[<] Suites adjacentes [>] Limite de suites de solutions d'une équation

 
Exercice 1  2276  Correction  

On suppose que (un) est une suite réelle croissante telle que (u2n) converge.
Montrer que (un) converge.

Solution

La suite (un) étant croissante, elle admet une limite (finie ou infinie).
La suite (u2n) qui en est extraite a la même limite.
Or (u2n) converge, il en est donc de même de (un).

 
Exercice 2  5271   

Soit (un) une suite réelle.

  • (a)

    Montrer que (un) converge si, et seulement si, les suites extraites (u2p) et (u2p+1) convergent vers la même limite11 1 Ce résultat sera souvent utilisé par la suite..

  • (b)

    Montrer que, si les suites extraites (u2p), (u2p+1) et (uq2) convergent, alors (un) converge.

 
Exercice 3  2278  Correction  

Justifier que la suite de terme général cos(n) diverge.

Solution

Par l’absurde, supposons cos(n).

cos(p)+cos(q)=2cos(p+q2)cos(p-q2)

donne

cos(n+1)+cos(n-1)=2cos(n)cos(1).

À la limite on obtient 2=2cos(1) d’où =0.
Or cos(2n)=2cos2(n)-1 donne alors à la limite 0=-1. Absurde.

 
Exercice 4  327  Correction  

Montrer que la suite de terme général sin(n) diverge.

Solution

Par l’absurde, supposons sin(n).

sin(p)-sin(q)=2sin(p-q2)cos(p+q2)

donne

sin(n+1)-sin(n-1)=2sin(1)cos(n).

À la limite, on obtient cos(n)0.
Or cos(2n)=2cos2(n)-1 donne alors à la limite 0=-1. Absurde.

 
Exercice 5  2279   Correction  

Soit (un) une suite réelle telle que

n,p*, 0un+pn+pnp.

Montrer que (un) tend vers 0.

Solution

D’une part

0u2n2nn2=2n0.

D’autre part

0u2n+12n+1n(n+1)0.

On en déduit un0.

 
Exercice 6  3234      X (MP)

Soit (un) une suite réelle vérifiant

un+1-unn+0etunn++

Montrer qu’il existe une application φ: strictement croissante vérifiant

uφ(n)-nn+0
 
Exercice 7  266   Correction  

Soit f:[a;b] de classe 𝒞1 et s’annulant une infinité de fois. Montrer qu’il existe α[a;b] tel que f(α)=f(α)=0.

Solution

Soit (an) une suite de valeurs d’annulation deux à deux distinctes de f. Par le théorème de Bolzano-Weierstrass, on peut extraire de la suite bornée (an) une sous-suite convergente (aφ(n)). Posons α sa limite. Par continuité, on a f(α)=0. En appliquant le théorème de Rolle entre aφ(n) et aφ(n+1), il existe bn compris entre ces deux nombres tel que f(bn)=0. Quand n+, on a bnα par encadrement et donc par continuité de f, on a f(α)=0.

Finalement, f(α)=f(α)=0.

 
Exercice 8  4940    

(Critère de Cauchy)

On dit qu’une suite réelle (un) satisfait le critère de Cauchy lorsqu’elle vérifie11 1 Cette propriété signifie que les termes de la suite sont asymptotiquement proches les uns des autres.

ε>0,N,(p,q)2,(pN et qN)|up-uq|ε
  • (a)

    Montrer qu’une suite convergente satisfait le critère de Cauchy.

  • (b)

    Inversement, montrer à l’aide du théorème de Bolzano-Weierstrass qu’une suite vérifiant le critère de Cauchy est convergente.

[<] Suites adjacentes [>] Limite de suites de solutions d'une équation



Édité le 08-11-2019

Bootstrap Bootstrap 3 - LaTeXML [LOGO] - Powered by MathJax Powered by MathJax