Exercice 1 2294 Correction

Soient $(x_{n})$ et $(y_{n})$ deux suites réelles telles que

x_{n + 1} = \frac{x_{n} - y_{n}}{2} et y_{n + 1} = \frac{x_{n} + y_{n}}{2} .

En introduisant la suite complexe de terme général $z_{n} = x_{n} + i y_{n}$ , montrer que les suites $(x_{n})$ et $(y_{n})$ convergent et déterminer leurs limites.

Solution

On a

z_{n + 1} = \frac{1 + i}{2} z_{n}

donc

z_{n} = {(\frac{1 + i}{2})}^{n} z_{0} .

Or $| \frac{1 + i}{2} | < 1$ donc $z_{n} \to 0$ puis $x_{n}, y_{n} \to 0$ .

Exercice 2 2295 Correction

Soit $(z_{n})$ une suite complexe telle que

\forall n \in ℕ, z_{n + 1} = \frac{1}{3} (z_{n} + 2 {\bar{z}}_{n}) .

Montrer que $(z_{n})$ converge et exprimer sa limite en fonction de $z_{0}$ .

Solution

Introduisons $x_{n} = Re (z_{n})$ et $y_{n} = Im (z_{n})$ . On a

x_{n + 1} = x_{n} et y_{n + 1} = - \frac{y_{n}}{3}

$x_{n} \to x_{0}$ et $y_{n} \to 0$ donc $z_{n} \to Re (z_{0})$ .

Exercice 3 4938

(Moyenne arithmético-géométrique)

Soit $(a, b) \in ℝ_{+}^{2}$ . On considère les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ définies par

u_{0} = a, v_{0} = b et u_{n + 1} = \sqrt{u_{n} v_{n}}, v_{n + 1} = \frac{u_{n} + v_{n}}{2} pour tout n \in ℕ .

Montrer que les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont bien définies et convergent vers une même limite. Celle-ci est appelée moyenne arithmético-géométrique des réels $a$ et $b$ .

Exercice 4 326 Correction

Pour $α \in] 0; π / 2]$ , on étudie les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ définies par

{\begin{matrix} u_{0} = \cos (α) \\ v_{0} = 1 \end{matrix} et {\begin{matrix} u_{n + 1} = (u_{n} + v_{n}) / 2 \\ v_{n + 1} = \sqrt{u_{n + 1} v_{n}} \end{matrix} pour tout n \in ℕ .

(a)

Établir que pour tout $n \in ℕ$ ,

$u_{n} = v_{n} \cos (\frac{α}{2^{n}}) et v_{n} = \prod_{k = 1}^{n} \cos (\frac{α}{2^{k}}) .$
(b)

Étudier $\sin (\frac{α}{2^{n}}) v_{n}$ et en déduire les limites de $(u_{n})$ et $(v_{n})$ .

Solution

(a)

Exploiter $1 + \cos (x) = 2 \cos^{2} (\frac{x}{2})$ et raisonner par récurrence.
(b)

$\sin (\frac{α}{2^{n}}) v_{n} = \frac{1}{2^{n}} \sin (α)$

via $\sin (a) \cos (a) = \frac{1}{2} \sin (2 a)$ . Par suite,

$v_{n} \sim \frac{\sin (α)}{2^{n} \sin (α / 2^{n})} \to \frac{\sin (α)}{α}$

et aussi

$u_{n} \to \frac{\sin (α)}{α} .$

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Édité le 29-08-2023

Couple de suites récurrentes