Quitte à réordonner les ${\lambda }_i$, on peut supposer

$$|{\lambda }_1|=\mathrm{\dots }=|{\lambda }_p|>|{\lambda }_{p+1}|⩾\mathrm{\dots }⩾|{\lambda }_n|\text{.}$$

Par l’absurde, supposons $\rho =|{\lambda }_1|>1$. On a alors

$$\frac{1}{{\rho }^k}{u}_k\underset{k\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0\text{.}$$

Aussi,

$$\forall i\in ⟦p+1;n⟧,\frac{{\lambda }_i^k}{{\rho }^k}\underset{k\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0$$

et donc

$$\frac{{\lambda }_1^k+\mathrm{\cdots }+{\lambda }_p^k}{{\rho }^k}\underset{k\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0\text{.}$$

En regroupant entre eux les ${\lambda }_i$ qui sont égaux, on parvient à une relation du type

$$v_k={\alpha }_1{\mu }_1^k+\mathrm{\cdots }+{\alpha }_m{\mu }_m^k\underset{k\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0$$

avec $m\in ⟦1;p⟧$, ${\alpha }_1,\mathrm{\dots },{\alpha }_m\in {ℂ}^{*}$ et ${\mu }_1,\mathrm{\dots },{\mu }_m$ nombres complexes deux à deux distincts de module $1$.

Si $m=1$, on obtient ${\alpha }_1{\mu }_1^k\underset{k\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0$ avec ${\alpha }_1\ne 0$ et $|{\mu }_1|=1$ ce qui est absurde.

Si $m⩾2$, on a

$$v_{k+1}-{\mu }_m{v}_k\underset{k\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0$$

et donc

$${\alpha }_1({\mu }_1-{\mu }_m){\mu }_1^k+\mathrm{\cdots }+{\alpha }_1({\mu }_{m-1}-{\mu }_m){\mu }_{m-1}^k\underset{k\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0\text{.}$$

Cela conduit à une propriété analogue à la précédente avec, dans la somme, un terme en moins. En répétant ce procédé, on se ramène au cas $m=1$ qui conduit à une absurdité.