Exercice 1 2276 Correction

On suppose que $(u_{n})$ est une suite réelle croissante telle que $(u_{2 n})$ converge.
Montrer que $(u_{n})$ converge.

Solution

La suite $(u_{n})$ étant croissante, elle admet une limite (finie ou infinie).
La suite $(u_{2 n})$ qui en est extraite a la même limite.
Or $(u_{2 n})$ converge, il en est donc de même de $(u_{n})$ .

Exercice 2 5271

Soit $(u_{n})$ une suite réelle.

(a)

Montrer que $(u_{n})$ converge si, et seulement si, les suites extraites $(u_{2 p})$ et $(u_{2 p + 1})$ convergent vers la même limite¹¹ 1 Ce résultat sera souvent utilisé par la suite..
(b)

Montrer que, si les suites extraites $(u_{2 p})$ , $(u_{2 p + 1})$ et $(u_{q^{2}})$ convergent, alors $(u_{n})$ converge.

Exercice 3 2278 Correction

Justifier que la suite de terme général $\cos (n)$ diverge.

Solution

Par l’absurde, supposons la suite ${(\cos (n))}_{n \in ℕ}$ de limite $ℓ \in ℝ$ . On sait

\cos (p) + \cos (q) = 2 \cos (\frac{p + q}{2}) \cos (\frac{p - q}{2})

et donc

\cos (n + 1) + \cos (n - 1) = 2 \cos (n) \cos (1) .

À la limite, on obtient $2 ℓ = 2 ℓ \cos (1)$ ce qui entraîne $ℓ = 0$ .

Or $\cos (2 n) = 2 \cos^{2} (n) - 1$ donne alors à la limite $0 = - 1$ . C’est absurde.

Exercice 4 327 Correction

Montrer que la suite de terme général $\sin (n)$ diverge.

Solution

Par l’absurde, supposons $\sin (n) \to ℓ \in ℝ$ .

\sin (p) - \sin (q) = 2 \sin (\frac{p - q}{2}) \cos (\frac{p + q}{2})

donne

\sin (n + 1) - \sin (n - 1) = 2 \sin (1) \cos (n) .

À la limite, on obtient $\cos (n) \to 0$ .
Or $\cos (2 n) = 2 \cos^{2} (n) - 1$ donne alors à la limite $0 = - 1$ . Absurde.

Exercice 5 2279 Correction

Soit $(u_{n})$ une suite réelle telle que

\forall n, p \in ℕ^{*}, 0 \leq u_{n + p} \leq \frac{n + p}{n p} .

Montrer que $(u_{n})$ tend vers 0.

Solution

D’une part

0 \leq u_{2 n} \leq \frac{2 n}{n^{2}} = \frac{2}{n} \to 0 .

D’autre part

0 \leq u_{2 n + 1} \leq \frac{2 n + 1}{n (n + 1)} \to 0 .

On en déduit $u_{n} \to 0$ .

Exercice 6 3234 X (MP)

Soit $(u_{n})$ une suite réelle vérifiant

u_{n + 1} - u_{n} \to_{n \to + \infty}^{} 0 et u_{n} \to_{n \to + \infty}^{} + \infty .

Montrer qu’il existe une application $φ : ℕ \to ℕ$ strictement croissante vérifiant

u_{φ (n)} - n \to_{n \to + \infty}^{} 0 .

Exercice 7 266 Correction

Soit $f : [a; b] \to ℝ$ de classe $𝒞^{1}$ et s’annulant une infinité de fois. Montrer qu’il existe $α \in [a; b]$ tel que $f (α) = f^{'} (α) = 0$ .

Solution

Soit $(a_{n})$ une suite de valeurs d’annulation deux à deux distinctes de $f$ . Par le théorème de Bolzano-Weierstrass, on peut extraire de la suite bornée $(a_{n})$ une sous-suite convergente $(a_{φ (n)})$ . Posons $α$ sa limite. Par continuité, on a $f (α) = 0$ . En appliquant le théorème de Rolle entre $a_{φ (n)}$ et $a_{φ (n + 1)}$ , il existe $b_{n}$ compris entre ces deux nombres tel que $f^{'} (b_{n}) = 0$ . Quand $n \to + \infty$ , on a $b_{n} \to α$ par encadrement et donc par continuité de $f^{'}$ , on a $f^{'} (α) = 0$ .

Finalement, $f (α) = f^{'} (α) = 0$ .

Exercice 8 2593 NAVALE (MP)Correction

Soit $(r_{n})$ une suite de nombres rationnels strictement positifs que l’on écrt

r_{n} = \frac{p_{n}}{q_{n}} avec p_{n}, q_{n} \in ℕ^{*}

On suppose que la suite $(r_{n})$ converge vers un réel $r$ avec $r \in ℝ ∖ ℚ$ .

Montrer que les deux suites $(p_{n})$ et $(q_{n})$ tendent vers $+ \infty$ .

Solution

Méthode: Une suite d’entiers qui converge est nécessairement¹¹ 1 Si $(u_{n})$ est une suite d’entiers de limite $ℓ$ alors, pour $n$ assez grand $| u_{n + 1} - u_{n} | \leq | u_{n + 1} - ℓ | + | ℓ - u_{n} | < 1$ et alors $u_{n + 1} = u_{n}$ . stationnaire: cela signifie qu’elle est constante à partir d’un certain rang et que sa limite est un entier.

Par l’absurde, supposons que la suite $(q_{n})$ ne tende pas vers $+ \infty$ .

Il existe $A \in ℝ_{+}$ tel que

\forall N \in ℕ, \exists n \geq N, q_{n} < A

La suite $(q_{n})$ comporte donc une infinité de termes strictement inférieurs à $A$ . On peut alors extraire de la suite $(q_{n})$ une suite bornée. De cette dernière, le théorème de Bolzano-Weierstrass permet d’extraire une suite convergente. Or il s’agit d’une suite d’entiers et une suite d’entiers convergente est nécessairement constante au delà d’un certain rang. Finalement, on peut extraire de la suite $(q_{n})$ une suite $(q_{φ (n)})$ constante égale à $q \in ℕ^{*}$ . Puisque

p_{φ (n)} = r_{φ (n)} q \to_{n \to + \infty}^{} r q

La suite extraite $(p_{φ (n)})$ admet une limite finie. Or c’est aussi une suite d’entiers, cette limite est donc un entier $p$ et l’on en déduit $r = p / q \in ℚ$ . C’est absurde.

Ainsi, la suite $(q_{n})$ est de limite $+ \infty$ et, par opérations sur les limites,

p_{n} = r_{n} q_{n} \to_{n \to + \infty}^{} + \infty

car $r_{n}$ tend vers $r > 0$ .

Exercice 9 4940

(Critère de Cauchy)

On dit qu’une suite réelle $(u_{n})$ satisfait le critère de Cauchy lorsqu’elle vérifie¹¹ 1 Cette propriété signifie que les termes de la suite sont asymptotiquement proches les uns des autres.

\forall ε > 0, \exists N \in ℕ, \forall (p, q) \in ℕ^{2}, (p \geq N et q \geq N) ⟹ | u_{p} - u_{q} | \leq ε .

(a)

Montrer qu’une suite convergente satisfait le critère de Cauchy.
(b)

Inversement, montrer à l’aide du théorème de Bolzano-Weierstrass qu’une suite vérifiant le critère de Cauchy est convergente.

[<] Suites adjacentes [>] Limite de suites de solutions d'une équation

Édité le 29-08-2023

Suites extraites