSn=Sn+1n.

Montrer que les suites (Sn) et (Sn) sont adjacentes.
On peut montrer que leur limite commune est π2/6, mais c’est une autre histoire…

Solution

On a

Sn+1-Sn=1(n+1)20.
Sn+1-Sn=1(n+1)2+1n+1-1n=1(n+1)2-1n(n+1)0

et

Sn-Sn=1n0.
 
Exercice 4  2273  

(Critère spécial des séries alternées11 1 Ce résultat figurera dans le cours de seconde année.)

Soit (un) une suite réelle décroissante et de limite nulle. Pour n, on pose

Sn=k=0n(-1)k+1uk.

Montrer la convergence de (Sn) en étudiant les suites extraites (S2p) et (S2p+1).

 
Exercice 5  325   Correction  

On pose

un=k=1n1k-2netvn=k=1n1k-2n+1.

Montrer que les suites (un) et (vn) sont adjacentes.

En déduire un équivalent de

k=1n1k.

Solution

un+1-un=1n+1-2(n+1-n)=1n+1-2n+1+n0.

De même, vn+1-vn0 et l’on vérifie aisément que (vn-un) est de limite nulle. Les suites sont donc adjacentes.

Notons leur limite commune, on a

k=1n1k=n+2n++o(1)=n+2n+o(n)n+2n.
 
Exercice 6  2274   

(Irrationalité du nombre de Neper)

Pour n*, on pose

an=k=0n1k!etbn=k=0n1k!+1nn!=an+1nn!.
  • (a)

    Montrer que les suites (an) et (bn) sont strictement11 1 Les suites sont strictement adjacentes quand elles sont adjacentes et strictement monotones. adjacentes.

  • (b)

    Montrer que leur limite commune22 2 Dans le sujet 4850, on voit que leur limite commune est le nombre de Neper e2,718 à 10-3 près. est un nombre irrationnel.

 
Exercice 7  2275   Correction  

(Moyenne arithmético-géométrique)

  • (a)

    Pour (a,b)+2, établir:

    2aba+b.
  • (b)

    On considère les suites de réels positifs (un) et (vn) définies par

    u0=a,v0=b et n,un+1=unvn,vn+1=un+vn2.

    Montrer que, pour tout n1, unvn, unun+1 et vn+1vn.

  • (c)

    Établir que (un) et (vn) convergent vers une même limite.
    Cette limite commune est appelée moyenne arithmético-géométrique de a et b et est notée M(a,b).

  • (d)

    Calculer M(a,a) et M(a,0) pour a+.

  • (e)

    Exprimer M(λa,λb) en fonction de M(a,b) pour λ+.

Solution

  • (a)

    (a-b)20 donne l’inégalité demandée.

  • (b)

    Pour n1, un=un-1vn-1un-1+vn-12=vn en vertu de a.
    un+1=unvnun2=un et vn+1=un+vn22vn2=vn.

  • (c)

    La suite (un)n1 est croissante et majorée par v1 donc elle converge vers une limite notée .
    La suite (vn)n1 est décroissante est minorée par u1 donc elle converge vers une limite notée .
    En passant la relation vn+1=un+vn2 à la limite, on obtient =+2 d’où =.

  • (d)

    Si b=a alors les deux suites (un) et (vn) sont constantes égales à a et donc M(a,a)=a.
    Si b=0 alors la suite (un)n1 est constante égale à 0 et donc M(a,0)=0.

  • (e)

    Notons (un) et (vn) les suites définies par le procédé précédent à partir de u0=λa et v0=λb.
    Par récurrence, un=λun et vn=λvn donc M(λa,λb)=λM(a,b).

 
Exercice 8  4934   

Pour n*, on pose

un=1×3×5××(2n-1)2×4×6××(2n),an=nun2etbn=(n+12)un2.

Montrer que les suites (an) et (bn) convergent vers une même limite strictement positive.

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Édité le 08-11-2019

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