[<] Inégalité de Cauchy Schwarz [>] Algorithme de Gram-Schmidt

 
Exercice 1  4497  

Soit E un espace préhilbertien muni d’un produit scalaire noté ().

  • (a)

    Soient A et B deux parties de E avec AB. Montrer BA.

Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E.

  • (b)

    Montrer (F+G)=FG.

  • (c)

    Montrer (FG)F+G.

    Que devient cette inclusion si l’on suppose que l’espace E est euclidien?

 
Exercice 2  4250  

Soit F un sous-espace vectoriel d’un espace préhilbertien E. Montrer

F=((F)).
 
Exercice 3  4498  

Soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires et orthogonaux d’un espace préhilbertien E. Montrer G=F.

 
Exercice 4  3081   

On munit l’espace E=𝒞([-1;1],) du produit scalaire défini par

f,g=-11f(t)g(t)dt.

On pose

F={fE|t[-1;0],f(t)=0}etG={gE|t[0;1],g(t)=0}.
  • (a)

    Montrer que F=G.

  • (b)

    Les sous-espaces vectoriels F et F sont-ils supplémentaires?

  • (c)

    Comparer F+G et (FG).

 
Exercice 5  516   Correction  

On munit n() du produit scalaire défini par

(AB)=tr(AtB).
  • (a)

    Montrer que la base canonique (Ei,j)1i,jn de n() est orthonormée.

  • (b)

    Observer que les espaces 𝒮n() et 𝒜n() sont supplémentaires orthogonaux.

  • (c)

    Établir que pour tout An() on a

    tr(A)ntr(AtA)

    et préciser les cas d’égalité.

Solution

  • (a)

    (Ei,jEk,)=tr(Ej,iEk,)=tr(δi,kEj,)=δi,kδj,.

  • (b)

    Pour A𝒮n() et B𝒜n(),

    (AB)=tr(AtB)=tr(AB)=-tr(ABt)=-tr(BtA)=-(BA)

    donc (AB)=0 et l’orthogonalité des espaces. Leur supplémentarité est connue.

  • (c)

    L’inégalité de Cauchy-Schwarz donne

    |(InA)|InA

    d’où

    tr(A)ntr(AtA)

    avec égalité si, et seulement si, tr(A)0 et (A,In) liée, c’est-à-dire A=λIn avec λ0.

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Édité le 08-11-2019

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