[<] Suites extraites [>] Expression du terme général d'une suite récurrente
Soit un entier naturel et l’équation d’inconnue .
Montrer que l’équation possède une solution unique notée .
Montrer que la suite converge et déterminer sa limite.
Solution
Le tableau de variation de permet d’affirmer que cette fonction réalise une bijection croissante de vers . L’équation possède alors pour solution unique
On a avec donc
Or car bornée et donc
Montrer que l’équation possède pour tout , une unique solution dans .
Étudier la limite de .
Solution
Soit définie par .
est dérivable et donc est strictement croissante.
et donc l’équation possède une unique solution .
.
Soient un entier naturel non nul et l’équation: d’inconnue .
Montrer que l’équation admet une unique solution , et que .
Montrer que la suite est décroissante et converge vers 1.
Solution
Le tableau de variation de permet d’affirmer que l’équation possède une unique solution sur et que de plus .
donc donc car est strictement croissante sur .
La suite est décroissante et minorée par donc elle converge. Posons sa limite, on a .
Par l’absurde, si alors
C’est absurde car . Il reste .
Montrer que pour tout , l’équation
possède une unique racine dans . Déterminer .
Solution
On pose . On observe que , et . La propriété est vrai pour et si elle est vrai au rang , le tableau de signe de permet d’assurer que est décroissante (et donc strictement négative) sur puis strictement croissante sur . Par le théorème des valeurs intermédiaires, on peut assurer que s’annule en un et celui-ci est unique.
La suite est croissante. Si elle est majorée alors elle converge vers un réel et . Or la suite de terme général est est croissante et strictement positive. Elle ne peut donc converger vers 0. Par conséquent, la suite n’est pas majorée et, étant croissante, elle diverge vers .
Montrer que la relation définit une suite positive unique.
Étudier sa convergence et préciser sa limite.
Solution
L’étude des variations de la fonction assure l’existence et l’unicité de vérifiant la relation
De plus, on peut affirmer .
Puisque
on a
puis
permet de conclure .
Pour , on étudie l’équation
Montrer que l’équation possède une unique solution dans et que est élément de l’intervalle .
Montrer la convergence de la suite et déterminer sa limite.
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Édité le 08-12-2023
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