[<] Produit scalaire [>] Calcul dans un espace euclidien

 
Exercice 1  1572  

Soient E espace vectoriel réel muni d’un produit scalaire (), a un vecteur non nul de E et λ un réel. Résoudre l’équation

(E):(ax)=λ

d’inconnue xE.

 
Exercice 2  510  Correction  

Soient x,y deux vecteurs non nuls d’un espace préhilbertien réel. Établir

xx2-yy2=x-yxy.

Solution

On connaît la fomule de développement

a-b2=a2-2(ab)+b2

En développant le produit scalaire,

xx2-yy22=1x2-2(xy)x2y2+1y2=(x-yxy)2.
 
Exercice 3  508   

Soient E un espace préhilbertien réel de produit scalaire , et f,g:EE deux applications vérifiant

f(x),y=x,g(y)pour tout (x,y)E2.

Montrer que les applications f et g sont linéaires.

 
Exercice 4  509   Correction  

Soient E un espace préhilbertien réel et f:EE une application surjective telle que pour tout x,yE, on ait

(f(x)f(y))=(xy).

Montrer que f est un endomorphisme de E.

Solution

Pour x,xE et λ,λ,

(f(λx+λx)f(y)) =(λx+λxy)
=λ(xy)+λ(xy)
=λ(f(x)f(y))+λ(f(x)f(y))
=(λf(x)+λf(x)f(y))

donc

f(λx+λx)-(λf(x)+λf(x))(Im(f))={0}

d’où la linéarité de f.

En fait, l’hypothèse de surjectivité n’est pas nécessaire pour résoudre cet exercice mais permet un «  argument rapide  ».

 
Exercice 5  3180   

Soit S l’ensemble des vecteurs de norme 1 d’un espace préhilbertien réel E.

Montrer que, si x et y sont deux éléments distincts de S, alors pour tout λ,

(λ0 et λ1)(1-λ).x+λ.yS.
 
Exercice 6  1579   Correction  

Soient E un espace préhilbertien réel et x,yE. Montrer que x et y sont orthogonaux si, et seulement si,

λ,x+λyx.

Solution

() Via la formule de Pythagore.

() Si pour tout λ on a x+λyx alors

2λ(xy)+λ2y20.

Si, par l’absurde (xy)0 alors

2λ(xy)+λ2y2λ02λ(xy)

qui change de signe en 0. Cela est absurde et par suite (xy)=0.

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Édité le 08-11-2019

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