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Exercice 1  2294  Correction  

Soient (xn) et (yn) deux suites réelles telles que

xn+1=xn-yn2etyn+1=xn+yn2.

En introduisant la suite complexe de terme général zn=xn+iyn, montrer que les suites (xn) et (yn) convergent et déterminer leurs limites.

Solution

On a

zn+1=1+i2zn

donc

zn=(1+i2)nz0.

Or |1+i2|<1 donc zn0 puis xn,yn0.

 
Exercice 2  2295  Correction  

Soit (zn) une suite complexe telle que

n,zn+1=13(zn+2z¯n).

Montrer que (zn) converge et exprimer sa limite en fonction de z0.

Solution

Introduisons xn=Re(zn) et yn=Im(zn). On a

xn+1=xn et yn+1=-yn3

xnx0 et yn0 donc znRe(z0).

 
Exercice 3  4938   

(Moyenne arithmético-géométrique)

Soit (a,b)+2. On considère les suites (un) et (vn) définies par

u0=a,v0=betun+1=unvn,vn+1=un+vn2pour tout n.

Montrer que les suites (un) et (vn) sont bien définies et convergent vers une même limite. Celle-ci est appelée moyenne arithmético-géométrique des réels a et b.

 
Exercice 4  326   Correction  

Pour α]0;π/2], on étudie les suites (un) et (vn) définies par

{u0=cos(α)v0=1et{un+1=(un+vn)/2vn+1=un+1vn.pour tout n.
  • (a)

    Établir que pour tout n,

    un=vncos(α2n) et vn=k=1ncos(α2k).
  • (b)

    Étudier sin(α2n)vn et en déduire les limites de (un) et (vn).

Solution

  • (a)

    Exploiter 1+cos(x)=2cos2(x2) et raisonner par récurrence.

  • (b)
    sin(α2n)vn=12nsin(α)

    via sin(a)cos(a)=12sin(2a). Par suite,

    vnsin(α)2nsin(α/2n)sin(α)α

    et aussi

    unsin(α)α.

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Édité le 08-11-2019

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