Montrons que la suite $(u_n)$ converge vers 0 par l’epsilontique…
Soit $\epsilon >0$. Puisque la suite $({\epsilon }_n)$ converge vers 0, il existe un rang $N\in \mathbb{N}$ pour lequel

$$\forall n\ge N\mathrm{,\hspace{0.25em}0}\le {\epsilon }_n\le \epsilon$$

et alors pour tout $n\ge N$

$$0\le u_{n+1}\le \frac{u_n+\epsilon }{K}\text{.}$$

On en déduit

$$0\le u_{n+2}\le \frac{u_n}{K^2}+\frac{\epsilon }{K^2}+\frac{\epsilon }{K}$$

et par récurrence

$$\forall p\in \mathbb{N}\mathrm{,\hspace{0.25em}0}\le u_{n+p}\le \frac{u_n}{K^p}+\sum _{i=1}^p\frac{\epsilon }{K^i}\text{.}$$

La suite $(u_n)$ est majorée par 1 et l’on peut encore écrire

$$\forall p\in \mathbb{N}\mathrm{,\hspace{0.25em}0}\le u_{n+p}\le \frac{1}{K^p}+\frac{\epsilon }{K}\frac{1-{(1/K)}^p}{1-1/K}\le \frac{1}{K^p}+\frac{\epsilon }{K-1}\text{.}$$

Pour $p$ assez grand, on a $1/K^p\le \epsilon$ et alors

$$0\le u_{n+p}\le \epsilon +\frac{\epsilon }{K-1}=\lambda \epsilon$$

avec $\lambda$ une constante strictement positive ce qui permet de conclure.