[<] Définition quantifiée des limites [>] Limite par encadrement

 
Exercice 1  4925  

Soient u et v deux suites réelles.

  • (a)

    On suppose que les suites u et u+v convergent. Montrer que la suite v converge.

  • (b)

    On suppose que les suites u et uv convergent. Peut-on affirmer la convergence de la suite v?

 
Exercice 2  2250  Correction  

Soit (un) et (vn) deux suites réelles telles que (un+vn) et (un-vn) convergent.
Montrer que (un) et (vn) convergent.

Solution

Supposons un+vn et un-vn.
un=12(un+vn)+12(un-vn)+2 et de même vn-2.

 
Exercice 3  5022   

Soit (un) une suite de réels strictement positifs. On suppose

un+1unn+2.

Étudier la limite de (un).

 
Exercice 4  3196     ENTPECorrection  

Étudier la convergence de deux suites réelles (un) et (vn) vérifiant

limn+(un+vn)=0etlimn+(eun+evn)=2.

Solution

Exploitons

Sn=eun+evn2 et Pn=eun.evn=eun+vn1.

Les nombres eun et evn sont solutions de l’équation

(X-eun)(X-evn)=0c’est-à-direX2-SnX+Pn=0.

À l’ordre près, on peut exprimer eun et evn à partir du discriminant de cette équation. Or Sn2 et Pn1, le discriminant tend alors vers 0 et les deux suites tendent vers 1. On en déduit un0 puis vn0.

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Édité le 08-11-2019

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