[<] Expression du terme général d'une suite récurrente [>] Suites récurrentes

 
Exercice 1  2298  Correction  

Donner l’expression du terme général de la suite récurrente complexe (un)n0 définie par: u0=0,u1=1+4i et

n,un+2=(3-2i)un+1-(5-5i)un.

Solution

(un) est une suite récurrente linéaire d’ordre 2 d’équation caractéristique r2-(3-2i)r+(5-5i)=0.
On obtient

un=(2+i)n-(1-3i)n.
 
Exercice 2  2299  Correction  

Donner l’expression du terme général des suites récurrentes réelles suivantes:

  • (a)

    (un)n0 définie par u0=1,u1=0 et n,un+2=4un+1-4un

  • (b)

    (un)n0 définie par u0=1,u1=-1 et n, 2un+2=3un+1-un

  • (c)

    (un)n0 définie par u0=1,u1=2 et n,un+2=un+1-un.

Solution

Ce sont des suites récurrentes linéaire d’ordre 2 dont le terme général s’obtient à partir de la résolution de l’équation caractéristique associée.

  • (a)

    un=2n(1-n).

  • (b)

    . un=-3+22-n

  • (c)

    un=2cos((n-1)π3).

 
Exercice 3  2300   Correction  

Soit θ]0;π[. Déterminer le terme général de la suite réelle (un) définie par:

u0=u1=1 et n,un+2-2cos(θ)un+1+un=0.

Solution

(un) est une suite récurrente linéaire d’ordre 2 d’équation caractéristique

r2-2cos(θ)r+1=0

de solutions r=eiθ et r=e-iθ.
Par suite, il existe α,β tels que

n,un=αcos(nθ)+βsin(nθ)

n=0 donne α=1 et n=1 donne αcos(θ)+βsin(θ)=1 donc

β=1-cos(θ)sin(θ)=2sin2(θ)/2sin(θ)=tan(θ2).

Finalement,

n,un=cos(nθ)+tan(θ2)sin(nθ)=cos((2n-1)θ/2)cos(θ/2).
 
Exercice 4  2683      ENSCorrection  

Déterminer les fonctions f:+*+* vérifiant

x>0,f(f(x))=6x-f(x).

Solution

Soit f une fonction solution.
Pour x>0, on considère la suite (un) déterminée par

u0=x et n,un+1=f(un).

La suite (un) est formée de réels strictement positifs et satisfait la relation de récurrence linéaire

n,un+2+un+1-6un=0.

Les racines de l’équation caractéristique associée sont 2 et -3 de sorte qu’il existe λ,μ vérifiant

n,un=λ2n+μ(-3)n.

Puisque la suite (un) n’est formée que de réels strictement positifs, il est nécessaire que μ soit nul.
Après résolution cela donne f(x)=2x.
Inversement, cette fonction est bien solution.

 
Exercice 5  5016    

Déterminer les fonctions f:+*+* vérifiant

f(f(x))+f(x)=2xpour tout x>0.

[<] Expression du terme général d'une suite récurrente [>] Suites récurrentes



Édité le 08-11-2019

Bootstrap Bootstrap 3 - LaTeXML [LOGO] - Powered by MathJax Powered by MathJax