Exercice 1 1584 Correction

Soient $E$ un espace vectoriel euclidien et $f \in ℒ (E)$ tel que

\forall (x, y) \in E^{2}, (f (x) ∣ y) = (x ∣ f (y)) .

(a)

Montrer que la matrice de $f$ dans une base orthonormée $ℬ = (e_{1}, \dots, e_{n})$ est symétrique.
(b)

Montrer que le noyau et l’image de $f$ sont supplémentaires et orthogonaux.

Solution

(a)

$A = {Mat}_{ℬ} (f) = (a_{i, j})$ avec $a_{i, j} = (e_{i} ∣ f (e_{j})) = (f (e_{i}) ∣ e_{j}) = a_{j, i}$ .
(b)

Soit $x \in Ker (f)$ et $z = f (y) \in Im (f)$ .
$(x ∣ z) = (x ∣ f (y)) = (f (x) ∣ y) = (0 ∣ y) = 0$ donc $Ker (f) \subset Im (f^{⊥})$ .
De plus,

$dim Ker (f) = dim E - dim Im (f) = dim Im (f^{⊥})$

et donc $Ker (f) = Im (f^{⊥})$ puis la conclusion.

Exercice 2 523

Soit $f$ un endomorphisme d’un espace vectoriel euclidien $E$ vérifiant $⟨ f (x), x ⟩ = 0$ pour tout $x \in E$ . Comparer $Ker (f)$ et $Im (f)$ .

Exercice 3 5181

Soient $E$ un espace euclidien de produit scalaire $(\cdot ∣ \cdot)$ et $f : E \to E$ une application vérifiant

(f (x) ∣ f (y)) = (x ∣ y) pour tous x, y \in E .

Montrer que $f$ est un endomorphisme de $E$ .

Exercice 4 2396 CENTRALE (MP)Correction

Soient $(E, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)$ un espace euclidien non nul et $u \in ℒ (E)$ tel que $tr (u) = 0$ .

(a)

Montrer qu’il existe $x \in E ∖ {0}$ tel que $⟨ u (x), x ⟩ = 0$ .
(b)

Montrer qu’il existe une base orthonormée de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est à diagonale nulle.

Solution

(a)

Soit $(e_{1}, \dots, e_{n})$ une base orthonormée de $E$ . $tr (u) = 0$ donne

$\sum_{i = 1}^{n} ⟨ e_{i}, u (e_{i}) ⟩ = 0 .$

Si $dim E = 1$ : ok
Si $dim E > 1$ , il existe $i \neq j$ tel que $⟨ e_{i}, u (e_{i}) ⟩ \geq 0$ et $⟨ e_{j}, u (e_{j}) ⟩ \leq 0$ .
L’application $t \mapsto ⟨ u (t e_{i} + (1 - t) e_{j}), t e_{i} + (1 - t) e_{j} ⟩$ est continue, à valeurs réelles et change de signe, en vertu du théorème des valeurs intermédiaires, elle s’annule et donc il existe $t \in [0; 1]$ tel que pour $x = t e_{i} + (1 - t) e_{j}$ , $⟨ u (x), x ⟩ = 0$ . De plus, l’indépendance de $e_{i}$ et $e_{j}$ assure $x \neq 0$ .
(b)

Il existe $ε_{1}$ vecteur unitaire tel que

$⟨ ε_{1}, u (ε_{1}) ⟩ = 0 .$

On complète celui-ci en une base orthonormée $(ε_{1}, ε_{2}, \dots, ε_{n})$ . La matrice de $u$ dans cette base est de la forme

$(\begin{matrix} 0 & * \\ * & A \end{matrix})$

avec $tr (A) = 0$ . Considérons alors $u^{'}$ l’endomorphisme de $E^{'} = Vect (ε_{2}, \dots, ε_{n})$ de matrice $A$ dans la base $(ε_{2}, \dots, ε_{n})$ . Puisque $tr (u^{'}) = tr (A) = 0$ , un principe de récurrence permet de former une base orthonormée $(ε_{2}^{'}, \dots, ε_{n}^{'})$ de $E^{'}$ dans laquelle $u^{'}$ est représenté par une matrice de diagonale nulle. La famille $(ε_{1}, ε_{2}^{'}, \dots, ε_{n}^{'})$ est alors une base orthonormée solution du problème posé.

Exercice 5 5345 Correction

Soit $(e_{1}, \dots, e_{n})$ une famille de vecteurs unitaires d’un espace euclidien $E$ de dimension $n \geq 1$ .

On suppose que $∥ e_{i} - e_{j} ∥ = 1$ pour tous $i, j \in {1, \dots, n}$ distincts.

Montrer que la famille $(e_{1}, \dots, e_{n})$ est une base de $E$ .

Solution

Puisque la famille est formée de $n$ vecteurs il suffit de constater sa liberté.

Supposons $λ_{1} . e_{1} + \dots + λ_{n} . e_{n} = 0_{E}$ avec $(λ_{1}, \dots, λ_{n}) \in ℝ^{n}$ .

Soit $i \in {1, \dots, n}$ . En faisant le produit scalaire avec $e_{i}$ , on obtient les équations

\sum_{j \neq i} λ_{j} (e_{i} ∣ e_{j}) + λ_{i} = 0 .

Or, pour $i \neq j$ ,

{∥ e_{i} - e_{j} ∥}^{2} = {∥ e_{i} ∥}^{2} - 2 (e_{i} ∣ e_{j}) + {∥ e_{j} ∥}^{2} = 2 - 2 (e_{i} ∣ e_{j})

et donc $(e_{i} ∣ e_{j}) = 1 / 2$ .

Les équations précédentes forment alors le système $A X = 0$ avec

A = (\begin{matrix} 1 & (\frac{1}{2}) \\ ⋱ \\ (\frac{1}{2}) & 1 \end{matrix}) et X = (\begin{matrix} λ_{1} \\ ⋮ \\ λ_{n} \end{matrix}) .

Or la matrice $A$ est inversible car $\det (A) \neq 0$ (cf. sujet 4451) et donc $X$ est la colonne nulle. On conclut que la famille $(e_{1}, \dots, e_{n})$ est libre et donc une base de $E$ .

Exercice 6 2733 MINES (MP)

(Famille équiangulaire)

Soient $u_{1}, \dots, u_{n}$ des vecteurs unitaires d’un espace euclidien $E$ de dimension $n \geq 2$ dont le produit scalaire est noté $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ . On suppose qu’il existe un réel $c$ tel que $⟨ u_{i}, u_{j} ⟩ = c$ pour tous les indices $i$ et $j$ distincts dans $⟦ 1; n ⟧$ .

Pour quelles valeurs de $c$ peut-on affirmer que la famille $(u_{1}, \dots, u_{n})$ est liée?

[<] Calcul dans un espace préhilbertien [>] Inégalité de Cauchy Schwarz

Édité le 29-08-2023

Calcul dans un espace euclidien