Exercice 1 2294 Correction

Soient $(x_{n})$ et $(y_{n})$ deux suites réelles telles que

x_{n + 1} = \frac{x_{n} - y_{n}}{2} et y_{n + 1} = \frac{x_{n} + y_{n}}{2} .

En introduisant la suite complexe de terme général $z_{n} = x_{n} + i y_{n}$ , montrer que les suites $(x_{n})$ et $(y_{n})$ convergent et déterminer leurs limites.

Solution

On a

z_{n + 1} = \frac{1 + i}{2} z_{n}

donc

z_{n} = {(\frac{1 + i}{2})}^{n} z_{0} .

Or $| \frac{1 + i}{2} | < 1$ donc $z_{n} \to 0$ puis $x_{n}, y_{n} \to 0$ .

Exercice 2 2295 Correction

Soit $(z_{n})$ une suite complexe telle que

\forall n \in ℕ, z_{n + 1} = \frac{1}{3} (z_{n} + 2 {\bar{z}}_{n}) .

Montrer que $(z_{n})$ converge et exprimer sa limite en fonction de $z_{0}$ .

Solution

Introduisons $x_{n} = Re (z_{n})$ et $y_{n} = Im (z_{n})$ . On a

x_{n + 1} = x_{n} et y_{n + 1} = - \frac{y_{n}}{3}

$x_{n} \to x_{0}$ et $y_{n} \to 0$ donc $z_{n} \to Re (z_{0})$ .

Exercice 3 6058 ENSTIM (PC)Correction

Soient $a, b > 0$ . On étudie les suites ${(a_{n})}_{n \in ℕ}$ et ${(b_{n})}_{n \in ℕ}$ déterminées par $a_{0} = a, b_{0} = b$ et

\forall n \in ℕ, a_{n + 1} = \frac{a_{n} + b_{n}}{2} et b_{n + 1} = \frac{2 a_{n} b_{n}}{a_{n} + b_{n}} .

(a)

Montrer que les suites ${(a_{n})}_{n \in ℕ}$ et ${(b_{n})}_{n \in ℕ}$ sont correctement définies et strictement positives.
(b)

Vérifier

$\forall n \geq 1, a_{n} \geq b_{n} .$
(c)

Montrer que ${(a_{n})}_{n \geq 1}$ est décroissante et ${(b_{n})}_{n \geq 1}$ croissante.
(d)

Justifier que ${(a_{n})}_{n \in ℕ}$ et ${(b_{n})}_{n \in ℕ}$ convergent vers la même limite est exprimer celle-ci en fonction de $a$ et $b$ .

Pour déterminer la limite, on pourra constater la constance de la suite ${(a_{n} b_{n})}_{n \in ℕ}$ .

Solution

(a)

La fonction itératrice

$f : {\begin{matrix} ℝ_{+}^{*} \times ℝ_{+}^{*} & \to & ℝ^{2} \\ (x, y) & \mapsto & (\frac{x + y}{2}, \frac{2 x y}{x + y}) \end{matrix}$

est correctement définie et prend ses valeurs dans $ℝ_{+}^{*} \times ℝ_{+}^{*}$ . Puisque $(a, b) \in ℝ_{+}^{*} \times ℝ_{+}^{*}$ , les suites ${(a_{n})}_{n \in ℕ}$ et ${(b_{n})}_{n \in ℕ}$ sont correctement définies avec

$\forall n \in ℕ, (a_{n}, b_{n}) \in ℝ_{+}^{*} \times ℝ_{+}^{*} .$
(b)

Pour $n \geq 1$ , on peut exprimer $a_{n}$ et $b_{n}$ en fonction de $a_{n - 1}$ et $b_{n - 1}$ pour écrire

$a_{n} - b_{n} = \frac{{(a_{n - 1} + b_{n - 1})}^{2} - 4 a_{n - 1} b_{n - 1}}{2 (a_{n - 1} + b_{n - 1})} = \frac{{(a_{n - 1} - b_{n - 1})}^{2}}{2 (a_{n - 1} + b_{n - 1})} \geq 0 .$
(c)

Pour $n \geq 1$ ,

$a_{n + 1} - a_{n} = \frac{b_{n} - a_{n}}{2} \leq 0 et b_{n + 1} - b_{n} = \frac{(a_{n} - b_{n}) b_{n}}{a_{n} + b_{n}} \geq 0 .$
(d)

Les suites ${(a_{n})}_{n \geq 1}$ et ${(b_{n})}_{n \geq 1}$ sont monotones et bornées car

$\forall n \in ℕ^{*}, 0 < b_{n} \leq a_{n} \leq a_{1} .$

Ces deux suites sont donc convergentes. En notant $ℓ_{a}$ et $ℓ_{b}$ leurs limites respectives, on obtient par passage à la limite de la relation de récurrence définissant ${(a_{n})}_{n \in ℕ}$

$ℓ_{a} = \frac{ℓ_{a} + ℓ_{b}}{2} .$

On en déduit $ℓ_{a} = ℓ_{b}$ (désormais notée $ℓ$ ).

Les relations de récurrence définissant les suites ${(a_{n})}_{n \in ℕ}$ et ${(b_{n})}_{n \in ℕ}$ donnent

$\forall n \in ℕ, a_{n + 1} b_{n + 1} = a_{n} b_{n} .$

Cela justifie la constance de la suite ${(a_{n} b_{n})}_{n \in ℕ}$ . Par produit de limites,

$a_{n} b_{n} \to_{n \to + \infty}^{} ℓ^{2}$

alors que

$\forall n \in ℕ, a_{n} b_{n} = a_{0} b_{0} = a b .$

On conclut $ℓ = \sqrt{a b}$ (car $ℓ \geq 0$ ).

Exercice 4 4938

(Moyenne arithmético-géométrique)

Soit $(a, b) \in ℝ_{+}^{2}$ . On considère les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ définies par

u_{0} = a, v_{0} = b et u_{n + 1} = \sqrt{u_{n} v_{n}}, v_{n + 1} = \frac{u_{n} + v_{n}}{2} pour tout n \in ℕ .

Montrer que les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont bien définies et convergent vers une même limite. Celle-ci est appelée moyenne arithmético-géométrique des réels $a$ et $b$ .

Exercice 5 326 Correction

Pour $α \in] 0; π / 2]$ , on étudie les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ définies par

{\begin{matrix} u_{0} = \cos (α) \\ v_{0} = 1 \end{matrix} et {\begin{matrix} u_{n + 1} = (u_{n} + v_{n}) / 2 \\ v_{n + 1} = \sqrt{u_{n + 1} v_{n}} \end{matrix} pour tout n \in ℕ .

(a)

Établir que pour tout $n \in ℕ$ ,

$u_{n} = v_{n} \cos (\frac{α}{2^{n}}) et v_{n} = \prod_{k = 1}^{n} \cos (\frac{α}{2^{k}}) .$
(b)

Étudier $\sin (\frac{α}{2^{n}}) v_{n}$ et en déduire les limites de $(u_{n})$ et $(v_{n})$ .

Solution

(a)

Exploiter $1 + \cos (x) = 2 \cos^{2} (\frac{x}{2})$ et raisonner par récurrence.
(b)

$\sin (\frac{α}{2^{n}}) v_{n} = \frac{1}{2^{n}} \sin (α)$

via $\sin (a) \cos (a) = \frac{1}{2} \sin (2 a)$ . Par suite,

$v_{n} \sim \frac{\sin (α)}{2^{n} \sin (α / 2^{n})} \to \frac{\sin (α)}{α}$

et aussi

$u_{n} \to \frac{\sin (α)}{α} .$

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Édité le 20-09-2025

Couple de suites récurrentes