[<] Base orthonormale [>] Distance à un sous-espace vectoriel

 
Exercice 1  5183  

Dans l’espace 3 muni du produit scalaire canonique, on considère le plan P formé des triplets (x,y,z)3 vérifiant

x-2y+z=0.

Former la matrice dans la base canonique de la projection orthogonale sur P.

 
Exercice 2  1588  Correction  

On considère un espace vectoriel euclidien E muni d’une base orthonormée =(i,j,k).
Former la matrice dans de la projection orthogonale sur le plan P d’équation x+y+z=0.

Solution

Soit n=i+j+k un vecteur normal à P. Notons p la projection orthogonale sur P.
On sait

xE,p(x)=x-(xn)n2n

et donc

Mat(p)=13(2-1-1-12-1-1-12).
 
Exercice 3  1589  Correction  

On considère un espace vectoriel euclidien E muni d’une base orthonormée =(i,j,k).
Former la matrice dans de la symétrie orthogonale sur le plan P d’équation x=z.

Solution

Soit n=i-k un vecteur normal à P. Notons s la symétrie orthogonale par rapport à P. La relation

s(x)=x-2(xn)n2n

donne

Mat(s)=(001010100).
 
Exercice 4  1590   Correction  

On considère 4 muni de sa structure euclidienne canonique et F le sous-espace vectoriel de 4 défini par

F={(x,y,z,t)4|x+y+z+t=x-y+z-t=0}.
  • (a)

    Déterminer une base orthonormale du supplémentaire orthogonal de F.

  • (b)

    Écrire la matrice dans la base canonique de 4 de la projection orthogonale sur F.

  • (c)

    Écrire la matrice dans la base canonique de 4 de la symétrie orthogonale par rapport à F.

  • (d)

    Calculer d(u,F)u=(1,2,3,4).

Solution

  • (a)

    Soient

    H={(x,y,z,t)4|x+y+z+t=0}

    et

    K={(x,y,z,t)4|x-y+z-t=0}.

    On a F=HK puis F=H+K.
    Soient n=(1,1,1,1) et m=(1,-1,1,-1) des vecteurs normaux à H et K.
    Par le procédé de Schmidt,

    e1=(12,12,12,12)ete2=(12,-12,12,-12)

    forment une base orthonormée de F.

  • (b)

    On peut facilement former Mat(pF) car

    xE,pF(x)=(xe1)e1+(xe2)e2

    donc

    Mat(pF)=I4-Mat(pF)=12(10-10010-1-10100-101).
  • (c)

    sF=2pF-Id donc

    Mat(sF)=(00-10000-1-10000-100).
  • (d)

    Pour u=(1,2,3,4),pF(u)=(-1,-1,1,1) donc

    d(u,F)=u-pF(u)=4+9+4+9=26.
 
Exercice 5  1591  Correction  

Soit E un espace vectoriel euclidien muni d’une base orthonormée =(i,j,k).

Soit p(E) déterminé par

Mat(p)=16(5-21-222125).

Montrer que p est une projection orthogonale sur un plan dont on précisera une équation.

Solution

Notons A=Mat(p). On a A2=A donc p est une projection.

En déterminant Ker(p), on obtient Ker(p)=Vect(a) avec a=i+2j-k.

L’espace Im(p) est un plan dont p(i) et p(j) forment une base. Puisque (p(i)a)=(p(j)a)=0 on a Im(p)(Ker(p)) puis Im(p)=(Ker(p)) par égalité des dimensions.

On conclut que p est la projection orthogonale sur le plan dont a est vecteur normal, c’est-à-dire

P:x+2y-z=0.
 
Exercice 6  4503   

On munit E=n() du produit scalaire11 1 Voir sujet 4493. donné par A,B=tr(AtB).

On introduit 𝒮n() et 𝒜n() les sous-espaces des matrices symétriques et antisymétriques de n()

𝒮n()={Mn()|Mt=M}et𝒜n()={Mn()|Mt=-M}.
  • (a)

    Montrer que 𝒮n() et 𝒜n() sont l’orthogonal l’un de l’autre.

  • (b)

    Exprimer le projeté orthogonal sur 𝒮n() d’une matrice M de n().

 
Exercice 7  1594   Correction  

Soit E=𝒞([-1;1],).
Pour f,gE, on pose

φ(f,g)=-11f(t)g(t)dt.
  • (a)

    Montrer que φ est un produit scalaire sur E.

  • (b)

    On note 𝒫 et les sous-ensembles de E formés des fonctions paires et impaires.
    Montrer que =𝒫.

  • (c)

    Soit ψ:ff^ avec f^:xf(-x).
    Montrer que ψ est la symétrie orthogonale par rapport à 𝒫.

Solution

  • (a)

    Rien à signaler.

  • (b)

    On a

    f𝒫,g,φ(f,g)=0

    car le produit tf(t)g(t) est impair et intégré sur un intervalle symétrique par rapport à 0.
    Ainsi 𝒫.
    Inversement, soit h. On sait 𝒫=E donc on peut écrire h=f+g avec f𝒫 et g.
    On a φ(h,g)=φ(f,g)+φ(g,g). Or φ(h,g)=0 et φ(f,g)=0 donc φ(g,g)=0 d’où g=0.
    Ainsi h=f𝒫 puis 𝒫. On conclut.

  • (c)

    ψ2=Id donc ψ est une symétrie.

    f𝒫,ψ(f)=fetf=(𝒫),ψ(f)=-f

    donc ψ est la symétrie orthogonale par rapport à 𝒫.

 
Exercice 8  5182  

Soient x et y deux vecteurs non nuls d’un espace euclidien E et D une droite de E.
À quelle condition les projetés orthogonaux des vecteurs x et y sur la droite D sont-ils égaux?

 
Exercice 9  4504   

Soient x et y deux vecteurs distincts d’un espace euclidien de dimension supérieure à 2.

  • (a)

    On suppose (xy)=y2. Montrer qu’il existe un unique hyperplan H de E tel que y=pH(x).

  • (b)

    À quelle condition existe-t-il une réflexion échangeant x et y?

 
Exercice 10  3403   Correction  

Soient x et y deux vecteurs non nuls d’un espace euclidien E.
À quelle condition sur x et y, le projeté orthogonal du vecteur x sur la droite Vect(y) est-il égal au projeté orthogonal de y sur la droite Vect(x)?

Solution

Le projeté orthogonal de x sur la droite Vect(y) est

(yx)y2y.

Les projetés orthogonaux considérés seront donc égaux si, et seulement si,

(yx)y2y=(xy)x2x.

Cette équation est vérifiée si, et seulement si, x et y sont orthogonaux ou

x2y=y2x.

Dans ce dernier cas x et y sont colinéaires ce qui permet d’écrire y=λx et l’égalité donne

λx2x=λ2x2x

d’où λ=1.
Finalement, les projetés orthogonaux considérés seront égaux si, et seulement si, les vecteurs x et y sont égaux ou orthogonaux.

 
Exercice 11  5184   

Soit p un endomorphisme d’un espace vectoriel réel E de dimension finie n1. On suppose pp=p. Existe-t-il un produit scalaire sur E pour lequel p soit une projection orthogonale?

 
Exercice 12  1596   Correction  

Soit E un espace vectoriel euclidien, H et H deux hyperplans de E.
On note s et s les réflexions par rapport à H et H.
À quelle condition s et s commutent-elles et préciser alors ss.

Solution

Soit n et n des vecteurs normaux à H et H.
Si s et s commutent alors ss(n)=ss(n)=-s(n) donc s(n)H.
Puisque s(n)=n on a s(n)=n ou s(n)=-n c’est-à-dire nH ou nH.
Inversement:
Si nH alors on peut construire une base adaptée qui permet matriciellement de conclure à la commutativité et d’observer que ss est la symétrie orthogonale par rapport à HH.
Si nH alors H=H et ss=Id.

 
Exercice 13  1592   Correction  

Soient a et b deux vecteurs distincts d’un espace vectoriel euclidien E tels que

a=b.

Montrer qu’il existe une unique réflexion échangeant a et b.

Solution

Unicité: Si σ est une réflexion par rapport à un hyperplan H solution alors:
σ(a-b)=b-a et donc

H=Vect(b-a).

Existence: Soit H=Vect(b-a) et σ la réflexion par rapport à H.
σ(a-b)=b-a et σ(a+b)=a+b car (a+ba-b)=0.
Donc

σ(a)=12σ(a+b)+12σ(a-b)=b et σ(b)=a.

La réflexion σ est solution.

 
Exercice 14  4992    

Soient x un vecteur d’un espace euclidien E de dimension n1 et (λ1,,λn) une famille de réels.

À quelle condition existe-t-il une base orthonormale de E telle que (λ1,,λn) soit la famille des coordonnées de x dans cette base?

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Édité le 08-11-2019

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