Exercice 1 1572

Soient $E$ espace vectoriel réel muni d’un produit scalaire $(\cdot ∣ \cdot)$ , $a$ un vecteur non nul de $E$ et $λ$ un réel. Résoudre l’équation

(E) : (a ∣ x) = λ

d’inconnue $x \in E$ .

Exercice 2 510 Correction

Soient $x, y$ deux vecteurs non nuls d’un espace préhilbertien réel. Établir

∥ \frac{x}{{∥ x ∥}^{2}} - \frac{y}{{∥ y ∥}^{2}} ∥ = \frac{∥ x - y ∥}{∥ x ∥ ∥ y ∥} .

Solution

On connaît la formule de développement

{∥ a - b ∥}^{2} = {∥ a ∥}^{2} - 2 (a ∣ b) + {∥ b ∥}^{2} .

En développant le produit scalaire,

{∥ \frac{x}{{∥ x ∥}^{2}} - \frac{y}{{∥ y ∥}^{2}} ∥}^{2} = \frac{1}{{∥ x ∥}^{2}} - 2 \frac{(x ∣ y)}{{∥ x ∥}^{2} {∥ y ∥}^{2}} + \frac{1}{{∥ y ∥}^{2}} = {(\frac{∥ x - y ∥}{∥ x ∥ ∥ y ∥})}^{2} .

Exercice 3 508

Soient $E$ un espace préhilbertien réel de produit scalaire $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ et $f, g : E \to E$ deux applications vérifiant

⟨ f (x), y ⟩ = ⟨ x, g (y) ⟩ pour tout (x, y) \in E^{2} .

Montrer que les applications $f$ et $g$ sont linéaires.

Exercice 4 509 Correction

Soient $E$ un espace préhilbertien réel et $f : E \to E$ une application surjective telle que pour tout $x, y \in E$ , on ait

(f (x) ∣ f (y)) = (x ∣ y) .

Montrer que $f$ est un endomorphisme de $E$ .

Solution

Pour $x, x^{'} \in E$ et $λ, λ^{'} \in ℝ$ ,

donc

f (λ x + λ^{'} x^{'}) - (λ f (x) + λ^{'} f (x^{'})) \in {(Im (f))}^{⊥} = {0}

d’où la linéarité de $f$ .

En fait, l’hypothèse de surjectivité n’est pas nécessaire pour résoudre cet exercice mais permet un « argument rapide ».

Exercice 5 3180

Soit $S$ l’ensemble des vecteurs de norme $1$ d’un espace préhilbertien réel $E$ .

Montrer que, si $x$ et $y$ sont deux éléments distincts de $S$ , alors pour tout $λ \in ℝ$ ,

(λ \neq 0 et λ \neq 1) ⟹ (1 - λ) . x + λ . y \notin S .

Exercice 6 1579 Correction

Soient $E$ un espace préhilbertien réel et $x, y \in E$ . Montrer que $x$ et $y$ sont orthogonaux si, et seulement si,

\forall λ \in ℝ, ∥ x + λ y ∥ \geq ∥ x ∥ .

Solution

$(⟹)$ Via la formule de Pythagore.

$(⟸)$ Si pour tout $λ \in ℝ$ on a $∥ x + λ y ∥ \geq ∥ x ∥$ alors

2 λ (x ∣ y) + λ^{2} {∥ y ∥}^{2} \geq 0 .

Si, par l’absurde $(x ∣ y) \neq 0$ alors

2 λ (x ∣ y) + λ^{2} {∥ y ∥}^{2} \underset{λ \to 0}{\sim} 2 λ (x ∣ y)

qui change de signe en 0. Cela est absurde et par suite $(x ∣ y) = 0$ .

Édité le 08-12-2023

Calcul dans un espace préhilbertien