Exercice 1 2271 Correction

Pour $θ \in] 0; π / 2 [$ , on pose pour tout $n \in ℕ$

u_{n} = 2^{n} \sin (\frac{θ}{2^{n}}) et v_{n} = 2^{n} \tan (\frac{θ}{2^{n}}) .

Montrer que les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont adjacentes. Quelle est leur limite commune?

Solution

Via $\sin (2 a) = 2 \sin (a) \cos (a)$ , on obtient

u_{n} = 2^{n + 1} \sin (\frac{θ}{2^{n + 1}}) \cos (\frac{θ}{2^{n + 1}}) \leq u_{n + 1} .

Via $\tan (2 a) = \frac{2 \tan (a)}{1 - \tan^{2} (a)}$ , on obtient

v_{n} = 2^{n + 1} \frac{\tan (θ / 2^{n + 1})}{1 - \tan^{2} (θ / 2^{n + 1})} \geq v_{n + 1}

$\sin (x) \underset{x \to 0}{\sim} x$ et $\tan (x) \underset{x \to 0}{\sim} x$ donc $u_{n} \to θ$ et $v_{n} \to θ$ d’où $v_{n} - u_{n} \to 0$ .
Les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont adjacentes de limite commune égale à $θ$ .

Exercice 2 4931

(Approximation décimale d’un réel)

Soit $x$ un réel. On étudie les suites ${(a_{n})}_{n \in ℕ}$ et ${(b_{n})}_{n \in ℕ}$ déterminées par

a_{n} = \frac{⌊ 10^{n} x ⌋}{10^{n}} et b_{n} = \frac{⌊ 10^{n} x ⌋ + 1}{10^{n}} .

Montrer que celles-ci forment un couple de suites adjacentes convergeant vers $x$ .

Exercice 3 2272 Correction

Pour tout $n \in ℕ^{*}$ , on pose

S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^{2}} et S_{n}^{'} = S_{n} + \frac{1}{n} .

Montrer que les suites $(S_{n})$ et $(S_{n}^{'})$ sont adjacentes.
On peut montrer que leur limite commune est $π^{2} / 6$ , mais c’est une autre histoire…

Solution

On a

S_{n + 1} - S_{n} = \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} \geq 0 .

S_{n + 1}^{'} - S_{n}^{'} = \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} + \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n} = \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} - \frac{1}{n (n + 1)} \leq 0

S_{n}^{'} - S_{n} = \frac{1}{n} \to 0 .

Exercice 4 2273

(Critère spécial des séries alternées¹¹ 1 Ce résultat figurera dans le cours de seconde année.)

Soit $(u_{n})$ une suite réelle décroissante et de limite nulle. Pour $n \in ℕ$ , on pose

S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} {(- 1)}^{k + 1} u_{k} .

Montrer la convergence de $(S_{n})$ en étudiant les suites extraites $(S_{2 p})$ et $(S_{2 p + 1})$ .

Exercice 5 5918 Correction

Pour $n \geq 1$ , on pose

a_{n} = \sum_{k = n + 1}^{2 n} \frac{1}{k} et b_{n} = \sum_{k = n}^{2 n - 1} \frac{1}{k} .

(a)

Montrer que que les suites ${(a_{n})}_{n \geq 1}$ et ${(b_{n})}_{n \geq 1}$ sont adjacentes.
(b)

Établir l’inégalité $\ln (1 + x) \leq x$ pour tout $x \in] - 1; + \infty [$ .

En déduire $x \leq - \ln (1 - x)$ pour tout $x \in] - \infty; 1 [$
(c)

Justifier

$\forall n \in ℕ^{*}, a_{n} \leq \ln (2) \leq b_{n} .$

Que peut-on en déduire?

Solution

(a)

Pour $n \geq 1$ ,

$a_{n + 1} - a_{n} = \sum_{k = n + 2}^{2 n + 2} \frac{1}{k} - \sum_{k = n + 1}^{2 n} \frac{1}{k} .$

En simplifiant les termes communs aux deux sommes,

$a_{n + 1} - a_{n} = \frac{1}{2 n + 2} + \frac{1}{2 n + 1} - \frac{1}{n + 1} = \frac{1}{2 n + 1} - \frac{1}{2 n + 2} \geq 0 .$

La suite ${(a_{n})}_{n \geq 1}$ est croissante.

Pour $n \geq 1$ ,

$b_{n + 1} - b_{n} = \sum_{k = n + 1}^{2 n + 1} \frac{1}{k} - \sum_{k = n}^{2 n - 1} \frac{1}{k} .$

En simplifiant les termes communs aux deux sommes,

$b_{n + 1} - b_{n} = \frac{1}{2 n + 1} + \frac{1}{2 n} - \frac{1}{n} = \frac{1}{2 n + 1} - \frac{1}{2 n} \leq 0 .$

La suite ${(b_{n})}_{n \geq 1}$ est décroissante.

Enfin,

$b_{n} - a_{n} = \sum_{k = n}^{2 n - 1} \frac{1}{k} - \sum_{k = n + 1}^{2 n} \frac{1}{k} = \frac{1}{n} - \frac{1}{2 n} \to_{n \to + \infty}^{} 0 .$

Les suites ${(a_{n})}_{n \geq 1}$ et ${(b_{n})}_{n \geq 1}$ sont adjacentes.
(b)

On introduit la fonction $f : x \mapsto x - \ln (1 + x)$ . Celle-ci est définie et dérivable sur $] - 1; + \infty [$ avec

$f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{1 + x} = \frac{x}{1 + x} .$

On en déduit le tableau de variation

La fonction $f$ est positive et donc $x \geq \ln (1 + x)$ pour tout $x > - 1$ .

En considérant, $- x$ au lieu de $x$ , on obtient $- x \geq \ln (1 - x)$ . En passant à l’opposé, on obtient l’inégalité voulue.
(c)

Pour $n \geq 1$ , l’inégalité $x \leq - \ln (1 - x)$ avec $x = 1 / k$ donne

$a_{n}$ $\leq \sum_{k = n + 1}^{2 n} - \ln (1 - \frac{1}{k}) = \sum_{k = n + 1}^{2 n} - \ln (\frac{k + 1}{k})$

$= \sum_{k = n + 1}^{2 n} (\ln (k) - \ln (k - 1)) = \ln (2 n) - \ln (n) = \ln (2) .$

Pour $n \geq 1$ , l’inégalité $x \geq \ln (1 + x) \leq x$ donne

$b_{n}$ $\geq \sum_{k = n}^{2 n - 1} \ln (1 + \frac{1}{k}) = \sum_{k = n}^{2 n - 1} \ln (\frac{k + 1}{k})$

$= \sum_{k = n}^{2 n - 1} (\ln (k + 1) - \ln (k)) = \ln (2 n) - \ln (n) = \ln (2) .$

On en déduit que la limite commune des suites ${(a_{n})}_{n \geq 1}$ et ${(b_{n})}_{n \geq 1}$ est $\ln (2)$ .

Exercice 6 325 Correction

On pose

u_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} - 2 \sqrt{n} et v_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} - 2 \sqrt{n + 1} .

(a)

Montrer que les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont adjacentes.
(b)

En déduire un équivalent de

$\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} .$
(c)

Étudier

$lim_{n \to + \infty} \sum_{k = n + 1}^{2 n} \frac{1}{\sqrt{k}} .$

Solution

(a)

Pour $n \in ℕ$ ,

$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{\sqrt{n + 1}} - 2 (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}) = \frac{1}{\sqrt{n + 1}} - \frac{2}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} \leq 0 .$

De même, $v_{n + 1} - v_{n} \geq 0$ et l’on vérifie aisément que $(v_{n} - u_{n})$ est de limite nulle. Les suites sont donc adjacentes.
(b)

Notons $ℓ$ leur limite commune, on a

$\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} \underset{n \to + \infty}{=} 2 \sqrt{n} + ℓ + o (1) \underset{n \to + \infty}{=} 2 \sqrt{n} + o (\sqrt{n}) \underset{n \to + \infty}{\sim} 2 \sqrt{n} .$
(c)

Pour $n \in ℕ$ , on écrit par télescopage

$\sum_{k = n + 1}^{2 n} \frac{1}{\sqrt{k}} = \sum_{k = 1}^{2 n} \frac{1}{\sqrt{k}} - \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} .$

Par ce qui précède,

$\sum_{k = n + 1}^{2 n} \frac{1}{\sqrt{k}} \underset{n \to + \infty}{=} \sqrt{2 n} - \sqrt{n} + o (\sqrt{n}) \underset{n \to + \infty}{\sim} (\sqrt{2} - 1) \sqrt{n} \to_{n \to + \infty}^{} + \infty .$

Exercice 7 2274

(Irrationalité du nombre de Neper)

Pour $n \in ℕ^{*}$ , on pose

a_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k!} et b_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k!} + \frac{1}{n \cdot n!} = a_{n} + \frac{1}{n \cdot n!} .

(a)

Montrer que les suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ sont strictement¹¹ 1 Les suites sont strictement adjacentes quand elles sont adjacentes et strictement monotones. adjacentes.
(b)

Montrer que leur limite commune²² 2 Dans le sujet 4850, on voit que leur limite commune est le nombre de Neper $e \approx 2,718 à 10^{- 3} près$ . est un nombre irrationnel.

Exercice 8 2275 Correction

(Moyenne arithmético-géométrique)

(a)

Pour $(a, b) \in ℝ^{+ 2}$ , établir:

$2 \sqrt{a b} \leq a + b .$
(b)

On considère les suites de réels positifs $(u_{n})$ et $(v_{n})$ définies par

$u_{0} = a, v_{0} = b et \forall n \in ℕ, u_{n + 1} = \sqrt{u_{n} v_{n}}, v_{n + 1} = \frac{u_{n} + v_{n}}{2} .$

Montrer que, pour tout $n \geq 1$ , $u_{n} \leq v_{n}$ , $u_{n} \leq u_{n + 1}$ et $v_{n + 1} \leq v_{n}$ .
(c)

Établir que $(u_{n})$ et $(v_{n})$ convergent vers une même limite.
Cette limite commune est appelée moyenne arithmético-géométrique de $a$ et $b$ et est notée $M (a, b)$ .
(d)

Calculer $M (a, a)$ et $M (a,0)$ pour $a \in ℝ_{+}$ .
(e)

Exprimer $M (λ a, λ b)$ en fonction de $M (a, b)$ pour $λ \in ℝ_{+}$ .

Solution

(a)

${(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} \geq 0$ donne l’inégalité demandée.
(b)

Pour $n \geq 1$ , $u_{n} = \sqrt{u_{n - 1} v_{n - 1}} \leq \frac{u_{n - 1} + v_{n - 1}}{2} = v_{n}$ en vertu de a.
$u_{n + 1} = \sqrt{u_{n} v_{n}} \geq \sqrt{u_{n}^{2}} = u_{n}$ et $v_{n + 1} = \frac{u_{n} + v_{n}}{2} \leq \frac{2 v_{n}}{2} = v_{n}$ .
(c)

La suite ${(u_{n})}_{n \geq 1}$ est croissante et majorée par $v_{1}$ donc elle converge vers une limite notée $ℓ$ .
La suite ${(v_{n})}_{n \geq 1}$ est décroissante est minorée par $u_{1}$ donc elle converge vers une limite notée $ℓ^{'}$ .
En passant la relation $v_{n + 1} = \frac{u_{n} + v_{n}}{2}$ à la limite, on obtient $ℓ^{'} = \frac{ℓ + ℓ^{'}}{2}$ d’où $ℓ = ℓ^{'} .$
(d)

Si $b = a$ alors les deux suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont constantes égales à $a$ et donc $M (a, a) = a$ .
Si $b = 0$ alors la suite ${(u_{n})}_{n \geq 1}$ est constante égale à 0 et donc $M (a,0) = 0$ .
(e)

Notons $(u_{n}^{'})$ et $(v_{n}^{'})$ les suites définies par le procédé précédent à partir de $u_{0}^{'} = λ a$ et $v_{0}^{'} = λ b$ .
Par récurrence, $u_{n}^{'} = λ u_{n}$ et $v_{n}^{'} = λ v_{n}$ donc $M (λ a, λ b) = λ M (a, b)$ .

Exercice 9 4934

Pour $n \in ℕ^{*}$ , on pose

u_{n} = \frac{1 \times 3 \times 5 \times \dots \times (2 n - 1)}{2 \times 4 \times 6 \times \dots \times (2 n)}, a_{n} = n u_{n}^{2} et b_{n} = (n + \frac{1}{2}) u_{n}^{2} .

Montrer que les suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ convergent vers une même limite strictement positive.

[<] Limites des suites monotones [>] Suites extraites

Édité le 08-12-2023

	$a_{n}$	$\leq \sum_{k = n + 1}^{2 n} - \ln (1 - \frac{1}{k}) = \sum_{k = n + 1}^{2 n} - \ln (\frac{k + 1}{k})$
		$= \sum_{k = n + 1}^{2 n} (\ln (k) - \ln (k - 1)) = \ln (2 n) - \ln (n) = \ln (2) .$

	$b_{n}$	$\geq \sum_{k = n}^{2 n - 1} \ln (1 + \frac{1}{k}) = \sum_{k = n}^{2 n - 1} \ln (\frac{k + 1}{k})$
		$= \sum_{k = n}^{2 n - 1} (\ln (k + 1) - \ln (k)) = \ln (2 n) - \ln (n) = \ln (2) .$

Suites adjacentes