[<] Calcul dans un espace euclidien [>] Orthogonal d'une partie, d'un sous-espace vectoriel

 
Exercice 1  1575  

Soit (x1,,xn)n. Montrer l’inégalité qui suit en précisant le cas d’égalité

(k=1nxk)2nk=1nxk2.
 
Exercice 2  1576  Correction  

Soient x1,,xn des réels strictement positifs tels que x1++xn=1.
Montrer que

k=1n1xkn2.

Préciser les cas d’égalité.

Solution

Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

(k=1n1xkxk)2k=1n1xkk=1nxk.

Donc

k=1n1xkn2.

De plus, il y a égalité si, et seulement si, il y a colinéarité des n-uplets

(1x1,,1xn)et(x1,,xn)

ce qui correspond au cas où

x11/x1==xn1/xn

soit encore

x1==xn=1n.
 
Exercice 3  4501  

Soient A,Bn(). Établir

(tr(AB))2tr(AtA)tr(BtB).
 
Exercice 4  504  Correction  

Soient A,B𝒮n(). Montrer

(tr(AB+BA))24tr(A2)tr(B2).

Solution

Sur n(), on définit un produit scalaire par

(AB)=tr(AtB).

Pour A,B𝒮n(),

tr(AB+BA)=2(AB)

et l’inégalité de Cauchy-Schwarz fournit la relation demandée.

 
Exercice 5  1578  Correction  

Soit f:[0;1] continue et positive. On pose In=01tnf(t)dt.
Montrer

In+p2I2nI2p.

Solution

Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

(01tn+pf(t)dt)2=(01tnf(t)tpf(t)dt)201t2nf(t)dt01t2pf(t)dt.
 
Exercice 6  1577   Correction  

On considère 𝒞0([a;b],) muni du produit scalaire

(fg)=abf(t)g(t)dt.

Pour f strictement positive sur [a;b], on pose

(f)=abf(t)dtabdtf(t).
  • (a)

    Montrer que (f)(b-a)2.

  • (b)

    Étudier les cas d’égalités.

Solution

  • (a)

    Soit g𝒞([a;b],) l’application définie par g(t)=f(t). Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

    (b-a)2=(abg(t).1g(t)dt)2abf(t)dt.abdtf(t)=(f).
  • (b)

    Il y a égalité si, et seulement si, tg(t) et t1g(t) sont colinéaires ce qui correspond à f constante.

 
Exercice 7  3883     MINES (MP)Correction  

Soit A=(ai,j)1i,jn une matrice réelle vérifiant

i{1,,n},ai,i1eti=1nj=1,jinai,j2<1.
  • (a)

    Montrer

    Xn{0},XtAX>0.
  • (b)

    En déduire que la matrice A est inversible.

Solution

  • (a)

    En notant X=(x1,,xn), on obtient

    XtAX=i=1nj=1nai,jxixj

    et donc

    XtAX=i=1nai,ixi2+i=1nj=1,jinai,jxixj.

    Par l’inégalité triangulaire

    |i=1nj=1,jinai,jxixj|i=1n|xi|j=1,jin|ai,j||xj|.

    Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz

    |i=1nj=1,jinai,jxixj|i=1nxi2i=1n(j=1,jin|ai,j||xj|)2

    et une nouvelle fois

    (j=1,jin|ai,j||xj|)2j=1,jinai,j2j=1,jinxj2j=1,jinai,j2j=1nxj2.

    On obtient donc

    |i=1nj=1,jinai,jxixj|i=1nxi2i=1nj=1,jinai,j2<i=1nxi2

    puis

    XtAX>i=1nai,ixi2-i=1nxi20.
  • (b)

    Si XKer(A) alors XtAX=0 et donc X=0 en vertu de ce qui précède.

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Édité le 08-11-2019

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