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Exercice 1  4499  

On munit 4 de son produit scalaire canonique noté ,.

  • (a)

    Former la matrice dans la base canonique de la projection orthogonale p sur l’espace

    F={(x,y,z,t)4|x-y-z-t=x-z-2t=0}.
  • (b)

    Calculer la distance à F du vecteur (1,2,3,4).

 
Exercice 2  5177  

Soit E un espace euclidien de dimension n2 dont le produit scalaire est noté ,. Soient a un vecteur non nul de E et H l’ensemble des vecteurs x de E solutions de l’équation a,x=0

  • (a)

    Montrer que H est un sous-espace vectoriel de E et préciser sa dimension.

  • (b)

    Exprimer le projeté orthogonal d’un vecteur x de E sur H ainsi que la distance de x à H.

  • (c)

    Application: On munit 3 de sa structure euclidienne usuelle.

    Calculer la distance de u=(1,2,3) au plan P formé des (x,y,z) solutions de l’équation x-3y+z=0.

 
Exercice 3  4505  

On munit E=2() du produit scalaire donné par

A,B=aa+bb+cc+ddpour tous A=(abcd) et B=(abcd) de E.

Calculer la distance de la matrice I2 à l’espace H constitué des matrices de E dont la somme des coefficients est nulle.

 
Exercice 4  4080   Correction  

On munit n() de son produit scalaire canonique A,B=tr(AtB).

  • (a)

    Montrer que 𝒮n() et 𝒜n() sont supplémentaires et orthogonaux.

  • (b)

    Calculer la distance à 𝒮3() de la matrice

    M=(123012123)3().
  • (c)

    Montrer que l’ensemble H des matrices de trace nulle est un sous-espace vectoriel de n() et donner sa dimension.
    Donner la distance à H de la matrice J dont tous les coefficients valent 1.

Solution

  • (a)

    Pour A𝒮n() et B𝒜n(), on a

    A,B=tr(ABt)=-tr(AB) et A,B=B,A=tr(AtB)=tr(AB).

    On en déduit A,B=0.
    Les espaces 𝒮n() et 𝒜n() sont donc en somme directe.
    Puisque l’on peut écrire pour tout Mn(),

    M=12(M+Mt)+12(M-Mt)

    avec 12(M+Mt)𝒮n() et 12(M-Mt)𝒜n(), les espaces 𝒮n() et 𝒜n() sont supplémentaires orthogonaux.

  • (b)

    La distance de M à 𝒮3() est égale à la distance de M à son projeté orthogonal sur 𝒮3() c’est-à-dire

    d(M,𝒮3())=12M-Mt=2.
  • (c)

    H est le noyau de la forme linéaire non nulle trace, c’est donc un hyperplan de n().
    La matrice In est orthogonale à tout élément de H et c’est donc un vecteur normal à l’hyperplan H.
    On en déduit

    d(H,J)=|In,J|In=nn=n.
 
Exercice 5  2736    MINES (MP)Correction  

On munit n() du produit scalaire rendant orthonormée la base canonique, dont on note la norme associée.

Soit J la matrice de n() dont tous les coefficients sont égaux à 1. Pour Mn(), calculer

inf(a,b)2M-aIn-bJ.

Solution

Le cas n=1 étant évident, on suppose désormais n2.

La quantité cherchée est m=d(M,Vect(In,J))=M-p(M) avec p la projection orthogonale sur Vect(In,J).

On écrit p(M)=aIn+bJ avec (p(M)In)=(MIN)=tr(M) et (p(M)J)=(MJ)=σσ est la somme des coefficients de M.

La résolution de ce système donne

a=ntr(M)-σn(n-1) et b=σ-tr(M)n(n-1)

donc

m2=M-p(M)2=(M-p(M)M)=M2-(n-1)tr(M)2+(tr(M)-σ)2n(n-1).
 
Exercice 6  3764    MINES (PC)Correction  

Soit A=(ai,j)1i,jnn(). Calculer

infM𝒮n()(1i,jn(ai,j-mi,j)2).

Solution

En introduisant la norme euclidienne canonique sur n() définie par

A=(1i,jai,j2)1/2

on peut interpréter l’infimum calculé

infM𝒮n()(1i,jn(ai,j-mi,j)2)=d(A,𝒮n())2.

La distance introduite se calcule par projection orthogonale. Sachant A=M+N avec

M=A+At2𝒮n()etN=A-At2𝒜n()=𝒮n()

on obtient

d(A,𝒮n())2=N2=141i<jn(ai,j-aj,i)2.
 
Exercice 7  73    CCP (MP)Correction  

On munit E=𝒞([-1;1],) du produit scalaire:

(fg)=12-11f(x)g(x)dx.

Pour i{0,1,2,3}, on note Pi(x)=xi.

  • (a)

    Montrer que la famille (P0,P1,P2) est libre mais pas orthogonale.

  • (b)

    Déterminer, par le procédé de Schmidt, une base orthonormée (Q0,Q1,Q2) de F=Vect(P0,P1,P2) à partir de la famille (P0,P1,P2).

  • (c)

    Calculer la projection orthogonale de P3 sur F et la distance de P3 à F.

Solution

  • (a)

    Si λ0P0+λ1P1+λ2P2=0 alors le polynôme λ0+λ1X+λ2X2 admet une infinité de racines. C’est donc le polynôme nul et par conséquent λ0=λ1=λ2=0.
    La famille (P0,P1,P2) est donc libre. Elle n’est pas orthogonale puisque (P0P2)=1/30.

  • (b)

    R0=P0, R0=1, Q0:x1
    (P0P1)=0, R1=P1, R1=1/3, Q1:x3x.
    R2=P2+λ0R0+λ1R1.
    (R2R0)=0 donne λ0=-(P2P0)=-1/3,
    (R2R1)=0 donne λ1/3=-(P2R1)=0.
    R2:xx2-1/3, R2=235, Q2:x52(3x2-1).

  • (c)

    Le projeté orthogonal de P3 sur F est

    R=(Q0P3)Q0+(Q1P3)Q1+(Q2P3)Q2

    soit, après calculs

    R:x35x.

    La distance de P3 à F est alors

    d=P3-R=257.
 
Exercice 8  527  Correction  
  • (a)

    Montrer que (PQ)=P(0)Q(0)+P(1)Q(1)+P(2)Q(2) définit un produit scalaire sur 2[X].

  • (b)

    Calculer d(X2,P)P={aX+b|(a,b)2}

Solution

  • (a)

    Sans difficulté, notamment parce qu’un polynôme de degré 2 possédant trois racines est nécessairement nul.

  • (b)

    d(X2,P)=X2-π avec π=aX+b projeté orthogonal de X2 sur P.
    (X2-π1)=(X2-πX)=0 donne le système

    {3a+3b=55a+3b=9.

    Après résolution

    {a=2b=-1/3

    et après calcul

    d=2/3.
 
Exercice 9  4958     MINES (PC)

Soient n, a0,a1,,an des réels deux à deux distincts et E=n[X].

  • (a)

    Montrer que l’on définit un produit scalaire sur E en posant

    (PQ)=k=0nP(ak)Q(ak)pour tous P,QE.
  • (b)

    Déterminer une base orthonormale de E pour le produit scalaire précédent.

  • (c)

    Exprimer la distance du polynôme Xn à l’espace

    H={PE|P(a0)++P(an)=0}.
 
Exercice 10  4506   

Calculer

m=inf(a,b)201(t2-(at+b))2dt.
 
Exercice 11  1598   Correction  

Soient n un entier supérieur à 3 et E=n[X].

  • (a)

    Montrer que

    φ(P,Q)=-11P(t)Q(t)dt

    définit un produit scalaire sur E.

  • (b)

    Calculer

    inf(a,b,c)3-11(t3-(at2+bt+c))2dt.

Solution

  • (a)

    Symétrie, bilinéarité et positivité: ok
    Si φ(P,P)=0 alors -11P2(t)dt=0 donc (fonction continue positive d’intégrale nulle)

    t[-1;1],P(t)=0.

    Comme le polynôme P admet une infinité de racines, c’est le polynôme nul.

  • (b)

    On a

    inf(a,b,c)3-11(t3-(at2+bt+c))2dt=d(X3,F)2

    F=Vect(1,X,X2).
    Soit P le projeté orthogonal de X3 sur F. On peut écrire P=a+bX+cX2 et l’on a par orthogonalité

    (X3-P1)=(X3-PX)=(X3-PX2)=0.

    On en déduit que P=35X puis

    d(X3,F)2=8175.
 
Exercice 12  2734     MINES (MP)Correction  

Calculer le minimum de

01(t3-at2-bt-c)2dt

pour a,b,c parcourant .

Solution

Sur [X], on définit un produit scalaire par

(PQ)=01P(t)Q(t)dt.

La quantité cherchée m apparaît alors sous la forme

m=infa,b,cX2-(aX2+bX+c)2.

C’est donc le carré de la distance de X3 au sous-espace vectoriel 2[X]. En introduisant la projection orthogonale p sur ce sous-espace vectoriel

m=d(X3,2[X])2=X3-p(X3)2.

On peut écrire

p(X3)=a+bX+cX2.

Pour chaque i=0,1,2, on a

(p(X3)Xi)=(X3Xi)

car

(p(X3)-X3Xi)=0.

On obtient alors un système d’équations d’inconnue (a,b,c)

{c+b/2+a/3=1/4c/2+b/3+a/4=1/5c/3+b/4+a/5=1/6.

La résolution de ce système donne

c=1/20,b=-3/5 et a=3/2.

On en déduit

m=X3-p(X3)2=(X3-p(X3)X3)=12800.
 
Exercice 13  2571     CCP (MP)Correction  
  • (a)

    Montrer que

    (fg)=01f(t)g(t)dt

    définit un produit scalaire sur l’espace E des fonctions définies sur engendré par f1(x)=1, f2(x)=ex et f3(x)=x.

  • (b)

    Pour quels réels a et b la distance de f2(x) à g(x)=ax+b est-elle minimale?

Solution

  • (a)

    On reconnaît une restriction du produit scalaire usuel sur l’espace des fonctions réelles continues sur [0;1].

  • (b)

    La distance f2 à g sera minimale quand g est le projeté orthogonal de f2 sur Vect(f1,f3).
    Ce projeté g vérifie (f2-gf1)=(f2-gf3)=0 ce qui donne le système

    {12a+b=e-113a+12b=1.

    Après résolution, on obtient a=18-6e et b=4e-10.

 
Exercice 14  4256    

On munit l’espace E=𝒞1([-1;1],) du produit scalaire , donné par

u,v=-11(u(t)v(t)+u(t)v(t))dt

et l’on introduit les sous-espaces vectoriels

F={fE|f(-1)=f(1)=0}etG={gE|g est de classe 𝒞2 et g′′=g}.
  • (a)

    Montrer que les espaces F et G sont supplémentaires et orthogonaux.

Soient a et b deux réels et

Fa,b={uE|u(-1)=a et u(1)=b}.
  • (b)

    Calculer

    infuFa,b-11(u(t)2+u(t)2)dt.
 
Exercice 15  4969     MINES (PSI)

Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un espace euclidien E.

Montrer que F et G sont supplémentaires et orthogonaux si, et seulement si,

x2=(d(x,F))2+(d(x,G))2pour tout xE.
 
Exercice 16  1599    

(Déterminant de Gram)

Soit (x1,,xn) une famille de vecteurs d’un espace euclidien E dont le produit scalaire est noté ,. La matrice de n() de coefficient général xi,xj est notée G(x1,,xn), on l’appelle matrice de Gram associée à la famille (x1,,xn).

  • (a)

    Montrer que, si la famille (x1,,xn) est liée, alors det(G(x1,,xn))=0.

On suppose désormais la famille (x1,,xn) libre et l’on introduit =(e1,,en) une base orthonormale de l’espace F qu’elle engendre. On note A=(ai,j) la matrice figurant la famille (x1,,xn) dans la base .

  • (b)

    Exprimer G(x1,,xn) en fonction de A et de At. En déduire

    det(G(x1,,xn))>0.
  • (c)

    On introduit uE. Montrer

    d(u,F)=det(G(u,x1,,xn))det(G(x1,,xn)).

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Édité le 08-11-2019

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