[<] Inégalité de Cauchy Schwarz [>] Algorithme de Gram-Schmidt
Soit un espace préhilbertien muni d’un produit scalaire noté .
Soient et deux parties de avec . Montrer .
Soient et deux sous-espaces vectoriels de .
Montrer .
Montrer .
Que devient cette dernière inclusion si l’on suppose que l’espace est euclidien?
Soit un sous-espace vectoriel d’un espace préhilbertien . Montrer
Soient et deux sous-espaces vectoriels supplémentaires et orthogonaux d’un espace préhilbertien . Montrer .
On munit l’espace du produit scalaire défini par
On pose
Montrer que .
Les sous-espaces vectoriels et sont-ils supplémentaires?
Comparer et .
On munit du produit scalaire défini par
Montrer que la base canonique de est orthonormée.
Observer que les espaces et sont supplémentaires orthogonaux.
Établir que pour tout on a
et préciser les cas d’égalité.
Solution
.
Pour et ,
donc et l’orthogonalité des espaces. Leur supplémentarité est connue.
L’inégalité de Cauchy-Schwarz donne
d’où
avec égalité si, et seulement si, et liée, c’est-à-dire avec .
[<] Inégalité de Cauchy Schwarz [>] Algorithme de Gram-Schmidt
Édité le 29-08-2023
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