[<] Suites extraites [>] Expression du terme général d'une suite récurrente

 
Exercice 1  2290  Correction  

Soit n un entier naturel et En l’équation x+tan(x)=n d’inconnue x]-π/2;π/2[.

  • (a)

    Montrer que l’équation En possède une solution unique notée xn.

  • (b)

    Montrer que la suite (xn) converge et déterminer sa limite.

Solution

  • (a)

    Le tableau de variation de f:xx+tan(x) permet d’affirmer que cette fonction réalise une bijection croissante de ]-π/2;π/2[ vers . L’équation En possède alors pour solution unique

    xn=f-1(n).
  • (b)

    On a xn+tan(xn)=n avec xn]-π/2;π/2[ donc

    xn=arctan(n-xn).

    Or n-xn+ car (xn) bornée et donc

    xnπ2.
 
Exercice 2  2288  Correction  

Montrer que l’équation xex=n possède pour tout n, une unique solution xn dans +.
Étudier la limite de (xn).

Solution

Soit f:+ définie par f(x)=xex.
f est dérivable et f(x)=(x+1)ex>0 donc f est strictement croissante.
f(0)=0 et lim+f=+ donc l’équation xex=n possède une unique solution xn.
xn=f-1(n)+.

 
Exercice 3  2291   Correction  

Soit n un entier naturel non nul et En l’équation: xnln(x)=1 d’inconnue x+*.

  • (a)

    Montrer que l’équation En admet une unique solution xn, et que xn1.

  • (b)

    Montrer que la suite (xn) est décroissante et converge vers 1.

Solution

  • (a)

    Le tableau de variation de fn:xxnln(x) permet d’affirmer que l’équation fn(x)=1 possède une unique solution xn sur +* et que de plus xn[1;+[.

  • (b)

    1=xn+1n+1ln(xn+1)=xn+1fn(xn+1) donc fn(xn+1)=1xn+11=fn(xn) donc xn+1xn car f est strictement croissante sur [1;+[.
    La suite (xn) est décroissante et minorée par 1 donc elle converge. Posons sa limite, on a 1
    Si >1 alors xnnln(xn)nln()+ ce qui est absurde car xnnln(xn)=1. Il reste =1.

 
Exercice 4  314   Correction  

Montrer que pour tout n1, l’équation

xnn!=k=0n-1xkk!

possède une unique racine xn dans ]0;+[. Déterminer limxn.

Solution

On pose fn(x)=xnn!-k=0nxkk!. On observe que fn(0)=-1, limx+fn(x)=+ et fn+1=fn. La propriété est vrai pour n=1 et si elle est vrai au rang n, le tableau de signe de fn permet d’assurer que fn+1 est décroissante (et donc strictement négative) sur [0;xn] puis strictement croissante sur [xn;+]. Par le théorème des valeurs intermédiaires, on peut assurer que f s’annule en un xn+1>xn et celui-ci est unique.
La suite (xn) est croissante. Si elle est majorée alors elle converge vers un réel et xnnn!0. Or la suite de terme général est k=0nxnkk! est croissante et strictement positive. Elle ne peut donc converger vers 0. Par conséquent, la suite (xn) n’est pas majorée et, étant croissante, elle diverge vers +.

 
Exercice 5  315   Correction  

Montrer que la relation nunn+1-(n+1)unn=1 définit une suite positive (un) unique.
Étudier sa convergence et préciser sa limite.

Solution

L’étude des variations de la fonction xnxn+1-(n+1)xn assure l’existence et l’unicité de un>0 vérifiant la relation

nunn+1-(n+1)unn=1.

De plus, on peut affirmer un1.
Puisque

unn(n(un-1)-1)=1 et unn1

on a

n(un-1)-11

puis

0un-12/n

permet de conclure un1.

 
Exercice 6  2292    

Pour n*, on étudie l’équation

(En):xn+xn-1++x=1.
  • (a)

    Montrer que l’équation (En) possède une unique solution xn dans + et que xn est élément de l’intervalle [1/2;1].

  • (b)

    Montrer la convergence de la suite (xn) et déterminer sa limite.

[<] Suites extraites [>] Expression du terme général d'une suite récurrente



Édité le 08-11-2019

Bootstrap Bootstrap 3 - LaTeXML [LOGO] - Powered by MathJax Powered by MathJax