Exercice 1 4499

On munit $ℝ^{4}$ de son produit scalaire canonique noté $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ .

(a)

Former la matrice dans la base canonique de la projection orthogonale $p$ sur l’espace

$F = {(x, y, z, t) \in ℝ^{4} | x - y - z - t = x - z - 2 t = 0} .$
(b)

Calculer la distance à $F$ du vecteur $(1,2,3,4)$ .

Exercice 2 5177

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n \geq 2$ dont le produit scalaire est noté $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ . Soient $a$ un vecteur non nul de $E$ et $H$ l’ensemble des vecteurs $x$ de $E$ solutions de l’équation $⟨ a, x ⟩ = 0$

(a)

Montrer que $H$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et préciser sa dimension.
(b)

Exprimer le projeté orthogonal d’un vecteur $x$ de $E$ sur $H$ ainsi que la distance de $x$ à $H$ .
(c)

Application : On munit $ℝ^{3}$ de sa structure euclidienne usuelle.

Calculer la distance de $u = (1,2,3)$ au plan $P$ formé des $(x, y, z)$ solutions de l’équation $x - 3 y + z = 0$ .

Exercice 3 4505

On munit $E = ℳ_{2} (ℝ)$ du produit scalaire donné par

⟨ A, B ⟩ = a a^{'} + b b^{'} + c c^{'} + d d^{'} pour tous A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) et B = (\begin{matrix} a^{'} & b^{'} \\ c^{'} & d^{'} \end{matrix}) de E .

Calculer la distance de la matrice $I_{2}$ à l’espace $H$ constitué des matrices de $E$ dont la somme des coefficients est nulle.

Exercice 4 4080 Correction

On munit $ℳ_{n} (ℝ)$ de son produit scalaire canonique $⟨ A, B ⟩ = tr (A^{⊤} B)$ .

(a)

Montrer que $𝒮_{n} (ℝ)$ et $𝒜_{n} (ℝ)$ sont supplémentaires et orthogonaux.
(b)

Calculer la distance à $𝒮_{3} (ℝ)$ de la matrice

$M = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix}) \in ℳ_{3} (ℝ) .$
(c)

Montrer que l’ensemble $H$ des matrices de trace nulle est un sous-espace vectoriel de $ℳ_{n} (ℝ)$ et donner sa dimension.
Donner la distance à $H$ de la matrice $J$ dont tous les coefficients valent $1$ .

Solution

(a)

Pour $A \in 𝒮_{n} (ℝ)$ et $B \in 𝒜_{n} (ℝ)$ , on a

$⟨ A, B ⟩ = tr (A B^{⊤}) = - tr (A B) et ⟨ A, B ⟩ = ⟨ B, A ⟩ = tr (A^{⊤} B) = tr (A B) .$

On en déduit $⟨ A, B ⟩ = 0$ .
Les espaces $𝒮_{n} (ℝ)$ et $𝒜_{n} (ℝ)$ sont donc en somme directe.
Puisque l’on peut écrire pour tout $M \in ℳ_{n} (ℝ)$ ,

$M = \frac{1}{2} (M + M^{⊤}) + \frac{1}{2} (M - M^{⊤})$

avec $\frac{1}{2} (M + M^{⊤}) \in 𝒮_{n} (ℝ)$ et $\frac{1}{2} (M - M^{⊤}) \in 𝒜_{n} (ℝ)$ , les espaces $𝒮_{n} (ℝ)$ et $𝒜_{n} (ℝ)$ sont supplémentaires orthogonaux.
(b)

La distance de $M$ à $𝒮_{3} (ℝ)$ est égale à la distance de $M$ à son projeté orthogonal sur $𝒮_{3} (ℝ)$ c’est-à-dire

$d (M, 𝒮_{3} (ℝ)) = \frac{1}{2} ∥ M - M^{⊤} ∥ = 2 .$
(c)

$H$ est le noyau de la forme linéaire non nulle trace, c’est donc un hyperplan de $ℳ_{n} (ℝ)$ .
La matrice $I_{n}$ est orthogonale à tout élément de $H$ et c’est donc un vecteur normal à l’hyperplan $H$ .
On en déduit

$d (H, J) = \frac{| ⟨ I_{n}, J ⟩ |}{∥ I_{n} ∥} = \frac{n}{\sqrt{n}} = \sqrt{n} .$

Exercice 5 2736 MINES (MP)Correction

On munit $ℳ_{n} (ℝ)$ du produit scalaire rendant orthonormée la base canonique, dont on note $∥ \cdot ∥$ la norme associée.

Soit $J$ la matrice de $ℳ_{n} (ℝ)$ dont tous les coefficients sont égaux à $1$ . Pour $M \in ℳ_{n} (ℝ)$ , calculer

inf_{(a, b) \in ℝ^{2}} ∥ M - a I_{n} - b J ∥ .

Solution

Le cas $n = 1$ étant évident, on suppose désormais $n \geq 2$ .

La quantité cherchée est $m = d (M, Vect (I_{n}, J)) = ∥ M - p (M) ∥$ avec $p$ la projection orthogonale sur $Vect (I_{n}, J)$ .

On écrit $p (M) = a I_{n} + b J$ avec $(p (M) ∣ I_{n}) = (M ∣ I_{N}) = tr (M)$ et $(p (M) ∣ J) = (M ∣ J) = σ$ où $σ$ est la somme des coefficients de $M$ .

La résolution de ce système donne

a = \frac{n tr (M) - σ}{n (n - 1)} et b = \frac{σ - tr (M)}{n (n - 1)}

donc

m^{2} = {∥ M - p (M) ∥}^{2} = (M - p (M) ∣ M) = {∥ M ∥}^{2} - \frac{(n - 1) tr {(M)}^{2} + {(tr (M) - σ)}^{2}}{n (n - 1)} .

Exercice 6 3764 MINES (PC)Correction

Soit $A = {(a_{i, j})}_{1 \leq i, j \leq n} \in ℳ_{n} (ℝ)$ . Calculer

inf_{M \in 𝒮_{n} (ℝ)} (\sum_{1 \leq i, j \leq n} {(a_{i, j} - m_{i, j})}^{2}) .

Solution

En introduisant la norme euclidienne canonique sur $ℳ_{n} (ℝ)$ définie par

∥ A ∥ = {(\sum_{1 \leq i, j, \leq} a_{i, j}^{2})}^{1 / 2}

on peut interpréter l’infimum calculé

inf_{M \in 𝒮_{n} (ℝ)} (\sum_{1 \leq i, j \leq n} {(a_{i, j} - m_{i, j})}^{2}) = d {(A, 𝒮_{n} (ℝ))}^{2} .

La distance introduite se calcule par projection orthogonale. Sachant $A = M + N$ avec

M = \frac{A + A^{⊤}}{2} \in 𝒮_{n} (ℝ) et N = \frac{A - A^{⊤}}{2} \in 𝒜_{n} (ℝ) = 𝒮_{n} {(ℝ)}^{⊥}

on obtient

d {(A, 𝒮_{n} (ℝ))}^{2} = {∥ N ∥}^{2} = \frac{1}{4} \sum_{1 \leq i < j \leq n} {(a_{i, j} - a_{j, i})}^{2} .

Exercice 7 73 CCINP (MP)Correction

On munit $E = 𝒞 ([- 1; 1], ℝ)$ du produit scalaire:

(f ∣ g) = \frac{1}{2} \int_{- 1}^{1} f (x) g (x) d x .

Pour $i \in {0,1,2,3}$ , on note $P_{i} (x) = x^{i}$ .

(a)

Montrer que la famille $(P_{0}, P_{1}, P_{2})$ est libre mais pas orthogonale.
(b)

Déterminer, par le procédé de Schmidt, une base orthonormée $(Q_{0}, Q_{1}, Q_{2})$ de l’espace $F = Vect (P_{0}, P_{1}, P_{2})$ obtenue à partir de la famille $(P_{0}, P_{1}, P_{2})$ .
(c)

Calculer la projection orthogonale de $P_{3}$ sur $F$ et la distance de $P_{3}$ à $F$ .

Solution

(a)

Soit $(λ_{0}, λ_{1}, λ_{2}) \in ℝ^{3}$ tel que $λ_{0} P_{0} + λ_{1} P_{1} + λ_{2} P_{2} = 0$ c’est-à-dire

$\forall x \in [- 1; 1], λ_{0} + λ_{1} x + λ_{2} x^{2} = 0$

Le polynôme $λ_{0} + λ_{1} X + λ_{2} X^{2}$ admet alors une infinité de racines et c’est donc le polynôme nul. Par conséquent, $λ_{0} = λ_{1} = λ_{2} = 0$ .

La famille $(P_{0}, P_{1}, P_{2})$ est donc libre. Elle n’est pas orthogonale puisque

$(P_{0} ∣ P_{2}) = \frac{1}{2} \int_{- 1}^{1} x^{2} d x = \frac{1}{6} {[x^{3}]}_{- 1}^{1} = \frac{1}{3} \neq 0 .$
(b)

On commence par orthogonaliser la famille avant de normer chaque vecteur.

On pose $R_{0} = P_{0}$ ,

Puisque, $(P_{0} ∣ P_{1}) = 0$ , on a directement $R_{1} = P_{1}$ .

On recherche $R_{2}$ de la forme $R_{2} = P_{2} + λ_{0} R_{0} + λ_{1} R_{1}$ .

La condition $(R_{2} ∣ R_{0}) = 0$ donne $λ_{0} = - (P_{2} ∣ P_{0}) = - 1 / 3$ .

La condition $(R_{2} ∣ R_{1}) = 0$ donne $λ_{1} / 3 = - (P_{2} ∣ R_{1}) = 0$ .

On a donc $R_{2} : x \mapsto x^{2} - 1 / 3$ .

La famille $(R_{0}, R_{1}, R_{2})$ est l’orthogonalisée de Schmidt de la famille $(P_{0}, P_{1}, P_{2})$ . Il reste à diviser chaque élément de cette famille par sa norme.

On a $∥ R_{0} ∥ = 1$ , $∥ R_{1} ∥ = \frac{1}{\sqrt{3}}$ et $∥ R_{2} ∥ = \frac{2}{3 \sqrt{5}}$ donc

$Q_{0} : x \mapsto 1 Q_{1} : x \mapsto \sqrt{3} x Q_{2} : x \mapsto \frac{\sqrt{5}}{2} (3 x^{2} - 1) .$
(c)

Le projeté orthogonal de $P_{3}$ sur $F$ est

$R = (Q_{0} ∣ P_{3}) Q_{0} + (Q_{1} ∣ P_{3}) Q_{1} + (Q_{2} ∣ P_{3}) Q_{2}$

Après calculs,

$R : x \mapsto \frac{3}{5} x .$

La distance de $P_{3}$ à $F$ est alors

$d = ∥ P_{3} - R ∥ = \frac{2}{5 \sqrt{7}} .$

Exercice 8 527 Correction

(a)

Montrer que $(P ∣ Q) = P (0) Q (0) + P (1) Q (1) + P (2) Q (2)$ définit un produit scalaire sur $ℝ_{2} [X]$ .
(b)

Calculer $d (X^{2}, P)$ où $P = {a X + b | (a, b) \in ℝ^{2}}$

Solution

(a)

Sans difficulté, notamment parce qu’un polynôme de degré $\leq 2$ possédant trois racines est nécessairement nul.
(b)

$d (X^{2}, P) = ∥ X^{2} - π ∥$ avec $π = a X + b$ projeté orthogonal de $X^{2}$ sur $P$ .
$(X^{2} - π ∣ 1) = (X^{2} - π ∣ X) = 0$ donne le système

${\begin{matrix} 3 a + 3 b = 5 \\ 5 a + 3 b = 9 . \end{matrix}$

Après résolution

${\begin{matrix} a = 2 \\ b = - 1 / 3 \end{matrix}$

et après calcul

$d = \sqrt{2 / 3} .$

Exercice 9 4958 MINES (PC)

Soient $n \in ℕ$ , $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}$ des réels deux à deux distincts et $E = ℝ_{n} [X]$ .

(a)

Montrer que l’on définit un produit scalaire sur $E$ en posant

$(P ∣ Q) = \sum_{k = 0}^{n} P (a_{k}) Q (a_{k}) pour tous P, Q \in E .$
(b)

Déterminer une base orthonormée de $E$ pour le produit scalaire précédent.
(c)

Exprimer la distance du polynôme $X^{n}$ à l’espace

$H = {P \in E | P (a_{0}) + \dots + P (a_{n}) = 0} .$

Exercice 10 5901 Correction

Dans ce sujet, on souhaite déterminer

m = inf_{(a, b) \in ℝ^{2}} \int_{0}^{1} {(e^{t} - (a t + b))}^{2} d t .

On introduit l’espace $E = 𝒞 ([0; 1], ℝ)$ muni du produit scalaire $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ donné par

⟨ f, g ⟩ = \int_{0}^{1} f (t) g (t) d t .

(a)

Déterminer une fonction $φ \in E$ et un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ pour lesquels

$m = {(d (φ, F))}^{2} .$
(b)

Calculer le projeté orthogonal $f$ de $φ$ sur $F$ .
(c)

À l’aide du théorème de Pythagore, calculer $m$ .

Solution

(a)

Pour $φ : t \mapsto e^{t}$ et $f : t \mapsto a t + b$ , on remarque

$\int_{0}^{1} {(e^{t} - a t + b)}^{2} d t = {∥ φ - f ∥}^{2} .$

En considérant, le sous-espace vectoriel $F = {t \mapsto a t + b | (a, b) \in ℝ^{2}}$ , on a donc

$m = inf_{f \in F} {∥ φ - f ∥}^{2} = {(inf_{f \in F} ∥ φ - f ∥)}^{2} = {(d (φ, F))}^{2} .$
(b)

Par le procédé de Gram-Schmidt, on détermine une base orthonormée de $F$ en orthonormalisant la famille $(f_{1}, f_{2})$ avec $f_{1} : t \mapsto 1$ et $f_{2} : t \mapsto t$ . On obtient la famille $(e_{1}, e_{2})$ avec $e_{1} : t \mapsto 1$ et $e_{2} : 2 \sqrt{3} (t - 1 / 2)$ . On peut alors calculer le projeté $f$ de $φ$ sur $F$ :

$f = ⟨ e_{1}, φ ⟩ e_{1} + ⟨ e_{2}, φ ⟩ e_{2}$

avec

$⟨ e_{1}, φ ⟩ = e - 1 et ⟨ e_{2}, φ ⟩ = \sqrt{3} (3 - e) .$

Cela donne

$f : t \mapsto 6 (3 - e) (t - 1 / 2) + e - 1 = 6 (3 - e) t + 4 e - 10 .$
(c)

On sait $d (φ, F) = ∥ φ - f ∥$ avec $f$ et $φ - f$ orthogonaux. Par le théorème de Pythagore,

${∥ φ ∥}^{2} = {∥ f ∥}^{2} - {∥ φ - f ∥}^{2}$

et donc

$m = {∥ φ ∥}^{2} - {∥ f ∥}^{2} = {∥ φ ∥}^{2} - {⟨ e_{1}, φ ⟩}^{2} - {⟨ e_{2}, φ ⟩}^{2} .$

Au terme des calculs,

$m = 20 e - \frac{7}{2} e^{2} - \frac{57}{2} ≃ \ltx@orig@numprint 0.004 .$

Exercice 11 4506

Calculer

m = inf_{(a, b) \in ℝ^{2}} \int_{0}^{1} {(t^{2} - (a t + b))}^{2} d t .

Exercice 12 1598 Correction

Soient $n$ un entier supérieur à 3 et $E = ℝ_{n} [X]$ .

(a)

Montrer que

$φ (P, Q) = \int_{- 1}^{1} P (t) Q (t) d t$

définit un produit scalaire sur $E$ .
(b)

Calculer

$inf_{(a, b, c) \in ℝ^{3}} \int_{- 1}^{1} {(t^{3} - (a t^{2} + b t + c))}^{2} d t .$

Solution

(a)

Symétrie, bilinéarité et positivité: ok
Si $φ (P, P) = 0$ alors $\int_{- 1}^{1} P^{2} (t) d t = 0$ donc (fonction continue positive d’intégrale nulle)

$\forall t \in [- 1; 1], P (t) = 0 .$

Comme le polynôme $P$ admet une infinité de racines, c’est le polynôme nul.
(b)

On a

$inf_{(a, b, c) \in ℝ^{3}} \int_{- 1}^{1} {(t^{3} - (a t^{2} + b t + c))}^{2} d t = d {(X^{3}, F)}^{2}$

où $F = Vect (1, X, X^{2})$ .
Soit $P$ le projeté orthogonal de $X^{3}$ sur $F$ . On peut écrire $P = a + b X + c X^{2}$ et l’on a par orthogonalité

$(X^{3} - P ∣ 1) = (X^{3} - P ∣ X) = (X^{3} - P ∣ X^{2}) = 0 .$

On en déduit que $P = \frac{3}{5} X$ puis

$d {(X^{3}, F)}^{2} = \frac{8}{175} .$

Exercice 13 2734 MINES (MP)Correction

Calculer le minimum de

\int_{0}^{1} {(t^{3} - a t^{2} - b t - c)}^{2} d t

pour $a, b, c$ parcourant $ℝ$ .

Solution

Sur $ℝ [X]$ , on définit un produit scalaire par

(P ∣ Q) = \int_{0}^{1} P (t) Q (t) d t .

La quantité cherchée $m$ apparaît alors sous la forme

m = inf_{a, b, c \in ℝ} {∥ X^{2} - (a X^{2} + b X + c) ∥}^{2} .

C’est donc le carré de la distance de $X^{3}$ au sous-espace vectoriel $ℝ_{2} [X]$ . En introduisant la projection orthogonale $p$ sur ce sous-espace vectoriel

m = d {(X^{3}, ℝ_{2} [X])}^{2} = {∥ X^{3} - p (X^{3}) ∥}^{2} .

On peut écrire

p (X^{3}) = a + b X + c X^{2} .

Pour chaque $i = 0,1,2$ , on a

(p (X^{3}) ∣ X^{i}) = (X^{3} ∣ X^{i})

car

(p (X^{3}) - X^{3} ∣ X^{i}) = 0 .

On obtient alors un système d’équations d’inconnue $(a, b, c)$

{\begin{matrix} c + b / 2 + a / 3 = 1 / 4 \\ c / 2 + b / 3 + a / 4 = 1 / 5 \\ c / 3 + b / 4 + a / 5 = 1 / 6 . \end{matrix}

La résolution de ce système donne

c = 1 / 20, b = - 3 / 5 et a = 3 / 2 .

On en déduit

m = {∥ X^{3} - p (X^{3}) ∥}^{2} = (X^{3} - p (X^{3}) ∣ X^{3}) = \frac{1}{2800} .

Exercice 14 2571 CCINP (MP)Correction

(a)

Montrer que

$(f ∣ g) = \int_{0}^{1} f (t) g (t) d t$

définit un produit scalaire sur l’espace $E$ des fonctions définies sur $ℝ$ engendré par $f_{1} (x) = 1$ , $f_{2} (x) = e^{x}$ et $f_{3} (x) = x$ .
(b)

Pour quels réels $a$ et $b$ la distance de $f_{2} (x)$ à $g (x) = a x + b$ est-elle minimale?

Solution

(a)

On reconnaît une restriction du produit scalaire usuel sur l’espace des fonctions réelles continues sur $[0; 1]$ .
(b)

La distance $f_{2}$ à $g$ sera minimale quand $g$ est le projeté orthogonal de $f_{2}$ sur $Vect (f_{1}, f_{3})$ .
Ce projeté $g$ vérifie $(f_{2} - g ∣ f_{1}) = (f_{2} - g ∣ f_{3}) = 0$ ce qui donne le système

${\begin{matrix} \frac{1}{2} a + b & = e - 1 \\ \frac{1}{3} a + \frac{1}{2} b & = 1 . \end{matrix}$

Après résolution, on obtient $a = 18 - 6 e$ et $b = 4 e - 10$ .

Exercice 15 4256

On munit l’espace $E = 𝒞^{1} ([- 1; 1], ℝ)$ du produit scalaire $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ donné par

⟨ u, v ⟩ = \int_{- 1}^{1} (u (t) v (t) + u^{'} (t) v^{'} (t)) d t

et l’on introduit les sous-espaces vectoriels

F = {f \in E | f (- 1) = f (1) = 0} et G = {g \in E | g est de classe 𝒞^{2} et g^{''} = g .

(a)

Montrer que les espaces $F$ et $G$ sont supplémentaires et orthogonaux.

Soient $a$ et $b$ deux réels et

F_{a, b} = {u \in E | u (- 1) = a et u (1) = b} .

(b)

Calculer

$inf_{u \in F_{a, b}} \int_{- 1}^{1} (u {(t)}^{2} + u^{'} {(t)}^{2}) d t .$

Exercice 16 4969 MINES (PSI)

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels d’un espace euclidien $E$ .

Montrer que $F$ et $G$ sont supplémentaires et orthogonaux si, et seulement si,

{∥ x ∥}^{2} = {(d (x, F))}^{2} + {(d (x, G))}^{2} pour tout x \in E .

Exercice 17 1599

(Déterminant de Gram)

Soit $(x_{1}, \dots, x_{n})$ une famille de vecteurs d’un espace euclidien $E$ dont le produit scalaire est noté $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ . La matrice de $ℳ_{n} (ℝ)$ de coefficient général $⟨ x_{i}, x_{j} ⟩$ est notée $G (x_{1}, \dots, x_{n})$ , on l’appelle matrice de Gram associée à la famille $(x_{1}, \dots, x_{n})$ .

(a)

Montrer que, si la famille $(x_{1}, \dots, x_{n})$ est liée, alors $\det (G (x_{1}, \dots, x_{n})) = 0$ .

On suppose désormais la famille $(x_{1}, \dots, x_{n})$ libre et l’on introduit $ℬ = (e_{1}, \dots, e_{n})$ une base orthonormale de l’espace $F$ qu’elle engendre. On note $A = (a_{i, j})$ la matrice figurant la famille $(x_{1}, \dots, x_{n})$ dans la base $ℬ$ .

(b)

Exprimer $G (x_{1}, \dots, x_{n})$ en fonction de $A$ et de $A^{⊤}$ . En déduire

$\det (G (x_{1}, \dots, x_{n})) > 0 .$
(c)

On introduit $u \in E$ . Montrer

$d (u, F) = \sqrt{\frac{\det (G (u, x_{1}, \dots, x_{n}))}{\det (G (x_{1}, \dots, x_{n}))}} .$

[<] Projections et symétries orthogonales

Édité le 23-02-2024

Distance à un sous-espace vectoriel