Exercice 1 4497

Soit $E$ un espace préhilbertien muni d’un produit scalaire noté $(\cdot ∣ \cdot)$ .

(a)

Soient $A$ et $B$ deux parties de $E$ avec $A \subset B$ . Montrer $B^{⊥} \subset A^{⊥}$ .

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$ .

(b)

Montrer ${(F + G)}^{⊥} = F^{⊥} \cap G^{⊥}$ .
(c)

Montrer ${(F \cap G)}^{⊥} \supset F^{⊥} + G^{⊥}$ .

Que devient cette inclusion si l’on suppose que l’espace $E$ est euclidien?

Exercice 2 4250

Soit $F$ un sous-espace vectoriel d’un espace préhilbertien $E$ . Montrer

F^{⊥} = {({(F^{⊥})}^{⊥})}^{⊥} .

Exercice 3 4498

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels supplémentaires et orthogonaux d’un espace préhilbertien $E$ . Montrer $G = F^{⊥}$ .

Exercice 4 3081

On munit l’espace $E = 𝒞 ([- 1; 1], ℝ)$ du produit scalaire défini par

⟨ f, g ⟩ = \int_{- 1}^{1} f (t) g (t) d t .

On pose

F = {f \in E | \forall t \in [- 1; 0], f (t) = 0} et G = {g \in E | \forall t \in [0; 1], g (t) = 0} .

Exercice 5 516 Correction

On munit $ℳ_{n} (ℝ)$ du produit scalaire défini par

(A ∣ B) = tr ({}^{t}A B) .

(a)

Montrer que la base canonique ${(E_{i, j})}_{1 \leq i, j \leq n}$ de $ℳ_{n} (ℝ)$ est orthonormée.
(b)

Observer que les espaces $𝒮_{n} (ℝ)$ et $𝒜_{n} (ℝ)$ sont supplémentaires orthogonaux.
(c)

Établir que pour tout $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ on a

$tr (A) \leq \sqrt{n} \sqrt{tr ({}^{t}A A)}$

et préciser les cas d’égalité.

Solution

(a)

$(E_{i, j} ∣ E_{k, ℓ}) = tr (E_{j, i} E_{k, ℓ}) = tr (δ_{i, k} E_{j, ℓ}) = δ_{i, k} δ_{j, ℓ}$ .
(b)

Pour $A \in 𝒮_{n} (ℝ)$ et $B \in 𝒜_{n} (ℝ)$ ,

$(A ∣ B) = tr ({}^{t}A B) = tr (A B) = - tr (A {}^{t}B) = - tr ({}^{t}B A) = - (B ∣ A)$

donc $(A ∣ B) = 0$ et l’orthogonalité des espaces. Leur supplémentarité est connue.
(c)

L’inégalité de Cauchy-Schwarz donne

$| (I_{n} ∣ A) | \leq ∥ I_{n} ∥ ∥ A ∥$

d’où

$tr (A) \leq \sqrt{n} \sqrt{tr ({}^{t}A A)}$

avec égalité si, et seulement si, $tr (A) \geq 0$ et $(A, I_{n})$ liée, c’est-à-dire $A = λ I_{n}$ avec $λ \geq 0$ .

Orthogonal d'une partie, d'un sous-espace vectoriel