[<] Étude de suites numériques [>] Limite par opérations

 
Exercice 1  5270  
  • (a)

    Soit (un) une suite réelle convergeant vers >0. Montrer que les termes de la suite (un) sont strictement positifs à partir d’un certain rang.

  • (b)

    Soient (un) et (vn) deux suites réelles convergeant vers et avec <. Montrer que un est strictement inférieur à vn à partir d’un certain rang.

 
Exercice 2  2248   

Soit (un) une suite dont les termes sont tous entiers.

Montrer que (un) converge si, et seulement si, (un) est stationnaire.

 
Exercice 3  4939   

Soit (un) une suite dont les termes sont deux à deux distincts et appartiennent à . Étudier son éventuelle limite.

 
Exercice 4  4932    

(Lemme de Cesàro)

Soient (un)n1 une suite réelle et (vn)n1 la suite des moyennes

vn=u1+u2++unnpour tout n1.

On suppose que (un)n1 converge vers un réel , montrer que (vn)n1 converge aussi vers .

 
Exercice 5  3184      CENTRALE (PC)Correction  

Soient K un réel strictement supérieur à 1 et (εn) une suite de réels positifs convergeant vers 0. Soit (un) une suite de réels de [0;1] vérifiant

n, 0un+1un+εnK.

La suite (un) converge-t-elle vers 0?

Solution

Montrons que la suite (un) converge vers 0 par l’epsilontique…
Soit ε>0. Puisque la suite (εn) converge vers 0, il existe un rang N pour lequel

nN, 0εnε

et alors pour tout nN

0un+1un+εK.

On en déduit

0un+2unK2+εK2+εK

et par récurrence

p, 0un+punKp+i=1pεKi.

La suite (un) est majorée par 1 et l’on peut encore écrire

p, 0un+p1Kp+εK1-(1/K)p1-1/K1Kp+εK-1.

Pour p assez grand, on a 1/Kpε et alors

0un+pε+εK-1=λε

avec λ une constante strictement positive ce qui permet de conclure.

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Édité le 08-11-2019

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