Exercice 1 4924

Étudier la convergence du produit d’une suite bornée par une suite de limite nulle.

Exercice 2 2253 Correction

Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites telles que

0 \leq u_{n} \leq 1, 0 \leq v_{n} \leq 1 et u_{n} v_{n} \to_{n \to + \infty}^{} 1 .

Que dire de ces suites?

Solution

On a

u_{n} v_{n} \leq u_{n}, v_{n} \leq 1 .

Par le théorème d’encadrement on obtient

lim u_{n} = lim v_{n} = 1 .

Exercice 3 2249 Correction

Soient $(a, b) \in ℝ^{2}$ , $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites telles que

{\begin{matrix} n \in ℕ, u_{n} \leq a et v_{n} \leq b \\ u_{n} + v_{n} \to_{n \to + \infty}^{} a + b . \end{matrix}

Montrer que $(u_{n})$ tend vers $a$ et $(v_{n})$ vers $b$ .

Solution

On a l’encadrement

0 \leq a - u_{n} \leq (a - u_{n}) + (b - v_{n}) = (a + b) - (u_{n} + v_{n}) \to_{n \to + \infty}^{} 0

donc $(u_{n})$ tend vers $a$ puis

v_{n} = (u_{n} + v_{n}) - u_{n} \to_{n \to + \infty}^{} (a + b) - a = b .

Exercice 4 2251 Correction

Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites convergentes. Étudier

lim_{n \to + \infty} \max (u_{n}, v_{n}) .

Solution

On a

\max (a, b) = \frac{1}{2} ((a + b) + | a - b |)

donc

\max (u_{n}, v_{n}) = \frac{1}{2} ((u_{n} + v_{n}) + | u_{n} - v_{n} |) \to_{n \to + \infty}^{} \max (lim u_{n}, lim v_{n}) .

Exercice 5 2252 Correction

Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites réelles telles que

u_{n}^{2} + u_{n} v_{n} + v_{n}^{2} \to_{n \to + \infty}^{} 0 .

Démontrer que les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ convergent vers $0$ .

Solution

On a

0 \leq {(u_{n} + v_{n})}^{2} = u_{n}^{2} + 2 u_{n} v_{n} + v_{n}^{2} \leq 2 (u_{n}^{2} + u_{n} v_{n} + v_{n}^{2}) \to 0 .

Ainsi $u_{n} + v_{n} \to 0$ puis

u_{n} v_{n} = {(u_{n} + v_{n})}^{2} - (u_{n}^{2} + u_{n} v_{n} + v_{n}^{2}) \to 0

et donc

u_{n}^{2} + v_{n}^{2} = 2 (u_{n}^{2} + u_{n} v_{n} + v_{n}^{2}) - {(u_{n} + v_{n})}^{2} \to 0

qui permet de conclure $u_{n} \to 0$ et $v_{n} \to 0$ .

Exercice 6 3497 Correction

Soit $(u_{n})$ une suite de réels non nuls vérifiant

\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} \to_{n \to + \infty}^{} 0 .

Déterminer la limite de $(u_{n})$ .

Solution

Puisque $| u_{n + 1} / u_{n} | \to 0 < 1 / 2$ , il existe un rang $N \in ℕ$ vérifiant

\forall n \geq N, | u_{n + 1} / u_{n} | \leq 1 / 2

c’est-à-dire

\forall n \geq N, | u_{n + 1} | \leq \frac{1}{2} | u_{n} | .

On a alors par récurrence

\forall n \geq N, | u_{n} | \leq \frac{1}{2^{n - N}} | u_{N} |

et donc, par comparaison,

u_{n} \to_{n \to + \infty}^{} 0 .

Exercice 7 2260 Correction

Soit ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ une suite de réels strictement positifs. On suppose

\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} \to_{n \to + \infty}^{} ℓ .

(a)

Montrer que si $ℓ < 1$ alors $u_{n} \to_{n \to + \infty}^{} 0$ .
(b)

Montrer que si $ℓ > 1$ alors $u_{n} \to_{n \to + \infty}^{} + \infty$ .
(c)

Observer que dans le cas $ℓ = 1$ on ne peut rien conclure.

Solution

(a)

Soit $ρ = \frac{ℓ + 1}{2}$ de sorte que $ℓ < ρ < 1$ .

Comme

$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} \to_{n \to + \infty}^{} ℓ < ρ,$

il existe un rang $N$ au delà duquel

$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} \leq ρ .$

On a alors

$0 \leq u_{n} = \frac{u_{n}}{u_{n - 1}} \frac{u_{n - 1}}{u_{n - 2}} \dots \frac{u_{N + 1}}{u_{N}} u_{N} \leq ρ^{n - N} u_{N} \to_{n \to + \infty}^{} 0$

Par encadrement, la suite $(u_{n})$ est de limite nulle.

On peut aussi raisonner en observant que la suite $(u_{n})$ est décroissante à partir d’un certain rang, donc convergente et que sa seule limite possible est nulle.
(b)

Même démarche mais par minoration ou par croissance.
(c)

$u_{n} = n$ , $u_{n} = 1$ et $u_{n} = 1 / n$ sont des exemples prouvant que l’on ne peut rien dire.

Exercice 8 2259

Soit $(u_{n})$ une suite de réels strictement positifs. On suppose

\sqrt[n]{u_{n}} \to_{n \to + \infty}^{} ℓ .

(a)

Montrer que $(u_{n})$ tend vers $0$ lorsque $ℓ < 1$ .
(b)

Montrer que $(u_{n})$ tend vers $+ \infty$ lorsque $ℓ > 1$ .
(c)

Observer que, dans le cas $ℓ = 1$ , on ne peut rien conclure.

Exercice 9 2781 MINES (MP)Correction

Étudier la convergence de la suite $({⌊ a^{n} ⌋}^{1 / n})$ , où $a > 0$ .

Solution

Si $a \in] 0; 1 [$ , la suite est constante égale à 0.
Si $a = 1$ , la suite est constante égale à 1.
Si $a > 1$ alors $a^{n} - 1 < ⌊ a^{n} ⌋ \leq a^{n}$ donne ${(a^{n} - 1)}^{1 / n} < {⌊ a^{n} ⌋}^{1 / n} \leq a$ et donc, par encadrement, la suite converge vers $a$ .

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Édité le 08-12-2023

Limite par encadrement