[<] Calcul dans un espace préhilbertien [>] Inégalité de Cauchy Schwarz

 
Exercice 1  1584  Correction  

Soient E un espace vectoriel euclidien et f(E) tel que

(x,y)E2,(f(x)y)=(xf(y)).
  • (a)

    Montrer que la matrice de f dans une base orthonormée =(e1,,en) est symétrique.

  • (b)

    Montrer que le noyau et l’image de f sont supplémentaires et orthogonaux.

Solution

  • (a)

    A=Mat(f)=(ai,j) avec ai,j=(eif(ej))=(f(ei)ej)=aj,i.

  • (b)

    Soit xKer(f) et z=f(y)Im(f).
    (xz)=(xf(y))=(f(x)y)=(0y)=0 donc Ker(f)Im(f).
    De plus,

    dimKer(f)=dimE-dimIm(f)=dimIm(f)

    et donc Ker(f)=Im(f) puis la conclusion.

 
Exercice 2  523   

Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel euclidien E vérifiant f(x),x=0 pour tout xE. Comparer Ker(f) et Im(f).

 
Exercice 3  5181   

Soient E un espace euclidien de produit scalaire () et f:EE une application vérifiant

(f(x)f(y))=(xy)pour tous x,yE.

Montrer que f est un endomorphisme de E.

 
Exercice 4  2396     CENTRALE (MP)Correction  

Soient (E,,) un espace euclidien non nul et u(E) tel que tr(u)=0.

  • (a)

    Montrer qu’il existe xE{0} tel que u(x),x=0.

  • (b)

    Montrer qu’il existe une base orthonormée de E dans laquelle la matrice de u est à diagonale nulle.

Solution

  • (a)

    Soit (e1,,en) une base orthonormée de E. tr(u)=0 donne

    i=1nei,u(ei)=0.

    Si dimE=1: ok
    Si dimE>1, il existe ij tel que ei,u(ei)0 et ej,u(ej)0.
    L’application tu(tei+(1-t)ej),tei+(1-t)ej est continue, à valeurs réelles et change de signe, en vertu du théorème des valeurs intermédiaires, elle s’annule et donc il existe t[0;1] tel que pour x=tei+(1-t)ej, u(x),x=0. De plus, l’indépendance de ei et ej assure x0.

  • (b)

    Il existe ε1 vecteur unitaire tel que

    ε1,u(ε1)=0.

    On complète celui-ci en une base orthonormée (ε1,ε2,,εn). La matrice de u dans cette base est de la forme

    (0**A)

    avec tr(A)=0. Considérons alors u l’endomorphisme de E=Vect(ε2,,εn) de matrice A dans la base (ε2,,εn). Puisque tr(u)=tr(A)=0, un principe de récurrence permet de former une base orthonormée (ε2,,εn) de E dans laquelle u est représenté par une matrice de diagonale nulle. La famille (ε1,ε2,,εn) est alors une base orthonormée solution du problème posé.

 
Exercice 5  2733     MINES (MP)

(Famille équiangulaire)

Soient u1,,un des vecteurs unitaires d’un espace euclidien E de dimension n2 dont le produit scalaire est noté ,. On suppose qu’il existe un réel c tel que ui,uj=c pour tous les indices i et j distincts dans 1;n.

Pour quelles valeurs de c peut-on affirmer que la famille (u1,,un) est liée?

 
Exercice 6  5345   Correction  

Soit (e1,,en) une famille de vecteurs unitaires d’un espace euclidien E de dimension n1.

On suppose que ei-ej=1 pour tous i,j{1,,n} distincts.

Montrer que la famille (e1,,en) est une base de E.

Solution

Puisque la famille est formée de n vecteurs il suffit de constater sa liberté.

Supposons λ1.e1++λn.en=0E avec (λ1,,λn)n.

Soit i{1,,n}. En faisant le produit scalaire avec ei, on obtient les équations

jiλj(eiej)+λi=0.

Or, pour ij,

ei-ej2=ei2-2(eiej)+ej2=2-2(eiej)

et donc (eiej)=1/2.

Les équations précédentes forment alors le système AX=0 avec

A=(1(12)(12)1)etX=(λ1λn).

Or la matrice A est inversible car det(A)0 (cf. sujet 4451) et donc X est la colonne nulle. On conclut que la famille (e1,,en) est libre et donc une base de E.

[<] Calcul dans un espace préhilbertien [>] Inégalité de Cauchy Schwarz



Édité le 08-11-2019

Bootstrap Bootstrap 3 - LaTeXML [LOGO] - Powered by MathJax Powered by MathJax