Exercice 1 2304 Correction

Étudier la suite $(u_{n})$ définie par

u_{0} = a \in ℝ et u_{n + 1} = u_{n}^{2} pour tout n \in ℕ .

Solution

On a $u_{0} = a, u_{1} = a^{2}, u_{2} = a^{4}$ . Par récurrence, on vérifie $u_{n} = a^{2^{n}}$ .

Cas: $| a | < 1$ . $u_{n} \to 0$

Cas: $| a | = 1$ . $u_{n} \to 1$ et

Cas: $| a | > 1$ . $u_{n} \to + \infty$ .

Exercice 2 4935

Étudier la suite $(u_{n})$ définie par

u_{0} \in ℝ et u_{n + 1} = \sqrt{u_{n}^{2} + 1} pour tout n \in ℕ .

Exercice 3 2305 Correction

Étudier la suite $(u_{n})$ définie par

u_{0} \in ℝ et u_{n + 1} = u_{n}^{2} + 1 pour tout n \in ℕ .

Solution

La suite $(u_{n})$ est bien définie et supérieure à 1 à partir du rang 1 car la fonction itératrice $f : x \mapsto x^{2} + 1$ est définie sur $ℝ$ et à valeurs dans $[1; + \infty [$ .
$u_{n + 1} - u_{n} = u_{n}^{2} - u_{n} + 1 \geq 0$ car le discriminant de $x^{2} - x + 1$ est $Δ = - 3 < 0$ .
La suite $(u_{n})$ est croissante.
Si celle-ci converge vers un réel $ℓ$ alors en passant à la limite la relation d’itération: $ℓ = ℓ^{2} + 1$ .
Or cette équation ne possède pas de racines réelles. Par suite, $(u_{n})$ diverge, or elle est croissante, donc $(u_{n})$ diverge vers $+ \infty$ .

Exercice 4 331 Correction

Soit

f : x \mapsto \frac{x^{3} + 1}{3}

et $(u_{n})$ la suite définie par

u_{0} \in ℝ et u_{n + 1} = f (u_{n}) pour tout n \in ℕ .

(a)

Justifier que l’équation $f (x) = x$ possède trois racines réelles (que l’on n’exprimera pas).
(b)

Étudier le signe de $f (x) - x$ ainsi que la monotonie de $f$ .
(c)

Préciser le comportement de $(u_{n})$ en discutant selon la valeur de $u_{0}$ .

Solution

(a)

Il suffit de dresser le tableau de variation de $f$ . On note $α < β < γ$ ces trois racines.
(b)

$f$ est croissante et
(c)

$u_{n} \leq u_{n + 1} ⟹ f (u_{n}) \leq f (u_{n + 1})$ donc $u_{0} \leq f (u_{0}) ⟹ (u_{n})$ croissante.
De même, $u_{n} \geq u_{n + 1} ⟹ f (u_{n}) \geq f (u_{n + 1})$ donc $u_{0} \geq f (u_{0}) ⟹ (u_{n})$ décroissante.
Les seules limites finies possibles pour $(u_{n})$ sont $α, β, γ$ .
Enfin si $u_{0} \leq α$ (resp. $β$ , $γ$ ) alors pour tout $n$ , $u_{n} \leq α$ (resp. $β$ , $γ$ ) et de même pour $\geq$ .
Au final on peut conclure:
$u_{0} \in] - \infty; α [$ donne $(u_{n})$ décroissant vers $- \infty$ .
$u_{0} = α$ donne $(u_{n})$ constante égale à $α$ .
$u_{0} \in] α; γ [$ donne $(u_{n})$ convergeant vers $β$ .
$u_{0} = γ$ donne $(u_{n})$ constante égale à $γ$ .
$u_{0} \in] γ; + \infty [$ donne $(u_{n})$ croissant vers $+ \infty$ .

Exercice 5 328 Correction

Étudier la suite définie par

u_{0} \in ℝ_{+} et \forall n \in ℕ, u_{n + 1} = 1 + \frac{1}{4} u_{n}^{2} .

Solution

Si $(u_{n})$ converge sa limite $ℓ$ vérifie $ℓ = 1 + ℓ^{2} / 4$ d’où $ℓ = 2$ .

u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{4} {(u_{n} - 2)}^{2} \geq 0

$(u_{n})$ est croissante.
Si $u_{0} > 2$ alors $(u_{n})$ diverge vers $+ \infty$ .
Si $u_{0} \in [0; 2]$ alors on vérifie aisément que $(u_{n})$ est majorée par 2 et l’on conclut $u_{n} \to 2$ .

Exercice 6 2303 Correction

On considère la suite ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ donnée par

u_{0} = 1 et u_{n + 1} = \sqrt{1 + u_{n}} pour tout n \in ℕ .

(a)

Montrer que cette suite est correctement définie à termes tous positifs.
(b)

Étudier la monotonie de ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ .
(c)

Déterminer la limite de ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ .

Solution

(a)

La fonction itératrice $x \mapsto \sqrt{1 + x}$ est définie sur $ℝ_{+}$ et à valeurs dans $ℝ_{+}$ . Puisque $u_{0} \in ℝ_{+}$ , la suite est correctement définie à termes dans $ℝ_{+}$ .
(b)

Pour tout $n \geq 1$

$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{u_{n} - u_{n - 1}}{\sqrt{1 + u_{n}} + \sqrt{1 + u_{n - 1}}} .$

Puisque $u_{1} - u_{0} = \sqrt{2} - \sqrt{1} \geq 0$ , on montre par récurrence $u_{n + 1} - u_{n} \geq 0$ pour tout $n \in ℕ$ : la suite $(u_{n}) ç$ est croissante.
(c)

Si ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ converge vers $ℓ$ alors la relation $u_{n + 1} = \sqrt{1 + u_{n}}$ donne à la limite $ℓ = \sqrt{1 + ℓ}$ donc $ℓ^{2} - ℓ - 1 = 0$ . Au surplus, $ℓ \geq 0$ car ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ est à termes positifs. Après résolution,

$ℓ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = α .$

Par récurrence, on montre $\forall n \in ℕ, u_{n} \leq α$ par la croissance de $f$ et la propriété $f (α) = α$ . On en déduit que la suite ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ est croissante et majorée donc convergente. Comme vu ci-dessus, sa limite est alors $α$ .

Exercice 7 2306

Étudier la suite $(u_{n})$ définie par

u_{0} \geq 1 et u_{n + 1} = 1 + \ln (u_{n}) pour tout n \in ℕ .

Exercice 8 2307 Correction

Étudier la suite $(u_{n})$ définie par

u_{0} \in ℝ et u_{n + 1} = e^{u_{n}} - 1 pour tout n \in ℕ .

Solution

La suite $(u_{n})$ est bien définie car sa fonction itératrice $f : x \mapsto e^{x} - 1$ est définie sur $ℝ$ .
Pour $n \geq 1$ , $u_{n + 1} - u_{n} = e^{u_{n}} - e^{u_{n - 1}}$ est du signe de $u_{n} - u_{n - 1}$ .
La suite $(u_{n})$ est monotone et de monotonie déterminée par le signe de $u_{1} - u_{0} = e^{u_{0}} - u_{0} - 1$ .
Étudions la fonction $g (x) = e^{x} - x - 1$ définie sur $ℝ$ .
$g$ est dérivable et $g^{'} (x) = e^{x} - 1$ du signe de $x$ . $g (0) = 0$ donc $g$ est positive.
Si $u_{0} = 0$ alors $(u_{n})$ est constante égale à 0.
Si $u_{0} > 0$ alors $(u_{n})$ est croissante. Si $(u_{n})$ converge vers un réel $ℓ$ alors $ℓ = e^{ℓ} - 1$ donc $ℓ = 0$ .
Or $(u_{n})$ est minorée par $u_{0} > 0$ donc ne peut converger vers 0. Par suite, $(u_{n})$ diverge vers $+ \infty$ .
Si $u_{0} < 0$ alors $(u_{n})$ est croissante et majorée par 0 donc $(u_{n})$ converge vers la seule limite finie possible 0.

Exercice 9 2309 Correction

Soit $(u_{n})$ la suite réelle définie par

u_{0} = a \in [- 2; 2] et u_{n + 1} = \sqrt{2 - u_{n}} pour tout n \in ℕ .

(a)

Justifier que la suite $(u_{n})$ est bien définie et

$\forall n \in ℕ, u_{n} \in [- 2; 2] .$
(b)

Quelles sont les limites finies possibles pour $(u_{n})$ ?
(c)

Montrer que $(| u_{n} - 1 |)$ converge puis que $lim | u_{n} - 1 | = 0$ . En déduire $lim u_{n}$ .

Solution

(a)

L’application $x \mapsto \sqrt{2 - x}$ est définie de $[- 2; 2]$ vers $[0; 2] \subset [- 2; 2]$ .
(b)

Supposons $u_{n} \to ℓ$ . Puisque $\forall n \geq 1, u_{n} \in [0; 2]$ , à la limite $ℓ \in [0; 2]$ .
La relation $u_{n + 1} = \sqrt{2 - u_{n}}$ donne à la limite $ℓ = \sqrt{2 - ℓ}$ donc $ℓ^{2} + ℓ - 2 = 0$ d’où $ℓ = 1$ ou $ℓ = - 2$ .
Or $ℓ \geq 0$ donc $ℓ = 1$ .
(c)

$| u_{n + 1} - 1 | = \frac{| u_{n} - 1 |}{1 + \sqrt{2 - u_{n}}} \leq | u_{n} - 1 |$

donc $(| u_{n} - 1 |)$ est décroissante et par suite converge vers $α \geq 0$ .
Si $α > 0$ alors

$1 + \sqrt{2 - u_{n}} = \frac{| u_{n} - 1 |}{| u_{n + 1} - 1 |} \to 1$

donc $\sqrt{2 - u_{n}} \to 0$ puis $u_{n} \to 2$ . C’est impossible.
Nécessairement $| u_{n} - 1 | \to 0$ et donc $u_{n} \to 1$ .

Exercice 10 4936

Étudier la suite $(u_{n})$ déterminée par

u_{0} = 2 et u_{n + 1} = \sqrt{3 - u_{n}} pour tout n \in ℕ .

Exercice 11 332 Correction

Soient $a > 0$ ,

f : x \mapsto \frac{x^{3} + 3 a x}{3 x^{2} + a}

et $(u_{n})$ la suite définie par

u_{0} > 0 et u_{n + 1} = f (u_{n}) pour tout n \in ℕ .

Étudier les variations de $f$ , le signe de $f (x) - x$ et en déduire le comportement de $(u_{n})$ .

Solution

$f^{'} (x)$ est du signe de $3 {(x^{2} - a)}^{2}$ donc $f$ est croissante et par suite $(u_{n})$ est monotone.
Les racines de l’équation $f (x) = x$ sont $0, \sqrt{a}$ et $- \sqrt{a}$ . Ce sont les seules limites possibles pour $(u_{n})$ .
$f (x) - x$ est du signe de $a x - x^{3} = - x (x - \sqrt{a}) (x + \sqrt{a})$ .
Si $u_{0} \in] 0; \sqrt{a}]$ la suite est croissante est majorée par $\sqrt{a}$ donc converge vers $\sqrt{a}$
Si $u_{0} \in [\sqrt{a}; + \infty [$ la suite est décroissante et minorée par $\sqrt{a}$ donc converge vers $\sqrt{a}$ .

Exercice 12 2308 Correction

Étudier la suite $(u_{n})$ définie par

u_{0} > 0 et u_{n + 1} = \frac{1}{2 + u_{n}} pour tout n \in ℕ .

Solution

La suite $(u_{n})$ est bien définie et strictement positive car de fonction itératrice $f : x \mapsto \frac{1}{2 + x}$ définie sur $ℝ_{+}^{*}$ et à valeurs dans $ℝ_{+}^{*}$ . Si la suite $(u_{n})$ converge, sa limite $ℓ$ vérifie $ℓ = \frac{1}{2 + ℓ}$ et $ℓ \geq 0$ donc $ℓ = - 1 + \sqrt{2}$ .

| u_{n + 1} - ℓ | = | \frac{1}{2 + u_{n}} - \frac{1}{2 + ℓ} | = \frac{| u_{n} - ℓ |}{(2 + u_{n}) (2 + ℓ)} \leq \frac{1}{4} | u_{n} - ℓ | .

Par récurrence, on montre $| u_{n} - ℓ | = \frac{1}{4^{n}} | u_{0} - ℓ |$ et l’on conclut $u_{n} \to ℓ$ .

Exercice 13 2310 Correction

Soit $a \in ℂ$ tel que $0 < | a | < 1$ et $(u_{n})$ la suite définie par

u_{0} = a et u_{n + 1} = \frac{u_{n}}{2 - u_{n}} pour tout n \in ℕ .

Montrer que $(u_{n})$ est bien définie et $| u_{n} | < 1$ . Étudier la limite de $(u_{n})$ .

Solution

Par récurrence montrons $u_{n}$ existe et $| u_{n} | < 1$ .
Pour $n = 0$ : ok
Supposons la propriété établie au rang $n \geq 0$ .
Par HR, $u_{n}$ existe et $| u_{n} | < 1$ donc $2 - u_{n} \neq 0$ d’où $u_{n + 1} = \frac{u_{n}}{2 - u_{n}}$ existe et

| u_{n + 1} | \leq \frac{| u_{n} |}{| 2 - u_{n} |} \leq \frac{| u_{n} |}{2 - | u_{n} |} < 1 .

Récurrence établie.

| u_{n + 1} | \leq \frac{| u_{n} |}{2 - | u_{n} |} \leq | u_{n} |

donc $(| u_{n} |)$ est décroissante d’où $| u_{n} | \leq | a |$ puis

| u_{n + 1} | \leq \frac{| u_{n} |}{2 - | a |}

puis

| u_{n} | \leq {(\frac{1}{2 - | a |})}^{n} | a | \to 0 .

Par suite, $u_{n} \to 0$ .

Exercice 14 4937

(Algorithme de Babylone)

Soient $a > 0$ et $(u_{n})$ la suite définie par

u_{0} > 0 et u_{n + 1} = \frac{1}{2} (u_{n} + \frac{a}{u_{n}}) pour tout n \in ℕ .

(a)

Étudier la convergence de la suite $(u_{n})$ .
(b)

Déterminer, si elle existe,

$lim_{n \to + \infty} \frac{u_{n + 1} - \sqrt{a}}{{(u_{n} - \sqrt{a})}^{2}} .$

Exercice 15 333 Correction

Soient $u_{0} \in] 0; 1 [$ et pour tout $n \in ℕ$ ,

u_{n + 1} = u_{n} - u_{n}^{2} .

Montrer que $(u_{n})$ est monotone de limite nulle. Déterminer les limites des suites dont les termes généraux sont les suivants

\sum_{k = 0}^{n} u_{k}^{2} et \prod_{k = 0}^{n} (1 - u_{k}) .

Solution

$u_{n + 1} - u_{n} = - u_{n}^{2} \leq 0$ donc $(u_{n})$ est décroissante. Aisément, on montre que $u_{n} \in] 0; 1 [$ pour tout $n \in ℕ$ et donc on peut conclure que $(u_{n})$ converge. Sa limite $ℓ$ vérifie

ℓ = ℓ - ℓ^{2}

d’où $ℓ = 0$ .

Par télescopage,

\sum_{k = 0}^{n} u_{k}^{2} = \sum_{k = 0}^{n} (u_{k} - u_{k + 1}) = u_{0} - u_{n + 1} \to_{n \to + \infty}^{} u_{0}

\prod_{k = 0}^{n} (1 - u_{k}) = \prod_{k = 0}^{n} \frac{u_{k + 1}}{u_{k}} = \frac{u_{n + 1}}{u_{0}} \to_{n \to + \infty}^{} 0 .

Exercice 16 329 Correction

Soit $(u_{n})$ la suite définie par

u_{0} \in] 0; 4 [et u_{n + 1} = 4 u_{n} - u_{n}^{2} pour tout n \in ℕ .

(a)

Montrer que $(u_{n})$ est bornée. Quelles sont les limites possibles de $(u_{n})$ ?
(b)

Montrer que si $(u_{n})$ converge alors $(u_{n})$ est soit stationnaire égale à 0, soit stationnaire égale à $3$ .
(c)

En posant $u_{0} = 4 \sin^{2} (α)$ , déterminer les valeurs de $u_{0}$ pour lesquelles la suite $(u_{n})$ est stationnaire.

Solution

(a)

On observe que $x \mapsto 4 x - x^{2}$ est une application de $[0; 4]$ dans lui-même. Par suite, $u_{n} \in [0; 4]$ pour tout $n \in ℕ$ . Si $(u_{n})$ converge alors, en posant $ℓ$ sa limite, on a $ℓ = 4 ℓ - ℓ^{2}$ d’où $ℓ = 0$ ou $ℓ = 3$ .
(b)

Supposons que $u_{n} \to 0$ . S’il existe un rang $n$ tel que $u_{n} = 0$ alors la suite $(u_{n})$ est stationnaire égale à 0. Sinon on a $u_{n} > 0$ pour tout $n \in ℕ$ et donc $u_{n + 1} - u_{n} \sim 3 u_{n} > 0$ . Ainsi, à partir d’un certain rang, la suite est strictement croissante. De même, si $u_{n} \to 3$ sans être stationnaire égale à 3, on observe que la suite $| u_{n} - 3 |$ est strictement croissante à partir d’un certain rang.
(c)

On obtient aisément $u_{n} = 4 \sin^{2} (2^{n} α)$ . La suite est stationnaire si, et seulement si, il existe $n \in ℕ$ tel que $u_{n} = 0$ ou $3$ c’est-à-dire $\sin^{2} (2^{n} α) = 0, \sqrt{3} / 2, - \sqrt{3 / 2}$ soit encore $2^{n} α = k π / 3$ avec $k \in ℤ$ . Ainsi les $u_{0}$ pour lesquels la suite est stationnaire sont les $\sin (k π / {3.2}^{n})$ avec $k \in ℤ$ et $n \in ℕ$ .

Exercice 17 94

Établir

\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \dots}}} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \dots}} .

Exercice 18 2313 Correction

On considère l’équation $\ln (x) + x = 0$ d’inconnue $x > 0$ .

(a)

Montrer que l’équation possède une unique solution $α$ .
(b)

Former, par l’algorithme de Newton, une suite récurrente réelle $(u_{n})$ convergeant vers $α$ .

Solution

(a)

$f : x \mapsto \ln (x) + x$ réalise une bijection strictement croissante de $ℝ_{+}^{*}$ vers $ℝ$ .
L’équation proposée possède une unique solution $α = f^{- 1} (0)$ .
(b)

L’algorithme de Newton, propose de définir la suite $(u_{n})$ par la relation:

$u_{n + 1} = u_{n} - \frac{f (u_{n})}{f^{'} (u_{n})} = u_{n} - \frac{\ln (u_{n}) + u_{n}}{1 / u_{n} + 1} = \frac{u_{n} (1 - \ln (u_{n}))}{u_{n} + 1} .$

La fonction $f$ est de classe $𝒞^{2}$ , $f^{'} (x) = \frac{1}{x} + 1$ et $f^{''} (x) = - \frac{1}{x^{2}}$ ne s’annulent pas.
Pour $u_{0} > 0$ tel que $f (u_{0}) f^{''} (u_{0}) \geq 0$ , la suite converge vers $α$ .

Exercice 19 334

Soit $f : [a; b] \to [a; b]$ une fonction de classe $𝒞^{1}$ vérifiant $| f^{'} (x) | < 1$ pour tout $x$ élément de $[a; b]$ .

(a)

Montrer que $f$ admet un unique point fixe $α$ dans $[a; b]$ .
(b)

Soit $c \in [a; b]$ . Montrer la convergence vers $α$ de la suite $(u_{n})$ déterminée par

$u_{0} = c et u_{n + 1} = f (u_{n}) pour tout n \in ℕ .$

Exercice 20 335

Soit $f : [a; b] \to [a; b]$ une fonction vérifiant¹¹ 1 On dit que $f$ est $1$ -lipschitzienne. De telles fonctions sont évidemment continues.

\forall (x, y) \in {[a; b]}^{2}, | f (y) - f (x) | \leq | y - x | .

On considère la suite récurrente définie par

u_{0} \in [a; b] et u_{n + 1} = \frac{u_{n} + f (u_{n})}{2} pour tout n \in ℕ .

Montrer que $(u_{n})$ converge vers un point fixe de $f$ .

Exercice 21 2783 MINES (MP)Correction

Soit ${(x_{n})}_{n \in ℕ^{*}}$ une suite de réels positifs. On pose, pour tout $n > 0$ ,

y_{n} = \sqrt{x_{1} + \sqrt{x_{2} + \dots + \sqrt{x_{n}}}} .

(a)

Ici $x_{n} = a$ pour tout $n$ , où $a > 0$ . Étudier la convergence de $(y_{n})$ .
(b)

Même question dans le cas où $x_{n} = a b^{2^{n}}$ pour tout $n$ , avec $b > 0$ .
(c)

Montrer que $(y_{n})$ converge si, et seulement si, la suite $(x_{n}^{2^{- n}})$ est bornée.

Solution

Notons que la suite $(y_{n})$ est croissante, elle est donc convergente si, et seulement si, elle est majorée.

(a)

Ici $y_{n + 1} = \sqrt{a + y_{n}}$ . Soit $ℓ$ la racine positive de l’équation $ℓ^{2} - ℓ - a = 0$ c’est-à-dire

$ℓ = \frac{1 + \sqrt{1 + 4 a}}{2} .$

On remarque que $y_{1} = \sqrt{a} \leq ℓ$ et l’on montre par récurrence $y_{n} \leq ℓ$ . La suite $(y_{n})$ est croissante et majorée donc convergente.
(b)

On observe que la nouvelle suite $(y_{n})$ est désormais égale à $b$ fois la précédente, elle est donc convergente.
(c)

Si $(y_{n})$ converge vers $ℓ$ alors $x_{n}^{2^{- n}} \leq y_{n} \leq ℓ$ donc $(x_{n}^{2^{- n}})$ est bornée.
Si $(x_{n}^{2^{- n}})$ est bornée par une certain $M$ alors $x_{n} \leq M^{2^{n}}$ , la suite $(y_{n})$ définie par $(x_{n})$ est alors inférieure à celle obtenue par $(M^{2^{n}})$ , cette dernière étant convergente, la suite $(y_{n})$ converge.

Exercice 22 3229 Correction

Soit $(u_{n})$ une suite réelle vérifiant

\forall n \in ℕ, u_{n} \in [1 / 2; 1] .

Soit $(v_{n})$ la suite déterminée par

v_{0} = u_{0} et v_{n + 1} = \frac{v_{n} + u_{n + 1}}{1 + u_{n + 1} v_{n}} pour tout n \in ℕ .

Montrer que la suite $(v_{n})$ converge et déterminer sa limite.

Solution

On vérifie sans difficultés que la suite $(v_{n})$ est définie et que ses termes sont positifs.
De plus, on vérifie par récurrence que

\forall n \in ℕ, v_{n} \leq 1

car

(1 - u_{n + 1}) (1 - v_{n}) \geq 0 ⟹ \frac{v_{n} + u_{n + 1}}{1 + u_{n + 1} v_{n}} \leq 1 .

On a alors

v_{n + 1} - v_{n} = \frac{u_{n + 1} (1 - v_{n}^{2})}{1 + u_{n + 1} v_{n}} \geq 0

et la suite $(v_{n})$ est donc croissante et majorée. Par conséquent, celle-ci converge vers une certaine limite $ℓ \in ℝ$ .
Dans le cas où la suite $(u_{n})$ est constante égale à 1, on observe que $ℓ = 1$ . Peut-être est-ce encore vrai dans le cas général? Pour le voir, étudions la suite $(1 - v_{n})$ . On a

0 \leq 1 - v_{n + 1} = \frac{(1 - u_{n + 1}) (1 - v_{n})}{1 + u_{n + 1} v_{n}} \leq \frac{1}{2} (1 - v_{n})

donc par récurrence

0 \leq 1 - v_{n} \leq \frac{1}{2^{n}} (1 - v_{0})

et on en déduit

v_{n} \to 1 .

Exercice 23 3165 X (MP)Correction

Soient $(a_{n})$ une suite réelle positive, bornée et $(u_{n})$ la suite récurrente définie par

u_{0} > 0 et u_{n + 1} = \frac{1}{u_{n} + a_{n} + 1} pour tout n \in ℕ .

Montrer que la suite $(u_{n})$ converge si, et seulement si, la suite $(a_{n})$ converge.

Solution

Posons

M = sup_{n \in ℕ} a_{n} .

On vérifie aisément que la suite $(u_{n})$ est bien définie et que pour tout $n \geq 2$

\frac{1}{M + 2} \leq u_{n} \leq 1 .

Supposons la convergence de la suite $(u_{n})$ . Sa limite est strictement positive. En résolvant l’équation définissant $u_{n + 1}$ en fonction de $u_{n}$ , on obtient

a_{n} = \frac{1}{u_{n + 1}} - u_{n} - 1 .

On en déduit que la suite $(a_{n})$ converge.
Inversement, supposons que la suite $(a_{n})$ converge vers une limite $ℓ$ , $ℓ \geq 0$ .
Considérons la suite $(v_{n})$ définie par

v_{0} = 1 et v_{n + 1} = \frac{1}{v_{n} + ℓ + 1} pour tout n \in ℕ .

On vérifie que la suite $(v_{n})$ est bien définie et à termes strictement positifs.
L’équation

x = \frac{1}{x + ℓ + 1}

possède une racine $L > 0$ et l’on a

| v_{n + 1} - L | \leq \frac{| v_{n} - L |}{1 + L}

ce qui permet d’établir que la suite $(v_{n})$ converge vers $L$ . Considérons ensuite la suite $(α_{n})$ définie par

α_{n} = u_{n} - v_{n} .

On a

α_{n + 1} = \frac{α_{n} + (ℓ - a_{n})}{(u_{n} + a_{n} + 1) (v_{n} + ℓ + 1)}

et donc

| α_{n + 1} | \leq k (| α_{n} | + | a_{n} - ℓ |)

avec

k = \frac{1}{m + 1} \in [0; 1 [

où $m > 0$ est un minorant de la suite convergente $(v_{n})$ .
Par récurrence, on obtient

| α_{n} | \leq k^{n} | α_{0} | + \sum_{p = 0}^{n - 1} k^{n - p} | a_{p} - ℓ | .

Soit $ε > 0$ .
Puisque la suite $(a_{n})$ converge vers $ℓ$ , il existe $p_{0}$ tel que

\forall p \geq p_{0}, | a_{p} - ℓ | \leq ε

et alors

\sum_{p = p_{0}}^{n - 1} k^{n - p} | a_{p} - ℓ | \leq ε \sum_{k = 1}^{+ \infty} k^{p} = \frac{k ε}{1 - k} .

Pour $n$ assez grand

\sum_{p = 0}^{p_{0} - 1} k^{n - p} | a_{p} - ℓ | = C^{t e} k^{n} \leq ε et k^{n} | α_{0} | \leq ε

et on en déduit

| α_{n} | \leq 2 ε + \frac{k ε}{1 - k} .

Ainsi, $α_{n} \to 0$ et par conséquent

u_{n} \to L .

[<] Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 [>] Couple de suites récurrentes

Édité le 08-12-2023