[<] Limite par encadrement [>] Limites des suites monotones
Étudier11 1 Étudier une limite consiste à savoir si celle-ci existe (ce qui n’est pas automatique) et déterminer sa valeur si tel est le cas. les limites suivantes:
avec .
Déterminer la limite, si celle-ci existe, des suites suivantes:
Solution
Déterminer les limites des suites dont les termes généraux sont les suivants:
Solution
or
car . Par suite, .
car
or
donc .
or
donc
Déterminer par comparaison, la limite des suites suivantes:
Solution
donc .
donc .
avec donc .
Pour , donc .
donc .
Déterminer les limites des suites dont les termes généraux sont les suivants:
Solution
.
donc
Par le théorème des accroissements finis
avec donc
Soit . Montrer la divergence des suites de termes généraux avec:
.
Étudier les limites quand croît vers l’infini des termes suivants:
.
Déterminer les limites des sommes suivantes:
Solution
.
donc .
.
donc puis .
par le théorème des gendarmes: .
. Par regroupement de termes.
Si est pair alors et si est impair .
Puisque
on a .
Soient et
Montrer que si alors tandis que si , .
Montrer que si , la suite est monotone et convergente.
Toujours dans le cas et en exploitant l’encadrement valable pour tout , établir .
Solution
Si alors donc .
Si alors donc .
donc est croissante. De plus, donc est majorée et par conséquent convergente.
et
donc
Soit
où est fixé. Montrer que la suite converge. Sa limite sera notée (on ne demande pas ici de la calculer)
Soit de classe et telle que . Soit
Montrer que converge. Exprimer sa limite en fonction de .
Calculer en utilisant .
Si de dans est continue et vérifie , montrer qu’il peut y avoir divergence de la suite .
Solution
La suite est croissante car
et donc converge vers une limite .
Commençons par le cas où .
Soit , il existe tel que pour tout on ait et par l’inégalité des accroissements finis, on obtient
On a alors
et donc .
Pour le cas général, il suffit d’introduire . Puisque , on a
et donc
et finalement .
Pour ,
On conclut .
Pour ,
Pour tout , on pose
Établir que pour tout ,
En déduire la limite de .
Établir que . En déduire la limite de .
Solution
On a
car la fonction décroissante est majorée par sur .
Par un argument semblable
Pour ,
donne en sommant
Or
et
donc .
On a
donc
Par suite, . De plus,
donc
Soit . Pour on pose
Montrer que
Montrer par récurrence
Pour , on pose . Montrer que converge vers .
En déduire la limite de en fonction de .
Solution
d’où la relation.
Par récurrence sur :
Pour :
ok
Supposons la propriété établie au rang .
Récurrence établie.
Par opérations
Soit avec . Existence et calcul de
Solution
On a
Or donc
En répétant la manipulation
Or donc
Soient et pour ,
Montrer que
et déterminer .
Solution
En exploitant la formule
Si alors .
Si alors, pour assez grand, et
Puisque
on a
puis
car
Établir que pour tout on a
En déduire la limite de
Solution
Il suffit de dresser le tableau de variation des fonctions et .
et
donc
Pour , on pose
Étudier la limite de la suite .
Établir que pour tout entier
et en déduire pour tout .
Soit avec . Observer que pour tout entier
et en déduire .
Établir que tend vers .
Solution
Pour ,
La suite tend vers .
Par la formule du binôme de Newton,
Les deux premiers termes de la somme sont égaux à . Les suivants se réexpriment
ce qui donne
Pour compris entre et ,
En sommant,
L’inégalité est aussi vraie pour (et c’est une égalité).
Soient . Par troncature d’une somme de termes positifs,
En passant à la limite quand tend vers l’infini, il vient alors
Par ce qui précède, on peut affirmer l’encadrement
Par théorème d’encadrement,
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Édité le 08-12-2023
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