[<] Limite par opérations [>] Calcul de limites

 
Exercice 1  4924  

Étudier la convergence du produit d’une suite bornée par une suite de limite nulle.

 
Exercice 2  2253  Correction  

Soient (un) et (vn) deux suites telles que

0un1,0vn1etunvn1.

Que dire de ces suites?

Solution

On a

unvnun,vn1.

Par le théorème d’encadrement on obtient

limun=limvn=1.
 
Exercice 3  2249   Correction  

Soient (a,b)2, (un) et (vn) deux suites telles que

{n,una et vnbun+vna+b.

Montrer que (un) tend vers a et (vn) vers b.

Solution

On a l’encadrement

0a-un(a-un)+(b-vn)=(a+b)-(un+vn)n+0

donc (un) tend vers a puis

vn=(un+vn)-unn+(a+b)-a=b.
 
Exercice 4  2251   Correction  

Soient (un) et (vn) deux suites convergentes. Étudier

limn+max(un,vn).

Solution

On a

max(a,b)=12((a+b)+|a-b|)

donc

max(un,vn)=12((un+vn)+|un-vn|)n+max(limun,limvn).
 
Exercice 5  2252   Correction  

Soient (un) et (vn) deux suites réelles telles que

un2+unvn+vn20.

Démontrer que les suites (un) et (vn) convergent vers 0.

Solution

On a

0(un+vn)2=un2+2unvn+vn22(un2+unvn+vn2)0.

Ainsi un+vn0 puis

unvn=(un+vn)2-(un2+unvn+vn2)0

et donc

un2+vn2=2(un2+unvn+vn2)-(un+vn)20

qui permet de conclure un0 et vn0.

 
Exercice 6  3497   Correction  

Soit (un) une suite de réels non nuls vérifiant

un+1unn+0.

Déterminer la limite de (un).

Solution

Puisque |un+1/un|0<1/2, il existe un rang N vérifiant

nN,|un+1/un|1/2

c’est-à-dire

nN,|un+1|12|un|.

On a alors par récurrence

nN,|un|12n-N|uN|

et donc, par comparaison,

unn+0.
 
Exercice 7  2260   Correction  

Soit (un)n une suite de réels strictement positifs. On suppose

un+1unn+.
  • (a)

    Montrer que si <1 alors unn+0.

  • (b)

    Montrer que si >1 alors unn++.

  • (c)

    Observer que dans le cas =1 on ne peut rien conclure.

Solution

  • (a)

    Soit ρ=+12 de sorte que <ρ<1.
    Comme un+1un<ρ, il existe un rang N au delà duquel

    un+1unρ.

    On a alors

    0un=unun-1un-1un-2uN+1uNuNρn-NuN0

    donc un0.
    On peut aussi raisonner en observant que la suite (un) est décroissante à partir d’un certain rang, donc convergente et que sa seule limite possible est nulle.

  • (b)

    Même démarche mais par minoration ou par croissance.

  • (c)

    un=n, un=1 et un=1/n sont des exemples prouvant que l’on ne peut rien dire.

 
Exercice 8  2259   

Soit (un) une suite de réels strictement positifs. On suppose

unnn+.
  • (a)

    Montrer que (un) tend vers 0 lorsque <1.

  • (b)

    Montrer que (un) tend vers + lorsque >1.

  • (c)

    Observer que, dans le cas =1, on ne peut rien conclure.

 
Exercice 9  2781    MINES (MP)Correction  

Étudier la convergence de la suite (an1/n), où a>0.

Solution

Si a]0;1[, la suite est constante égale à 0.
Si a=1, la suite est constante égale à 1.
Si a>1 alors an-1<anan donne (an-1)1/n<an1/na et donc, par encadrement, la suite converge vers a.

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Édité le 08-11-2019

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