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Exercice 1  4923  

Soit (un) une suite croissante de réels strictement positifs. On suppose que la suite (un) converge. Montrer que sa limite est strictement positive.

 
Exercice 2  4933  

(Somme harmonique)

Pour tout n*, on pose

Hn=k=1n1k=1+12++1n.
  • (a)

    Vérifier que

    H2n-Hn12pour tout n*.
  • (b)

    En déduire que la suite (Hn) tend11 1 La suite (Hn) est un exemple fameux de suite divergente dont la différence de deux termes consécutifs Hn+1-Hn=1n+1 tend vers 0. vers +.

 
Exercice 3  4930  

Montrer la convergence de la suite (un) de terme général

un=k=1n1k2.
 
Exercice 4  2266  Correction  

Soit (un) une suite réelle convergente. Étudier la limite de la suite vn=suppnup.

Solution

(un) converge donc (un) est bornée. La suite (vn) est donc bien définie et elle-même bornée.
On a vn+1vn donc (vn) est décroissante et donc converge.
Posons =limun et =limvn.
vnun donc à la limite .
Si > alors >+2>.
À partir d’un certain rang vn>+2 et un<+2. Impossible. Il reste =.

 
Exercice 5  2267   

Soit (un) une suite réelle bornée. On pose

an=infpnupetbn=suppnup.
  • (a)

    Montrer que les suites (an) et (bn) convergent.

  • (b)

    Montrer que la suite (un) converge si, et seulement si, les limites des suites (an) et (bn) sont identiques.

 
Exercice 6  2265   Correction  

Soit (un) une suite réelle croissante de limite . On pose

vn=u1++unn.
  • (a)

    Montrer que (vn) est croissante.

  • (b)

    Établir que v2nun+vn2.

  • (c)

    En déduire que (vn) tend vers .

Solution

  • (a)
    vn+1-vn=nun+1-(u1++un)n(n+1)0

    donc (vn) est croissante.

  • (b)
    v2n=u1++un2n+un+1++u2n2nvn2+un2.
  • (c)

    On a vn pour tout n* et (vn) croissante donc (vn) converge vers un réel .
    La relation précédente, passée à la limite, donne 2+ ce qui permet de conclure vn.

 
Exercice 7  2269   

Soit (un) une suite réelle vérifiant

n(un-un-1)n+ avec 0.

Montrer que (un) diverge vers un infini.

 
Exercice 8  2270   Correction  

On pose

un=1×3×5××(2n-1)2×4×6××(2n).
  • (a)

    Exprimer un à l’aide de nombres factoriels.

  • (b)

    Montrer que la suite (un) converge.

  • (c)

    On pose

    vn=(n+1)un2.

    Montrer que la suite (vn) converge. En déduire la limite de la suite (un)

  • (d)

    Simplifier

    k=22n(1-1k)

    et comparer ce produit à 2un2.

  • (e)

    En déduire que la limite C de la suite (vn) est strictement positive.

Solution

  • (a)
    un=(2n)!22n(n!)2.
  • (b)

    On a

    un+1un=(2n+2)(2n+1)4(n+1)2=2n+12n+21

    donc (un) est décroissante. Or (un) est minorée par 0 donc (un) converge.

  • (c)
    vn+1vn=n+2n+1un+12un2=n+2n+1(2n+12n+2)2

    or (n+2)(2n+1)2-4(n+1)3=-3n-2<0 donc vn+1-vn0.
    (vn) est décroissante et minorée par 0 donc (vn) converge.
    Nécessairement limun=0 car sinon vn=(n+1)un2+.

  • (d)

    Par télescopage des facteurs

    k=22n(1-1k)=12×23××2n-12n=12n.

    Parallèlement

    un2=k=1n(1-12k)2(12)2k=2n(1-12k)(1-12k-1)=12k=22n(1-1k).

    Ainsi, 2un2 est supérieur au produit.

  • (e)

    On en déduit

    (n+1)un2(n+1)4n

    et donc C1/4.
    On peut montrer que C=1/π en exploitant dès la première question la formule de Stirling (si celle-ci est connue…).

 
Exercice 9  300   Correction  

Soient a>0 et

un=(1+a)(1+a2)(1+an).
  • (a)

    Montrer que si a1 alors un+.

  • (b)

    On suppose 0<a<1. Montrer que la suite (un) est convergente. On pourra exploiter la majoration 1+xex valable pour tout x.

Solution

  • (a)

    Si a1 alors un2n+ donc un+.

  • (b)

    un>0 et un+1un>1 donc (un) est croissante. De plus,

    uneaea2ean=exp(a1-an1-a)exp(a1-a)

    donc (un) est majorée et par suite convergente.

 
Exercice 10  330   Correction  

Soit a>0. On considère la suite (un)n1 définie par

u1=a,u2=a+a,u3=a+a+a,

Montrer que (un) est convergente.

Solution

Pour tout n1, un+1un et (un) est donc croissante.

Par récurrence, on vérifie una+1: la relation est vraie pour n=1 et l’hérédité s’obtient par

un+1=a+un2a+1a+1.

La suite (un) est croissante et majorée donc convergente.

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Édité le 08-11-2019

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