(Inégalité d’Hadamard)

Soit $E$ un espace euclidien orienté de dimension $n\ge 1$.

• (a)

  Montrer que pour toute famille $(x_1,\mathrm{\dots },x_n)$ de vecteurs¹¹ 1 $[x_1,\mathrm{\dots },x_n]$ désigne le produit mixte de la famille $(x_1,\mathrm{\dots },x_n)$, c’est-à-dire le déterminant de cette famille dans n’importe quelle base orthonormale directe de $E$. de $E$,

  $$\left|[x_1,\mathrm{\dots },x_n]\right|\le \parallel x_1\parallel \mathrm{\dots }\parallel x_n\parallel \text{.}$$

• (b)

  Dans quels cas y a-t-il égalité?