Exercice 1 5183

Dans l’espace $ℝ^{3}$ muni du produit scalaire canonique, on considère le plan $P$ formé des triplets $(x, y, z) \in ℝ^{3}$ vérifiant

x - 2 y + z = 0 .

Former la matrice dans la base canonique de la projection orthogonale sur $P$ .

Exercice 2 1588 Correction

On considère un espace vectoriel euclidien $E$ muni d’une base orthonormée $ℬ = (i, j, k)$ .

Former la matrice dans $ℬ$ de la projection orthogonale sur le plan $P$ d’équation $x + y + z = 0$ .

Solution

Soit $n = i + j + k$ un vecteur normal à $P$ . Notons $p$ la projection orthogonale sur $P$ .

On sait

\forall x \in E, p (x) = x - \frac{(x ∣ n)}{{∥ n ∥}^{2}} n

et donc

{Mat}_{ℬ} (p) = \frac{1}{3} (\begin{matrix} 2 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 2 \end{matrix}) .

Exercice 3 1589 Correction

On considère un espace vectoriel euclidien $E$ muni d’une base orthonormée $ℬ = (i, j, k)$ .
Former la matrice dans $ℬ$ de la symétrie orthogonale sur le plan $P$ d’équation $x = z$ .

Solution

Soit $n = i - k$ un vecteur normal à $P$ . Notons $s$ la symétrie orthogonale par rapport à $P$ . La relation

s (x) = x - 2 \frac{(x ∣ n)}{{∥ n ∥}^{2}} n

donne

{Mat}_{ℬ} (s) = (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}) .

Exercice 4 1590 Correction

On considère $ℝ^{4}$ muni de sa structure euclidienne canonique et $F$ le sous-espace vectoriel de $ℝ^{4}$ défini par

F = {(x, y, z, t) \in ℝ^{4} | x + y + z + t = x - y + z - t = 0} .

(a)

Déterminer une base orthonormale du supplémentaire orthogonal de $F$ .
(b)

Écrire la matrice dans la base canonique de $ℝ^{4}$ de la projection orthogonale sur $F$ .
(c)

Écrire la matrice dans la base canonique de $ℝ^{4}$ de la symétrie orthogonale par rapport à $F$ .
(d)

Calculer $d (u, F)$ où $u = (1,2,3,4)$ .

Solution

(a)

Soient

$H = {(x, y, z, t) \in ℝ^{4} | x + y + z + t = 0}$

et

$K = {(x, y, z, t) \in ℝ^{4} | x - y + z - t = 0} .$

On a $F = H \cap K$ puis $F^{⊥} = H^{⊥} + K^{⊥}$ .
Soient $n = (1,1,1,1)$ et $m = (1, - 1,1, - 1)$ des vecteurs normaux à $H$ et $K$ .
Par le procédé de Schmidt,

$e_{1} = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}) et e_{2} = (\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$

forment une base orthonormée de $F^{⊥}$ .
(b)

On peut facilement former ${Mat}_{ℬ} (p_{F^{⊥}})$ car

$\forall x \in E, p_{F^{⊥}} (x) = (x ∣ e_{1}) e_{1} + (x ∣ e_{2}) e_{2}$

donc

${Mat}_{ℬ} (p_{F}) = I_{4} - {Mat}_{ℬ} (p_{F^{⊥}}) = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 \end{matrix}) .$
(c)

$s_{F} = 2 p_{F} - Id$ donc

${Mat}_{ℬ} (s_{F}) = (\begin{matrix} 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \end{matrix}) .$
(d)

Pour $u = (1,2,3,4), p_{F} (u) = (- 1, - 1,1,1)$ donc

$d (u, F) = ∥ u - p_{F} (u) ∥ = \sqrt{4 + 9 + 4 + 9} = \sqrt{26} .$

Exercice 5 1591 Correction

Soit $E$ un espace vectoriel euclidien muni d’une base orthonormée $ℬ = (i, j, k)$ .

Soit $p \in ℒ (E)$ déterminé par

{Mat}_{ℬ} (p) = \frac{1}{6} (\begin{matrix} 5 & - 2 & 1 \\ - 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 5 \end{matrix}) .

Montrer que $p$ est une projection orthogonale sur un plan dont on précisera une équation.

Solution

Notons $A = {Mat}_{ℬ} (p)$ . On a $A^{2} = A$ donc $p$ est une projection.

En déterminant $Ker (p)$ , on obtient $Ker (p) = Vect (a)$ avec $a = i + 2 j - k$ .

L’espace $Im (p)$ est un plan dont $p (i)$ et $p (j)$ forment une base. Puisque $(p (i) ∣ a) = (p (j) ∣ a) = 0$ on a $Im (p) \subset {(Ker (p))}^{⊥}$ puis $Im (p) = {(Ker (p))}^{⊥}$ par égalité des dimensions.

On conclut que $p$ est la projection orthogonale sur le plan dont $a$ est vecteur normal, c’est-à-dire

P : x + 2 y - z = 0 .

Exercice 6 4503

On munit $E = ℳ_{n} (ℝ)$ du produit scalaire¹¹ 1 Voir le sujet 4493. donné par $⟨ A, B ⟩ = tr (A^{⊤} B)$ .

On introduit $𝒮_{n} (ℝ)$ et $𝒜_{n} (ℝ)$ les sous-espaces des matrices symétriques et antisymétriques de $ℳ_{n} (ℝ)$

𝒮_{n} (ℝ) = {M \in ℳ_{n} (ℝ) | M^{⊤} = M} et 𝒜_{n} (ℝ) = {M \in ℳ_{n} (ℝ) | M^{⊤} = - M} .

(a)

Montrer que $𝒮_{n} (ℝ)$ et $𝒜_{n} (ℝ)$ sont l’orthogonal l’un de l’autre.
(b)

Exprimer le projeté orthogonal sur $𝒮_{n} (ℝ)$ d’une matrice $M$ de $ℳ_{n} (ℝ)$ .

Exercice 7 1594 Correction

Soit $E = 𝒞 ([- 1; 1], ℝ)$ .
Pour $f, g \in E$ , on pose

φ (f, g) = \int_{- 1}^{1} f (t) g (t) d t .

(a)

Montrer que $φ$ est un produit scalaire sur $E$ .
(b)

On note $𝒫$ et $ℐ$ les sous-ensembles de $E$ formés des fonctions paires et impaires.
Montrer que $ℐ = 𝒫^{⊥}$ .
(c)

Soit $ψ : f \mapsto \hat{f}$ avec $\hat{f} : x \mapsto f (- x)$ .
Montrer que $ψ$ est la symétrie orthogonale par rapport à $𝒫$ .

Solution

(a)

Rien à signaler.
(b)

On a

$\forall f \in 𝒫, \forall g \in ℐ, φ (f, g) = 0$

car le produit $t \mapsto f (t) g (t)$ est impair et intégré sur un intervalle symétrique par rapport à 0.
Ainsi $𝒫 \subset ℐ^{⊥}$ .
Inversement, soit $h \in ℐ^{⊥}$ . On sait $𝒫 \oplus ℐ = E$ donc on peut écrire $h = f + g$ avec $f \in 𝒫$ et $g \in ℐ$ .
On a $φ (h, g) = φ (f, g) + φ (g, g)$ . Or $φ (h, g) = 0$ et $φ (f, g) = 0$ donc $φ (g, g) = 0$ d’où $g = 0$ .
Ainsi $h = f \in 𝒫$ puis $ℐ^{⊥} \subset 𝒫$ . On conclut.
(c)

$ψ^{2} = Id$ donc $ψ$ est une symétrie.

$\forall f \in 𝒫, ψ (f) = f et \forall f \in ℐ = {(𝒫)}^{⊥}, ψ (f) = - f$

donc $ψ$ est la symétrie orthogonale par rapport à $𝒫$ .

Exercice 8 5182

Soient $x$ et $y$ deux vecteurs non nuls d’un espace euclidien $E$ et $D$ une droite de $E$ .
À quelle condition les projetés orthogonaux des vecteurs $x$ et $y$ sur la droite $D$ sont-ils égaux?

Exercice 9 4504

Soient $x$ et $y$ deux vecteurs distincts d’un espace euclidien de dimension supérieure à $2$ .

(a)

On suppose $(x ∣ y) = {∥ y ∥}^{2}$ . Montrer qu’il existe un unique hyperplan $H$ de $E$ tel que $y = p_{H} (x)$ .
(b)

À quelle condition existe-t-il une réflexion échangeant $x$ et $y$ ?

Exercice 10 3403 Correction

Soient $x$ et $y$ deux vecteurs non nuls d’un espace euclidien $E$ .
À quelle condition sur $x$ et $y$ , le projeté orthogonal du vecteur $x$ sur la droite $Vect (y)$ est-il égal au projeté orthogonal de $y$ sur la droite $Vect (x)$ ?

Solution

Le projeté orthogonal de $x$ sur la droite $Vect (y)$ est

\frac{(y ∣ x)}{{∥ y ∥}^{2}} y .

Les projetés orthogonaux considérés seront donc égaux si, et seulement si,

\frac{(y ∣ x)}{{∥ y ∥}^{2}} y = \frac{(x ∣ y)}{{∥ x ∥}^{2}} x .

Cette équation est vérifiée si, et seulement si, $x$ et $y$ sont orthogonaux ou

{∥ x ∥}^{2} y = {∥ y ∥}^{2} x .

Dans ce dernier cas $x$ et $y$ sont colinéaires ce qui permet d’écrire $y = λ x$ et l’égalité donne

λ {∥ x ∥}^{2} x = λ^{2} {∥ x ∥}^{2} x

d’où $λ = 1$ .
Finalement, les projetés orthogonaux considérés seront égaux si, et seulement si, les vecteurs $x$ et $y$ sont égaux ou orthogonaux.

Exercice 11 5184

Soit $p$ un endomorphisme d’un espace vectoriel réel $E$ de dimension finie $n \geq 1$ . On suppose $p \circ p = p$ . Existe-t-il un produit scalaire sur $E$ pour lequel $p$ soit une projection orthogonale?

Exercice 12 1596 Correction

Soit $E$ un espace vectoriel euclidien, $H$ et $H^{'}$ deux hyperplans de $E$ .
On note $s$ et $s^{'}$ les réflexions par rapport à $H$ et $H^{'}$ .
À quelle condition $s$ et $s^{'}$ commutent-elles et préciser alors $s \circ s^{'}$ .

Solution

Soit $n$ et $n^{'}$ des vecteurs normaux à $H$ et $H^{'}$ .
Si $s$ et $s^{'}$ commutent alors $s \circ s^{'} (n) = s^{'} \circ s (n) = - s^{'} (n)$ donc $s^{'} (n) \in H^{⊥}$ .
Puisque $∥ s^{'} (n) ∥ = ∥ n ∥$ on a $s^{'} (n) = n$ ou $s^{'} (n) = - n$ c’est-à-dire $n \in H^{'}$ ou $n \in H^{', ⊥}$ .
Inversement:
Si $n \in H^{'}$ alors on peut construire une base adaptée qui permet matriciellement de conclure à la commutativité et d’observer que $s \circ s^{'}$ est la symétrie orthogonale par rapport à $H \cap H^{'}$ .
Si $n \in H^{', ⊥}$ alors $H = H^{'}$ et $s \circ s^{'} = Id$ .

Exercice 13 1592 Correction

Soient $a$ et $b$ deux vecteurs distincts d’un espace vectoriel euclidien $E$ tels que

∥ a ∥ = ∥ b ∥ .

Montrer qu’il existe une unique réflexion échangeant $a$ et $b$ .

Solution

Unicité: Si $σ$ est une réflexion par rapport à un hyperplan $H$ solution alors:
$σ (a - b) = b - a$ et donc

H = Vect {(b - a)}^{⊥} .

Existence: Soit $H = Vect {(b - a)}^{⊥}$ et $σ$ la réflexion par rapport à $H$ .
$σ (a - b) = b - a$ et $σ (a + b) = a + b$ car $(a + b ∣ a - b) = 0$ .
Donc

σ (a) = \frac{1}{2} σ (a + b) + \frac{1}{2} σ (a - b) = b et σ (b) = a .

La réflexion $σ$ est solution.

Exercice 14 4992

Soient $x$ un vecteur d’un espace euclidien $E$ de dimension $n \geq 1$ et $(λ_{1}, \dots, λ_{n})$ une famille de réels.

À quelle condition existe-t-il une base orthonormale de $E$ telle que $(λ_{1}, \dots, λ_{n})$ soit la famille des coordonnées de $x$ dans cette base?

[<] Base orthonormale [>] Distance à un sous-espace vectoriel

Édité le 23-02-2024

Projections et symétries orthogonales