[<] Limite de suites de solutions d'une équation [>] Suites récurrentes linéaires d'ordre 2

 
Exercice 1  4413  

Exprimer simplement le terme général de la suite réelle (un) déterminée par:

  • (a)

    u0=0 et un+1=un+2n+1 pour tout n.

  • (b)

    u0=1,u1=1 et un+2=(n+1)(un+1+un) pour tout n.

  • (c)

    u0=1 et un+1=u0+u1++un pour tout n.

 
Exercice 2  4921  

Exprimer le terme général de la suite réelle (un) définie par:

  • (a)

    u0=0 et un+1=3un+1 pour tout n.

  • (b)

    u0=1, u1=-3 et un+2+2un+1+un=0 pour tout n.

  • (c)

    u0=1, u1=2 et un+2-2un+1+2un=0 pour tout n.

 
Exercice 3  2293  Correction  

Donner l’expression du terme général et la limite de la suite récurrente réelle (un)n0 définie par:

  • (a)

    u0=0 et n,un+1=2un+1

  • (b)

    u0=0 et n,un+1=un+12.

Solution

  • (a)

    Posons vn=un+1. (vn) est géométrique de raison 2 et v0=1 donc un=2n-1+.

  • (b)

    Posons vn=un-1. (vn) est géométrique de raison 1/2 et v0=-1 donc un=1-12n1.

 
Exercice 4  2056  Correction  

Soit (un) une suite réelle telle que

u0=1 et n,un+1=(1+1n+1)un.

Donner l’expression du terme général un de cette suite.

Solution

u0=1, u1=2, u2=3,…
Par récurrence, on montre aisément

n,un=n+1.
 
Exercice 5  2296   Correction  

Soient (un) et (vn) les suites déterminées par u0=1, v0=2 et pour tout n:

un+1=3un+2vnetvn+1=2un+3vn.
  • (a)

    Montrer que la suite (un-vn) est constante.

  • (b)

    Prouver que (un) est une suite arithmético-géométrique.

  • (c)

    Exprimer les termes généraux des suites (un) et (vn).

Solution

  • (a)

    un+1-vn+1=un-vn et u0-v0=-1 donc (un-vn) est constante égale à -1.

  • (b)

    vn=un+1 donc un+1=5un+2. La suite (un) est arithmético-géométrique.

  • (c)

    un+1-a=5(un-a)+4a+2. Pour a=-1/2, (un-a) est géométrique de raison 5 et de premier terme 3/2. Ainsi,

    un=3.5n-12 et vn=3.5n+12.
 
Exercice 6  2297   

Soient r>0 et θ]0;π[. Déterminer la limite de la suite complexe (zn) définie par

z0=reiθetzn+1=zn+|zn|2pour tout n.

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Édité le 08-11-2019

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