Exercice 1 4925

Soient $u$ et $v$ deux suites réelles.

(a)

On suppose que les suites $u$ et $u + v$ convergent. Montrer que la suite $v$ converge.
(b)

On suppose que les suites $u$ et $u v$ convergent. Peut-on affirmer la convergence de la suite $v$ ?

Exercice 2 2250 Correction

Soit $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites réelles telles que $(u_{n} + v_{n}) et (u_{n} - v_{n})$ convergent.
Montrer que $(u_{n})$ et $(v_{n})$ convergent.

Solution

Supposons $u_{n} + v_{n} \to ℓ$ et $u_{n} - v_{n} \to ℓ^{'}$ .
$u_{n} = \frac{1}{2} (u_{n} + v_{n}) + \frac{1}{2} (u_{n} - v_{n}) \to \frac{ℓ + ℓ^{'}}{2}$ et de même $v_{n} \to \frac{ℓ - ℓ^{'}}{2}$ .

Exercice 3 5022

Soit $(u_{n})$ une suite de réels strictement positifs. On suppose

u_{n} + \frac{1}{u_{n}} \to_{n \to + \infty}^{} 2 .

Étudier la limite de $(u_{n})$ .

Exercice 4 3196 ENTPE (MP)Correction

Étudier la convergence de deux suites réelles $(u_{n})$ et $(v_{n})$ vérifiant

lim_{n \to + \infty} (u_{n} + v_{n}) = 0 et lim_{n \to + \infty} (e^{u_{n}} + e^{v_{n}}) = 2 .

Solution

Exploitons

S_{n} = e^{u_{n}} + e^{v_{n}} \to 2 et P_{n} = e^{u_{n}} . e^{v_{n}} = e^{u_{n} + v_{n}} \to 1 .

Les nombres $e^{u_{n}}$ et $e^{v_{n}}$ sont solutions de l’équation

(X - e^{u_{n}}) (X - e^{v_{n}}) = 0 c’est-à-dire X^{2} - S_{n} X + P_{n} = 0 .

À l’ordre près, on peut exprimer $e^{u_{n}}$ et $e^{v_{n}}$ à partir du discriminant de cette équation. Or $S_{n} \to 2$ et $P_{n} \to 1$ , le discriminant tend alors vers 0 et les deux suites tendent vers 1. On en déduit $u_{n} \to 0$ puis $v_{n} \to 0$ .

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Édité le 29-08-2023

Limite par opérations